中职数学-三角函数的诱导公式最终版
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,−
，则
= _______， = ________， = _______.
，
− ，则角的终边与单位圆
2.已知 =
=
的交点的坐标为_________.
情境导学
在初中，我们已经会求锐角的三角函数值.对于90°～
360°内的三角函数我们能否进一步把它们转化到锐角范
此即诱导公式四.
+ = −.
诱导公式四
例4.求下列各值：
（1） ； （2）°.
利用上述四个诱导公式可以把任意角的三角函数转化为锐角的三角函数.
例5.求下列各值：
（1）°；
（4）
−
.
（2）
；
（3） −° ；
围内来求解.本节课将解决这一问题.
诱导公式一
角 + ∈ 与角的三角函数值之间的关系
由任意角的三角函数的定义可知，终边相同的角，它们的同名三角函数值
相等（“同名”指同是正弦、余弦或正切，下同）.而角 + ∈ 与角
的终边相同，所以可得到一组公式：
+ = ，
点分别为点和点′，由三角函数的定义可
知，点的坐标是 , ，点′的坐标
是 + , + .容易看出，点
和点′关于原点对称，它们的横坐标和纵坐
标都互为相反数，即
+ = −， + = −，
又由同角三角函数的基本关系式，得
例6.已知 =
− + +
，且是第四象限角，求
− −
的值.
例7.计算：°° + −° −° .
−
； （5） .
−
；
利用诱导公式二，可以用正角的三角函数值表示负角的三角函数值，
即“负化正”.
诱导公式三
角 + 与角的三角函数值之间的关系
思考：角 + 的终边与角的终边有什么关系？
角 + 的终边与角的终边关于原点对称.
如图，设单位圆与角和角 + 的终边的交
点和点′，由三角函数的定义可知，点的坐标是
, ，点′的坐标是 − , − .容
易看出，点和点′关于轴对称，它们的横坐标相
同，纵坐标互为相反数，即
− = ， − = −
又由同角三角函数的基本关系式，得
−
−
三角函数的诱导公式
单位圆
半径为1的圆叫单位圆.
如图，设是任意一个角，它的终边与单位圆
交于点 , ，那么 = = 1，则：
= ， = ， =
.
角与单位圆交点的横坐标为角的余弦，纵坐标为角的正弦.
练习：1.已知角的终边与单位圆的交点为
− = ，
− = −，
− = −.
例3.求下列各值：
（1）°；
（4）°；
（2） ；
（5）
−
（3）
.
−
；
角
诱导公式四
+ 与角的三角函数值之间的关系
，°
+ = ，
+ = .
此即为诱导公式一.
上述公式为弧度制形式，你能否写出其角度制形式？
诱导公式一
例1.求下列各值：
（1）
；
（2）
； （3）°；
（4）°；
（5）
；
（6）
我们知道，° = ° =
= ° =
° = ° = ，° = ° =
由此，可得到一组公式：
− = ，
− = .
由上述公式推导，可得出下面一组公式：
+ = ，
−
.
根据诱导公式一，可以把绝对值大于的任意角的三角函数值问题转化
为[, )内的角的同名三角函数值问题，即“大化小”.
诱导公式二
角−与角的三角函数值之间的关系
思考：角−的终边与角的终边有什么关系？
角−的终边与角的终边关于轴对称.
如图，设单位圆与角和角−的终边的交点分别为
+ =
+
+
=
−
−
=
= .
诱导公式三
因此，可以得到一组公式：
+ = −，
+ = −，
+ = .
此即诱导公式三.
由诱导公式二和诱导公式三，可得到 − 的诱导公式：
− =
=
= −
−Biblioteka 诱导公式二因此，可以得到下面一组公式：
− = −，
− = ，
− = −.
此即为诱导公式二.
例2.求下列各值：
（1）
（4）
− ； （2） −° ；（3）
，则
= _______， = ________， = _______.
，
− ，则角的终边与单位圆
2.已知 =
=
的交点的坐标为_________.
情境导学
在初中，我们已经会求锐角的三角函数值.对于90°～
360°内的三角函数我们能否进一步把它们转化到锐角范
此即诱导公式四.
+ = −.
诱导公式四
例4.求下列各值：
（1） ； （2）°.
利用上述四个诱导公式可以把任意角的三角函数转化为锐角的三角函数.
例5.求下列各值：
（1）°；
（4）
−
.
（2）
；
（3） −° ；
围内来求解.本节课将解决这一问题.
诱导公式一
角 + ∈ 与角的三角函数值之间的关系
由任意角的三角函数的定义可知，终边相同的角，它们的同名三角函数值
相等（“同名”指同是正弦、余弦或正切，下同）.而角 + ∈ 与角
的终边相同，所以可得到一组公式：
+ = ，
点分别为点和点′，由三角函数的定义可
知，点的坐标是 , ，点′的坐标
是 + , + .容易看出，点
和点′关于原点对称，它们的横坐标和纵坐
标都互为相反数，即
+ = −， + = −，
又由同角三角函数的基本关系式，得
例6.已知 =
− + +
，且是第四象限角，求
− −
的值.
例7.计算：°° + −° −° .
−
； （5） .
−
；
利用诱导公式二，可以用正角的三角函数值表示负角的三角函数值，
即“负化正”.
诱导公式三
角 + 与角的三角函数值之间的关系
思考：角 + 的终边与角的终边有什么关系？
角 + 的终边与角的终边关于原点对称.
如图，设单位圆与角和角 + 的终边的交
点和点′，由三角函数的定义可知，点的坐标是
, ，点′的坐标是 − , − .容
易看出，点和点′关于轴对称，它们的横坐标相
同，纵坐标互为相反数，即
− = ， − = −
又由同角三角函数的基本关系式，得
−
−
三角函数的诱导公式
单位圆
半径为1的圆叫单位圆.
如图，设是任意一个角，它的终边与单位圆
交于点 , ，那么 = = 1，则：
= ， = ， =
.
角与单位圆交点的横坐标为角的余弦，纵坐标为角的正弦.
练习：1.已知角的终边与单位圆的交点为
− = ，
− = −，
− = −.
例3.求下列各值：
（1）°；
（4）°；
（2） ；
（5）
−
（3）
.
−
；
角
诱导公式四
+ 与角的三角函数值之间的关系
，°
+ = ，
+ = .
此即为诱导公式一.
上述公式为弧度制形式，你能否写出其角度制形式？
诱导公式一
例1.求下列各值：
（1）
；
（2）
； （3）°；
（4）°；
（5）
；
（6）
我们知道，° = ° =
= ° =
° = ° = ，° = ° =
由此，可得到一组公式：
− = ，
− = .
由上述公式推导，可得出下面一组公式：
+ = ，
−
.
根据诱导公式一，可以把绝对值大于的任意角的三角函数值问题转化
为[, )内的角的同名三角函数值问题，即“大化小”.
诱导公式二
角−与角的三角函数值之间的关系
思考：角−的终边与角的终边有什么关系？
角−的终边与角的终边关于轴对称.
如图，设单位圆与角和角−的终边的交点分别为
+ =
+
+
=
−
−
=
= .
诱导公式三
因此，可以得到一组公式：
+ = −，
+ = −，
+ = .
此即诱导公式三.
由诱导公式二和诱导公式三，可得到 − 的诱导公式：
− =
=
= −
−Biblioteka 诱导公式二因此，可以得到下面一组公式：
− = −，
− = ，
− = −.
此即为诱导公式二.
例2.求下列各值：
（1）
（4）
− ； （2） −° ；（3）