四章节中值定理与导数应用

9/26/2024
第四章 中值定理与导数应用
第20页
小结
罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理 之间旳关系；
Rolle f (a) f (b) Lagrange F ( x) x Cauchy
定理
中值定理
中值定理
注意定理成立旳条件； 注意利用中值定理证明等式与不等式旳环节.
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欲证: ( x1 , x2 ), 使 f ( ) f ( ) 0 只要证 e f ( ) e f ( ) 0
亦即 [ ex f (x ) ] x 0
作辅助函数F (x) ex f (x ) , 验证 F (x )在 [ x1 , x2 ]上满足
罗尔定理条件.
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设
F (x ) f (x )sin x
验证 F (x ) 在 [ 0, π ] 上满足罗尔定理条件.
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第22页
3. 若 f (x )可导, 试证在其两个零点间一定有
f (x ) f (x ) 旳零点.
提醒: 设 f (x1) f (x2 ) 0, x1 x2 ,
x＋
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三、柯西(Cauchy)中值定理
第15页
柯西（Cauchy）中值定理 如果函数 f ( x)及F ( x) 满
足(1)在闭区间[a, b]上连续,
(2)在开区间(a, b)内可导,
(3) 对(a, b)内每一点均有F ' ( x) 不为零，那么在
f (x1 x2 ) f (x2 ) f (x1)
f (x1 x2 ) f (x2 ) f (x1) f (0)
f (2 ) x1 f (1) x1 (x2 2 x1 x2 , 0 1 x1)
x1 f ( )(2 1) 0 (1 2 )
f (x1 x2 ) 三个条件中有一种不满足,其 结论可能不成立.
例如, y x , x [2,2];
在 [2,2] 上除 f (0) 不存在外,满足罗尔定理
的一切条件, 但在区间 [-2，2]内找不到一点能
使 f ( x) 0.
又例如,
y
1 0,
x, x
x
0
(0,1] ;
y x, x [0,1].
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定理 如果函数 f (x) 在区间 I 上的 导数恒为零 , 那末 f (x) 在区间 I 上 是一个常数 .
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例3 验证Lagrange中值定理对函数 f (x) x3在区间[ 0,1]上的正确性，
所以至少存在 (0,1) , 使得 ( ) n n1 f ( ) n f ( ) 0
即
n f ( ) f ( ) 0
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2. 设 f (x) 0 , f (0) 0 证明对任意 x1 0, x2 0 有
f (x1 x2 ) f (x1) f (x2 ) 证：不妨设 0 x1 x2
f (x0 ) 0.
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2. 罗尔（Rolle）定理
如果函数 f ( x)满足 （1）在闭区间 [a, b]上连续； （2）在开区间(a, b)内可导； （3）在区间端点处的函数值相等，即 f (a) f (b),那么 在 (a, b) 内 至 少 有 一 点 (a b) , 使 得
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第21页
2. 设 f (x) C[ 0, π ], 且在 ( 0, π )内可导, 证明至少存
在一点 ( 0, π ), 使 f ( ) f ( )cot .
提醒: 由结论可知, 只需证
f ( )sin f ( )cos 0
即
f (x )sin x x 0
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4.1 微分中值定理
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一、罗尔(Rolle)定理
1. 费马引理
设函数f (x)在点x0的某邻域U (x0 )内有定义， 并且在x0处可导，如果对任意的x U (x0 )，有
f (x) f (x0 )(或f (x) f (x0 ))， 那么
并求满足定理的值. 例4 证明 arcsin x arccos x
2 (1 x 1).
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——证明恒等式旳一般措施
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第13页
例5 证明当x 0时, x ln(1 x) x. 1 x
例6 设 Lim f (x) K , 求 x＋
Lim [ f (x a) f (x)].(a 0)
(a, b)内至少有一点(a b),使等式
f (b) F (b)
f (a) F (a)
f '( F '(
) 成立. )
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第16页
几何解释:
y
X F(x)
C
Y
f
(x)
B
A
o F(a) F(1)
D
F (2 )F (b)
x
连续曲线弧AB上，至少存在一点C，在 该点处的切线平行于两端点的连线.
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例7 证明当x [ 1 ，1]时，不等式 2
arctan x ln(1 x2 ) ln 2
4 成立.
例8 证明：若函数f (x)在(， )内 满足关系式 f (x) f (x)，且f (0)＝1，
则 f (x) ex.
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第6页
例1 如果方程 a0 x3 a1x2 a2 x 0 有正 根x0，证明方程3a0 x2 2a1x a2 0至 少有一个小于 x0 的正根.
例2 证明方程 x5 x 1 0 有且仅有 一个小于 1的正实根.
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注意 : 与罗尔定理相比条件中 去掉了 f (a) f (b).
结论亦可写成 f (b) f (a) f (). ba
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几何解释:
y
C
A
o a 1
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y f (x) B
D
2 b
x
在连续且除端点外处处有不垂直于x轴的 切线的曲线弧上，至少有一点C , 在该点 处曲线的切线平行于弦AB.
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第7页
二、拉格朗日(Lagrange)中值定理
拉格朗日（Lagrange）中值定理(1) 如果函数 f(x)在 闭区间[a, b]上连续(,2)在开区间(a, b)内可导,那么在
(a, b)内至少有一点(a b)，使等式
f (b) f (a) f ' ()(b a) 成立.
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备用题
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1. 设 f (x) 在 [0,1] 连续，(0,1) 可导，且 f (1) 0 ,
求证存在 (0,1) , 使 n f ( ) f ( ) 0. 证: 设辅助函数 (x) xn f (x)
显然 (x) 在 [0,1] 上满足罗尔定理条件,
f '() 0
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y 几何解释:
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C y f (x)
o a 1
2 b x
在两端点高度相同的连续曲线弧AB上，
若除端点外处处均有不垂直于x轴的切
线存在，则此曲线弧上至少有一点C,
在该点处的切线平行于x轴.
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