【成才之路】2015-2016学年人教A版高中数学必修4习题第二章平面向量2.4.1

第二章 2.4 2.4.1
基础巩固
一、选择题
1．若|a |＝4，|b |＝2，a 和b 的夹角为30°，则a 在b 方向上的投影为( )
A ．2
B ． 3
C ．2 3
D ．4
[答案] C
[解析] a 在b 方向上的投影为|a a ，b ＝4×cos30°＝23，故选C ． 2．对于向量a 、b 、c 和实数λ，下列命题中真命题是( )
A ．若a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0
B ．若λa ＝0，则λ＝0或a ＝0
C ．若a 2＝b 2，则a ＝b 或a ＝－b
D ．若a ·b ＝a ·c ，则b ＝c
[答案] B
[解析] A 中，若a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0或a ⊥b ，故A 错；C 中，若a 2＝b 2，则|a |＝|b |，C 错；D 中，若a ·b ＝a ·c ，则可能有a ⊥b ，a ⊥c ，但b ≠c ，故只有选项B 正确，故选B ．
3．若向量a 与b 的夹角为60°，|b |＝4，(a ＋2b )·(a －3b )＝－72，则|a |＝( )
A ．2
B ．4
C ．6
D ．12
[答案] C
[解析] ∵(a ＋2b )·(a －3b )＝－72，
∴a 2－a·b －6b 2＝－72.
∴|a |2－|a ||b |cos60°－6|b |2＝－72.
∴|a |2－2|a |－24＝0.
又∵|a |≥0，∴|a |＝6.
4．若两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |＝2|a |，则向量a ＋b 与a －b 的夹角是( ) A ．π6
B ．5π6
C ．π3
D ．2π3 [答案] D
[解析] ∵|a ＋b |＝|a －b |，
∴a 2＋2a ·b ＋b 2＝a 2－2a ·b ＋b 2，∴a ·b ＝0.
又∵|a ＋b |＝2|a |，∴|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝4|a |2，
∴|b |2＝3|a |2.
设a ＋b 与a －b 的夹角为θ，
则cos θ＝(a ＋b )·(a －b )|a ＋b ||a －b |
＝|a |2－|b |2
4|a |2
＝－2|a |2
4|a |2
＝－12
， 又∵θ∈[0，π]，∴θ＝2π3
. 5．P 是△ABC 所在平面上一点，若P A →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·P A →，则P 是△ABC 的( )
A ．外心
B ．内心
C ．重心
D ．垂心
[答案] D
[解析] 由P A →·PB →＝PB →·PC →得PB →·(P A →－PC →)＝0，即PB →·CA →＝0，∴PB ⊥CA ．
同理P A ⊥BC ，PC ⊥AB ，∴P 为△ABC 的垂心．
6．设a 、b 、c 是三个向量，有下列命题：
①a 、b 反向⇔a ·b ＝－|a ||b |；
②若a ·b ＝a ·c ，且a ≠0，则b ＝c ；
③(3a ＋2b )·(3a －2b )＝9|a |2－4|b |2；
④(a ·b )c －(c ·a )b ＝0.
其中正确的有( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 [答案] A
[解析] ①由于a 与b 反向所以夹角为180°，因此a ·b ＝|a ||b |cos180°＝－|a ||b |，反应也成立，故①正确；
②中，a ·b －a ·c ＝a ·(b －c )＝0，
又a ≠0，则b ＝c 或a ⊥(b －c )，即②不正确；
③中，左边＝9a 2－6a ·b ＋6b ·a －4b 2＝9|a |2－4|b |2＝右边，即③正确；
④由于数量积是实数，因此(a ·b )c ，(c ·b )b 分别表示与c ，b 共线的向量，运算结果不为0，故④错误．
二、填空题
7．(江苏高考)已知e 1、e 2是夹角为2π3
的两个单位向量，a ＝e 1－2e 2，b ＝k e 1＋e 2，若a ·b ＝0，则实数k 的值为________．
[答案] 54
[解析] 由a ·b ＝0得(e 1－2e 2)·(k e 1＋e 2)＝0.整理，得k －2＋(1－2k )cos 2π3＝0，解得k ＝54
. 8．(2012年全国高考全国卷)已知向量a 、b 夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，则|b |＝________.
[答案] 3 2
[解析] |2a －b |＝10⇔(2a －b )2＝10⇔4＋|b |2－4|b |cos45°＝10⇔|b |＝3 2.
三、解答题
9．已知|a |＝10，|b |＝12，a 与b 的夹角为120°，求：
(1)a ·b ；(2)(3a )·⎝⎛⎭
⎫15b ； (3)(3b －2a )·(4a ＋b )．
[解析] (1)a ·b ＝|a ||b |cos θ＝10×12×cos120°＝－60.
(2)(3a )·⎝⎛⎭⎫15b ＝35(a ·b )＝35
×(－60)＝－36. (3)(3b －2a )·(4a ＋b )＝12b ·a ＋3b 2－8a 2－2a ·b ＝10a ·b ＋3|b |2－8|a |2＝10×(－60)＋3×122－8×102＝－968.
10．已知向量a 与b 的夹角是120°，且|a |＝|b |＝4，求b ·(2a ＋b )的值．
[解析] 由题意知，a ·b ＝|a ||b |cos120°
＝16×(－12
)＝－8，则 b ·(2a ＋b )＝2a ·b ＋b 2＝－16＋16＝0.
能力提升
一、选择题
1．(2015·泉州四校二次联考)定义：|a ×b |＝|a |·|b |·sin θ，其中θ为向量a 与b 的夹角，若|a |＝2，|b |＝5，a ·b ＝－6，则|a ×b |等于( )
A ．－8
B ．8
C ．－8或8
D ．6
[答案] B
[解析] 由|a |＝2，|b |＝5，a ·b ＝－6，得cos θ＝－35，sin θ＝45，∴|a ×b |＝|a |·|b |·sin θ＝2×5×45
＝8.
2．(2015·重庆理)若非零向量a ，b 满足|a |＝
223|b |，且(a －b )⊥(3a ＋2b )，则a 与b 的夹角为( )
A ．π4
B ．π2
C ．3π4
D ．π
[答案] A [解析] 由条件，得(a －b )·(3a ＋2b )＝3a 2－2b 2－a ·b ＝0，即a ·b ＝3a 2－2b 2.又|a |＝223
|b |，所以a ·b ＝3·(223|b |)2－2b 2＝23b 2，所以a ，b ＝a ·b |a |·|b|＝23b 2223b 2＝22，所以a ，b ＝π4，故选A ．
3．已知△ABC 中，若AB →2＝AB →·AC →＋BA →·BC →＋CA →·CB →，则△ABC 是( )
A ．等边三角形
B ．锐角三角形
C ．直角三角形
D ．钝角三角形
[答案] C
[解析] 由AB →2－AB →·AC →＝BA →·BC →＋CA →·CB →，
得AB →·(AB →－AC →)＝BC →·(BA →－CA →)，
即AB →·CB →＝BC →·BC →，∴AB →·BC →＋BC →·BC →＝0，
∴BC →·(AB →＋BC →)＝0，则BC →·AC →＝0，即BC →⊥AC →，
所以△ABC 是直角三角形，故选C ．
4．如右图，O 、A 、B 是平面上的三点，向量OA →＝a ，OB →＝b ，设P 为线段AB 的垂直平
分线上任意一点，向量OP →＝p .若|a |＝4，|b |＝2，则p ·(a －b )等于( )
A ．1
B ．3
C ．5
D ．6 [答案] D
[解析] 由图知CP →⊥BA →，则CP →·BA →＝0，p ＝OP →＝OC →＋CP →＝12
(OA →＋OB →)＋CP →， 则p ·(a －b )＝⎣⎡⎦⎤12(a ＋b )＋CP →·(a －b )＝12(a ＋b )·(a －b )＋CP →·(a －b )＝12(a 2－b 2)＋CP →·BA →＝12
(|a |2－|b |2)＋0＝12
(42－22)＝6. 二、填空题
5．(安徽高考文)若非零向量a ，b 满足|a |＝3|b |＝|a ＋2b |，则a 与b 夹角的余弦值为________．
[答案] －13
[解析] 本题主要考查了向量运算及夹角分式运用．
∵|a |＝3|b |＝|a ＋2b |，
∴|a |2＝9|b |2＝(a ＋2b )2＝|a |2＋4|b |2＋4a ·b ，
∴a ·b ＝－|b |2，
∴cos 〈a ·b 〉＝a ·b |a |·|b |＝－|b |23|b |·|b |＝－13
.
6．(2015·北京东城高三第一学期期末)已知向量a 、b 满足：|a |＝1，|b |＝6，a ·(b －a )＝2，则a 与b 的夹角为________；|2a －b |＝________.
[答案] 12
27 [解析] 由于a ·(b －a )＝a ·b －a 2＝a ·b －1＝2，
则a ·b ＝3.
设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝12
， 又θ∈[0，π]，所以θ＝π3
. 因为|2a －b |2＝4a 2－4a ·b ＋b 2＝28，
所以|2a －b |＝27.
三、解答题
7．已知|a |＝5，|b |＝4，a 与b 的夹角为60°，试问：当k 为何值时，向量k a －b 与a ＋2b 垂直？
[解析] ∵(k a －b )⊥(a ＋2b )，
∴(k a －b )·(a ＋2b )＝0，
即k a 2＋(2k －1)a ·b －2b 2＝0，
即k ×52＋(2k －1)×5×4×cos60°－2×42＝0，
∴k ＝1415.∴当k ＝1415
时，向量k a －b 与a ＋2b 垂直． 8．已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61.
(1)求|a ＋b |；
(2)求向量a 在向量a ＋b 方向上的投影．
[解析] (1)∵(2a －3b )·(2a ＋b )＝61， ∴4|a |2－4a ·b －3|b |2＝61.
∵|a |＝4，|b |＝3，∴a ·b ＝－6， ∴|a ＋b |＝|a |2＋|b |2＋2a ·b ＝42＋32＋2×(－6)＝13.
(2)∵a ·(a ＋b )＝|a |2＋a ·b ＝42－6＝10， ∴向量a 在向量a ＋b 方向上的投影为 a ·(a ＋b )|a ＋b |＝1013＝101313.。