(北师大版八年级数学)第一章勾股定理复习课件期中复习版
北师大版八年级数学上册第一章第一节《探索勾股定理》PPT课件
2.甲、乙两位探险者到沙漠进 行探险.某日早晨8∶00甲先出发， 他以6千米/时的速度向东行走.1时 后乙出发，他以5千米/时的速度向 北行进.上午10∶00，甲、乙两人 相距多远？
回顾与思考
1.∆ABC的三边长为AB＝26，AC＝10，BC＝24， 则∆ABC的面积为 120 。
如何判断一个三角形为直角三角形的方法 是：较短的两边平方和等于最长边的平方。 2.两点之间 线段 最短。
(1)李小明现在要怎样走才能离同学们最近.请 你与同伴交流,并画出示意图,说明理由.
(2)若李小明“打的”以60千米/时的速度去追 赶同学们,沿着你画的示意图,需要多长时间赶 到
试一试：
在我国古代数学著作《九章算 术》中记载了一道有趣的问题，这 个问题的意思是：有一个水池，水 面是一个边长为10尺的正方形，在 水池的中央有一根新生的芦苇，它 高出水面1尺，如果把这根芦苇垂 直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸 边的水面，请问这个水池的深度和 这根芦苇的长度各是多少？
做一做：
（3）小明随身只有一个 长度为20厘米的刻度尺， 他能有办法检验AD边是 否垂直于AB边吗？BC 边与AB边呢？
下图是学校的旗杆,旗杆上的绳子垂 到了地面,并多出了一段,现在老师 想知道旗杆的高度,你能帮老师想个 办法吗?请你与同伴交流设计方案?
A
图（1）
C 图（2） B
小明发现旗杆上的绳子垂到地面还多1米，如图 （1），当他们把绳子的下端拉开5米后，发现下 端刚好接触地面，如图（2），你能帮他们把旗 杆的高度和绳子的长度计算出来吗？请你与同伴 交流并回答用的是什么方法.
一只蚂蚁，现要向顶点B
处爬行，已知蚂蚁爬行的
速度是1厘米\秒，且速度 A
保持不变，问蚂蚁能否在
新北师大版八年级数学上册《勾股定理 回顾与思考》精品课件
2.已知Rt△ABC中,∠C=90°,若a+b=14cm,c=10cm, 求Rt△ABC中的面积.
合作探究
利用勾股定理逆定理判定△ABC的形状或求角度
1. 在△ABC中， A,B,C 的对边分别为 a , b , ，c 且
(ab)(ab)c2，则（ ）. （A）为A 直角 （B） C为直角 （C） 为B 直角． （D）不是直角三角形
的路程问题，再利用___________两点之间，___________解决最 短线路问题． 6.直角三角形的边、角之间分别存在着什么关系？
自主学习
7.举例说明，如何判断一个三角形是直角三角形． 8.通过回顾与思考中的问题的交流，由同学们自己建立本章的
知识结构图．
三边的关系--勾股定理→历史、应用 直角三角形
c2=________,a2=________,b2=__________. 3.勾股定理的逆定理：在△ABC中，若a,b,c满足,则△ABC为______． 4.勾股数：满足___________的三个___________，称为勾股数． 5.几何体上的最短路程是将立体图形的____展开，转化为______上
C、5∶12∶13
D、4∶6∶7
（二）、填空题
1、在Rt△ABC中，∠C=90°，
①若a=5，b=12，则c=_____1_3_____； ②若a=15，c=25，则b=___2__0______； ③若c=61，b=60，则a=____1_1_____； ④若a∶b=3∶4，c=10则SRt△ABC=___2_4____。
2.已知△ABC的三边为a,b,c,有下列各组条件,判定△ABC的形状． （1）a4 1 ,b4 0 ,c9 （2）a m 2 n 2 ,b m 2 n 2 ,c 2 m n ( m n 0 )
北师大版八年级数学上册1.1 第1课时 勾股定理的认识 课件(共23张PPT)
探究新知
1.在纸上画若干个直角三角形，分别测量它们的
三条边，看看三边长的平方之间有怎么样的关系？
c
a
b
直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方，这就是
著名的“勾股定理”。
如果直角三角形的两条直角边为a、b，斜边为c，那么有
a2+b2=c2.
数学小知识
我国古代称直角三角形的较短的直角边为勾，较长的直角
求 的长.
解：因为 ⊥ ，
所以 ∠ = ∠ = 90∘ .
在 Rt △ 中， 2 = 2 − 2 = 102 − 82 = 36 ，
所以 = 6 .
设 = = ，则 = − 6 .
在 Rt △ 中， 2 = 2 + 2 ，
所以 △ =
1
2
1
2
⋅ = × 25 × 12 = 150 .
6. 如图，直线 上有三个正方形 ， ， .若 ， 的面积分别
为 5 和 11 ，则 的面积为( C )
A. 4
B. 6
C. 16
D. 55
7. 如图，在 △ 中， = ， = 10 ， ⊥ ，垂足为 ， = 8 .
（2） 已知 = 12 ， = 16 ，求 .
【解】在 Rt △ 中， ∠ = 90∘ ， = 12 ， = 16 ，
所以 2 = 2 + 2 = 122 + 162 = 400 .
所以 = 20 .
例2 如图，在 △ 中， ⊥ 于点 ，且 + = 32 ，
因为 ∠ = 90∘ ，所以 2 + 2 = 2 .
北师大版数学八年级上册《勾股定理的验证及应用》课件
+ ，
四边形 = △ + △ = + ( − ) ，
所以 + =
所以 + = .
+ (
− ) .
例2 如图,在铁路 附近有两个村庄 ， ，它们到铁路的距离分
所以 ∠ + ∠ = ∘ .所以 ∠ = ∘ .
因为 梯形 = △ + △ + △ ,
所以 (
+ )( + ) =
整理得 + = .
+ + .
变式 勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，“面积法”是常用的方
该树 的一棵大树上，大树高 ，且巢离树顶部 .
当它听到巢中幼鸟的叫声时，立即赶过去.如果它飞行的速度
为 / ，那么它至少需要多少时间才能赶回巢中？
解：如图，
由题意知 = ， = − = ， = .
过点 作 ⊥ 于点 ，则 = − = ， = .
在 △ 中，
= + = + = () .
5. 如图，数学活动课上，老师组织学生测量学校旗杆的高度.
同学们发现系在旗杆顶端的绳子拉直垂到了地面且还多 .
同学们把绳子的末端拉开 后，发现绳子末端刚好接触地
别是 和 ,作 ⊥ , ⊥ ,垂足分别为 ， ，
且 = .现要在铁路旁建一个农副产品收购站 ,使 站到 ，
北师大版八年级数学上册第一章勾股定理复习与小结课件
P
M
教学过程——典例精析
第一章 勾股定理
听一听
典例3 如图,长方形 ABCD 中,AB=3,AD=9,将此长方形折叠,使点 D与点B
重合,折痕为 EF,求△ABE 的面积。
A
B
E
D
F
C
教学过程——典例精析
第一章 勾股定理
听一听
A
解析：折叠问题中，要找到折叠前
后相等的线段或角，注意这些线段
与其他线段的关系，再利用勾股定
D. 若、、是的△ABC的三边，且 − = ，则∠A=90°
第一章 勾股定理
基础训练
第一章 勾股定理
2. 如图是商场的台阶的示意图，已知每级台阶的宽度都是20cm，每级台
阶的高度都是15cm，则连接AB的线段长为（ B ）
A. 100cm
B. 150cm
C. 200cm
D. 250cm
解：(1)供水站P的位置如图所示.
(2)过B作BM⊥，过A’作A’M⊥BM于M.
B
A
由已知可得A’M=8，BM=2+4=6.
在Rt△AMB中，
A’B2=AM2+BM2=82+62=100
解得A’B=10
5000×10+50000=100000.
故供水站修建完成后共计要花100000元.
∙∙
A’
∙
是直角三角形.
知识梳理
第一章 勾股定理
内容：直角三角形两
直角边的平方和等于
斜边的平方.
探索勾
股定理
表达式：用
和分别表示直角三
角形的两直角边和斜
边，那么
验证方法：面积法
北师大版数学八年级上册勾股定理的应用课件
典例精析 利用勾股定理的逆定理解答测量问题
有一个高为1.5米，半径是1米的圆柱形油桶，在靠近边壁的地方有一小孔，从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分为0.5米，问这根铁棒最长是多少米？
12．如图，小颖和她的同学荡秋千，秋千AB在静止位置时，下端B离地面0.6米，当秋千荡到AB1的位置时，下端B1距静止位置的水平距离EB1等于2.4米，距地面1.4米，求秋千AB的长．
D
7．印度数学家什迦逻(1141年～1225年)曾提出过“荷花问题”：“平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边；渔人观看忙向前，花离原位二尺远；能算诸君请解题，湖水如何知深浅？”请用学过的数学知识回答这个问题．
解：如图，由题意知，AC＝2，AD＝0.5，在Rt△ACD中，由勾股定理，得CD2＝AC2－AD2＝22－0.52＝3.75.设湖水深BD为x尺，则BC为(x＋0.5)尺．在Rt△BCD中，由勾股定理，得BD2＋CD2＝BC2，即x2＋3.75＝(x＋0.5)2，解得x＝3.5.答：湖水深3.5尺
解:连接对角线AC，只要分别量出AB、BC、AC的长度即可.
AB2+BC2=AC2
△ABC为直角三角形
新知二 利用勾股定理的逆定理解答实际问题
合作探究
（2）量得AD长是30 cm，AB长是40 cm，BD长是50 cm. AD边垂直于AB边吗？
解:AD2+AB2=302+402=502=BD2，
解：因为出发2小时，A组行了12×2=24(km)， B组行了9×2=18(km)， 又因为A，B两组相距30km， 且有242+182=302， 所以A，B两组行进的方向成直角．
北师大版八年级数学上册第一章《勾股定理》复习课件(共27张PPT)
课后作业（必做题）
A
1、如图，求四边形ABCD的面
积。
D
15
7
2、如图，在△ABC中，AB＝15， B
20
C
BC＝14，AC＝13，求BC边上的高。
A
B
C
3.折叠矩形的一边AD,使点
D落在点F处,已知
AB=8cm,BC=10cm,求EC.
A
D
E
F
B
C
选做题：
*4、 △ABC中，若a +b ＝25，ab＝7，且c=5，求最 求四边形ＡＢＣD的面积．
A
8m
EBຫໍສະໝຸດ 8mC2m
D
四、勾股定理的逆定理
若一个三角形三边长a、b、c满足 a2+b2=c2,
则这个三角形为直角三角形。
1、已知在△ABC中， AC＝10cm ，BC＝ 24cm，AB＝26cm，试说明△ABC是直角三角 形。
26 A
B
10
24
C
2.判断满足下列条件的三角形是不 是直角三角形? (1)△ABC中, A=15o, B=75o; (2)△ABC中,a=12,b=16,c=20; (3)三边满足a2-b2=c2; (4)三边满足(a+b)2-c2=2ab;
格上的△ABC三边 1、如图，求四边形ABCD的面积。
(1)△ABC中, A=15o, B=75o; 2、如图，在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求BC边上的高。
的大小关系？ *同类题：在△ABC中，∠C＝90°，三边分别为a、b、c，且周长为12，斜边c＝5，求△ABC的面积。
立体图形中线路最短问题,通常把立体图形的表面____,得到____图形后,运用勾股定理或逆定理解决. 直角三角形的条件.
北师大版数学八年级上册：第1章 勾股定理 复习课件(共17张PPT)
问题导学:
2.你会用下面的图形验证勾股定
理吗? a
bc
c b
a
1.利用勾股定理验证三个 半圆面积之间的关系
SA+SB=SC
AC
B
2.如图两阴 影部分都是 正方形,若它 们面积之比 为1:3,则它 们的面积分 别为_9_和_27
9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/9/82021/9/8Wednesday, September 08, 2021 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/82021/9/82021/9/89/8/2021 11:47:03 AM 11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/82021/9/82021/9/8Sep-218-Sep-21 12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/82021/9/82021/9/8Wednesday, September 08, 2021
则梯子底部在水平方向上
滑动几米?
4.一直角三角
形纸片直角边
AC=6,BC=8, A
现将直角边 AC沿AD折叠,
E
使C与E重合, C D
B
则CD=____.
5.折叠矩形的一边AD,使点
D落在点F处,已知
AB=8cm,BC=10cm,求EC.
A
D
E
F
B
C
A
综合训练:
1.一个直角三角形周长为60, 一直角边与斜边之比为4:5, 则此三角形三边分别为 __________ 2.如图,求半圆面积 6 6
北师大版八年级上册数学第一章 勾股定理第1节《探索勾股定理》参考课件(共35张PPT)
a
我总结,我获得
如果直角三角形两直角边为a、b 勾 股 斜边为c，那么 2 2 2 a + b = c 定 即直角三角形两直角边的平方和 理 ： 等于斜边的平方。
勾 弦
股
斜边较角中直 我 边称长边较角 国 称为的称短三 为股直为的角古 弦，角勾直形代 把 ， 。
方法三：赵爽弦图
a
c b
北 京 欢 迎 您 ！
我观察,我猜想
图中每个小方格的 边长为1，直角三角 形两直角边长分别 C 为3和4. 以各边边长为正方 形的边长作正方形.
B
A
求正方形A的面积是___,正方 形B的面积是____,正方形C的 面积是_______.
我观察,我猜想
观察所得到的数据，你有什么发现？ SA+SB=SC
B
c5 4 b
3 a
勾 第 股 一 定 章 理
一个直角三角形的直角边长分别是3和4，你知道它的斜边长是多少吗？
要解决这个问题，就用到了我们即将要学习的——勾股定 理.
勾股世界
我国是最早了解勾股定理的国家之一.早在三多年前，周朝数学家商高就 提出，将一根直尺折成一个直角三角形，如果勾等于三，股等于四，那么 弦就等于五.即“勾三、股四、弦五”.它被记载于我国古代著名的数学著 作《周髀算经》中.在这本书中的另一处，还记载了勾股定理的一般形式. 在西方,相传二千多年前，古希腊数学家毕达哥拉斯发现勾股定理后高兴 异常，命令他的学生宰了一百头牛来庆祝这个伟大的发现，因此勾股定理 又叫做“百牛定理”． 因此在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯定 理.
B
A
求正方形A的面积是___,正方 形B的面积是____,正方形C的 面积是_______.
北师大版八年级数学上册-第一章勾股定理(同步+复习)精品讲义课件
2.
① ②
变式：
a2=c2- b2 ； b2=c2-a2 a=√ c2- b2 b=√c2-a2 c= √a2+b2
3.
注：
① ② ③
定理用途：三边知二求一；搭建需要的方程。 a,b,c是相对的，运用公式时要特别认准斜边。 斜边上的高等于两直角边的乘积除以斜边的长。
【例1】△ABC中，∠C=90°
① 若a=3 ,b=4，求c。 ② 若C=41，b=40，求a。 ③ 若一条直角边a=5,斜边比另外一条直角边大1， 求斜边的长。 ④ 折叠长方形ABCD, 使点D落在BC边上的点F 处，折痕为AE，AB=8，BC=10，求EC的长
A D E B F C
【练习1】
二．勾股定理的证明
1. 2. 拼正方形法： 拼梯形法：
【例题】
【习题1】
【习题2】
【习题3】
【习题4】
【习题5】
【习题6】
下课了!
结束寄语
•悟性 •取决于有无悟心
看 一 看
探索-发现： 回答问题
（1）观察图2-1 正方形1中含有 9 个 小方格，即它的面积是 9 个单位面积。
3 1 2
图2-1
3 1 2
图2-2
正方形2的面积是 9 个单位面积。 正方形3的面积是 18 个单位面积。
（图中每个小方格代表一个单位面积）
一．勾股定理
1. 定理：
① 文直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 ② 符如果a,b是直角边，c是斜边，则：a2+b2=c2
4.
5.
【例1】
1. 给定三边直接判定是否直角三角形。 2. 试一试：
二．勾股数
1. 定义：满足a 2 +b2=c2 的三个正整数，叫做 勾股数。 本质：以这三个数的长度为边的三角形是直 角三角形；知道直角三角形的两边是勾股数 之二，直接写出第三边。 每组勾股数的倍数还是勾股数。 构造公式：a为大于1的奇数：a与其平方分 别加减1除以2所得的数为一组勾股数；a为 大于1的偶数， a 与其一半的平方分别加减1 所得的数为一组勾股数。 常见的勾股数：3、4、5；6、8、10；8、 15、17；5、12、13；9、12、15。熟记。
北师大版八年级数学上册第一章全部课件
勾股定理的验证主要是通过拼图法利用面积的 关系完成的，拼图又常以补拼法和叠合法两种方式拼 图，补拼是要无重叠，叠合是要无空隙；而用面积法 验证的关键是要找到一些特殊图形(如直角三角形、 正方形、梯形)的面积之和等于整个图形的面积，从 而达到验证的目的．
（来自《点拨》）
知1－练
1 用四个边长均为a，b，c的直角三角板，拼成如
（来自《典中点》）
知2－导
知识点 2 勾股定理的应用
例2 我方侦察员小王在距离东西向公路400m处侦察，发现一 辆敌方汽车在公路上疾驰.他赶紧拿出红外测距仪，测得 汽车与他相距400m，10s后，汽车与他相距500m,你能 帮小王计算敌方汽车的速度吗？
分析：根据题意，可以画出右图， 其中点A表示小王所在位置， 点C、点B表示两个时刻敌方 汽车的位置.
弦 勾
股 图1
北师大版八年级数学上册
C A
B C
图2-1
A
B
图2-2
(图中每个小方格代表一个单位面积)
知1－导
(1)观察图2-1 正方形A中含有 9 个 小方格，即A的面积 是 9 个单位面积. 正方形B的面积是 9 个单位面积.
正方形C的面积是 18 个单位面积.
北师大版八年级数学上册
C A
B C
（来自《点拨》）
知1－讲
总结
勾股定理的验证主要是通过拼图法利用面积的 关系完成的，拼图又常以补拼法和叠合法两种方式拼 图，补拼是要无重叠，叠合是要无空隙；而用面积法 验证的关键是要找到一些特殊图形(如直角三角形、 正方形、梯形)的面积之和等于整个图形的面积，从 而达到验证的目的．
（来自《点拨》）
知1－讲
1 课堂讲解 2 课时流程
2022年北师大版八年级上册数学第一章勾股定理 单元复习课
单元复习课第一章勾股定理答案：①平方和②斜边的平方③直角三角形④正整数考点1 勾股定理与面积的探索1．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出(C)A.直角三角形的面积B．最大正方形的面积C．较小两个正方形重叠部分的面积D．最大正方形与直角三角形的面积和【解析】设直角三角形的斜边长为c，较长直角边长为b，较短直角边长为a，由勾股定理得，c2＝a2＋b2，阴影部分的面积＝c2－b2－a(c－b)＝a2－ac＋ab＝a(a＋b－c)，较小两个正方形重叠部分的宽＝a－(c－b)，长＝a，则较小两个正方形重叠部分的面积＝a(a＋b－c)，∴知道题图中阴影部分的面积，则一定能求出较小两个正方形重叠部分的面积．2．(2022·西安期中)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为AC上一点．若DA＝DB＝15，△ABD的面积为90，则AC的长是(D)A.9 B．12C．15 D．24【解析】∵△ABD的面积为90，DA＝15，∴12×15×BC＝90，解得：BC＝12，在Rt△BCD中，由勾股定理得CD＝9，∴AC＝AD＋CD＝15＋9＝24.【加固训练】一直角三角形的三边长分别为5，12，x，那么以x为边长的正方形的面积为__169或119__．【解析】当12是直角边长时，根据勾股定理，得x2＝25＋144＝169；当12是斜边长时，根据勾股定理，得x2＝144－25＝119.所以以x为边长的正方形的面积为169或119. 3．(2022·南通质检)如图，在四边形ABCD中，AB＝15，BC＝12，CD＝16，AD＝25，且∠C ＝90°，则四边形ABCD的面积是__246__．【解析】连接BD.∵∠C＝90°，BC＝12，CD＝16，∴BD＝BC2＋CD2＝20，在△ABD中，∵BD＝20，AB＝15，DA＝25，152＋202＝252，即AB2＋BD2＝AD2，∴△ABD是直角三角形．∴S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BCD＝12AB·BD＋12BC·CD＝12×15×20＋12×12×16＝150＋96＝246.【方法技巧】割补法求不规则多边形的面积利用“割补”(连接对角线、延长构造交点、作垂直等)的方法，构造直角三角形，运用勾股定理求得．特别提醒：考点2 直角三角形的判定及应用4．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是(B)A．4，6，8 B．6，8，10C．6，9，10 D．5，11，13【解析】A.42＋62＝52≠82，C.62＋92＝117≠102，D．52＋112＝146≠132，不能构成直角三角形，故A，C，D选项不符合题意；B．62＋82＝102，可以构成直角三角形，符合题意．5．(2022·温州期中)如图，在3×3的方格纸中，已知点A，B在方格顶点上(也称格点)，若点C也是格点，且使得△ABC为直角三角形，则满足条件的C点有(C)A.1个 B．2个 C．3个 D．4个【解析】如图，分情况讨论：①AB为直角△ABC斜边时，符合条件的格点C有2个；②AB为直角△ABC其中的一条直角边时，符合条件的格点C有1个．共有3个点．6．小东和小明要测量校园里的一块四边形场地ABCD(如图所示)的周长，其中边CD上有水池及建筑遮挡，没有办法直接测量其长度．小东经测量得知AB＝AD＝15米，∠A＝60°，BC＝20米，∠ABC＝150°.小明说根据小东所得的数据可以求出CD的长度．你同意小明的说法吗？若同意，请求出CD的长度；若不同意，请说明理由．【解析】同意小明的说法．理由：连接BD，∵AB＝AD＝15 m，∠A＝60°，∴△ABD为等边三角形，∴AB＝AD＝BD＝15 m，且∠ABD＝60°，∵∠ABC＝150°，∴∠DBC＝∠ABC－∠ABD＝90°，在Rt△BCD中，∠DBC＝90°，BC＝20 m，BD＝15 m，根据勾股定理得：BC2＋BD2＝CD2，∴CD2＝BC2＋BD2＝202＋152＝625(m)，即CD＝25(m).答：CD的长度为25 m.【方法技巧】判定直角三角形的三种方法(1)有一个角(最大角)等于90°的三角形；(2)三角形中，两角互余；(3)勾股定理的逆定理．特别提醒：各角度的比、各边长的比满足特定比例关系也可说明是直角三角形．考点3 利用勾股定理解决实际问题7．(2021·襄阳中考)我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有池方一丈，葭(jiā)生其中，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深几何．”(丈、尺是长度单位，1丈＝10尺)其大意为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．则水深为(C)A.10尺 B．11尺 C．12尺 D．13尺【解析】设水深为h尺，则芦苇长为(h＋1)尺，根据勾股定理，得(h＋1)2－h2＝(10÷2)2，解得h＝12，∴水深为12尺．8．(2021·凉山州中考)如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，将△ADE沿DE翻折，使点A与点B重合，则CE的长为(D)A．198B．2 C．254D．74【解析】∵∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB＝10，∵△ADE沿DE翻折，使点A与点B重合，∴AE＝BE，AD＝BD＝12AB＝5，设AE＝x，则CE＝AC－AE＝8－x，BE＝x，在Rt△BCE中，∵BE2＝BC2＋CE2，∴x2＝62＋(8－x)2，解得x＝254，∴CE＝8－254＝74.9.(2021·玉林中考)如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，甲、乙轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，甲、乙轮船每小时分别航行12海里和16海里，1小时后两船分别位于点A，B处，且相距20海里，如果知道甲船沿北偏西40°方向航行，则乙船沿__北偏东50°__方向航行．【解析】由题意知：AP＝12海里，BP＝16海里，AB＝20海里，∵122＋162＝202，∴△APB是直角三角形，∴∠APB＝90°，由题意知∠APN＝40°，∴∠BPN＝90°－∠APN＝90°－40°＝50°，即乙船沿北偏东50°方向航行．【方法技巧】1．善于将问题转化(1)将问题转化为三角形，利用勾股定理或勾股定理的逆定理解决问题．(2)借助方程思想，通过列方程解决问题．2．善于寻找直角三角形(1)题目中含有直角三角形，可直接利用．(2)通过作辅助线构造直角三角形，解决问题．易错提醒：将实际问题转化为三角形问题后，一定要明确该三角形是否是直角三角形，若不是则需作辅助线构造直角三角形．1．(2020·雅安中考)对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形．如图，“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O.若AD＝2，BC＝4，则AB2＋CD2的值为(C)A．6 B．12 C．20 D．40【解析】∵AC⊥BD，∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，由勾股定理得，AB2＋CD2＝AO2＋BO2＋CO2＋DO2，AD2＋BC2＝AO2＋DO2＋BO2＋CO2，∴AB2＋CD2＝AD2＋BC2，∵AD＝2，BC＝4，∴AB2＋CD2＝22＋42＝20.2．(2021·常德中考)阅读理解：若一个正整数m能表示为两个正整数a，b的平方和，即m ＝a2＋b2，则称m为广义勾股数．下列四个结论：①7不是广义勾股数；②13是广义勾股数；③两个广义勾股数的和是广义勾股数；④两个广义勾股数的积是广义勾股数．正确的是(C) A．②④B．①②④C．①②D．①④【解析】①∵7＝1＋6或2＋5或3＋4，∴7不是广义勾股数，故①结论正确；②∵13＝22＋32，∴13是广义勾股数，故②结论正确；③两个广义勾股数的和不一定是广义勾股数，如5和10是广义勾股数，但是它们的和不是广义勾股数，故③结论错误；④设m1＝a2＋b2，m2＝c2＋d2，则m1·m2＝(a2＋b2)·(c2＋d2)＝a2c2＋a2d2＋b2c2＋b2d2＝(a2c2＋b2d2＋2abcd)＋(a2d2＋b2c2－2abcd)＝(ac＋bd)2＋(ad－bc)2，当a＝c，b＝d时，ad－bc＝0，∴两个广义勾股数的积不一定是广义勾股数，如2和2都是广义勾股数，但2×2＝4，4不是广义勾股数，故④结论错误，∴正确的是①②.。
北师大版八年级上第一章勾股定理(附习题和答案)
第一章 勾股定理1、勾股定理（性质定理）直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即222c b a =+要点诠释：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用： （1）已知直角三角形的两边求第三边（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边 （3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2、勾股定理的逆定理（判定定理）如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。
要点诠释：用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形应注意 （1）首先确定最大边，不妨设最长边长为c ；（2）验证c 2和a 2＋b 2是否具有相等关系，若c 2＝a 2＋b 2，则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形（若c 2＞a 2＋b 2，则△ABC 是以∠C 为钝角的钝角三角形；若c 2＜a 2＋b 2，则△ABC 为锐角三角形）。
3、勾股数：满足222c b a =+的三个正整数，称为勾股数。
经典的勾股数：3、4、5（3n 、4n 、5n ） 5、12、13（5n 、12n 、13n ） 7、24、25（7n 、24n 、25n ） 8、15、17（8n 、15n 、17n ） 9、40、41（9n 、40n 、41n ） 11、60、61（11n 、60n 、61n ） 13、84、85（13n 、84n 、85n ）例1. 如图，将一个边长分别为4、8的长方形纸片ABCD 折叠，使C点与A 点重合，则EB 的长是（ ）． A ．3 B ．4 C 5 D ．5练习1：如图，已知矩形ABCD 沿着直线BD 折叠，使点C 落在C'处，BC'交AD 于E ，AD=8，AB=4，则DE 的长为( )A.3B.4C.5D.6FEDCBAC A B ED 练习2：如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6，BC=8，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使其落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 的长为例2. 三角形的三边长ａ,ｂ,ｃ满足2ａｂ=(ａ+ｂ)2－ｃ2,则此三角形是 ( ). A 、钝角三角形 B 、锐角三角形 C 、直角三角形 D 、等边三角形练习1：已知a 、b 、c 是三角形的三边长，如果满足2(6)8100a b c ---=，则三角形的形状是（ ）A ：底与边不相等的等腰三角形B ：等边三角形C ：钝角三角形D ：直角三角形练习2：已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，且a 2c 2－b 2c 2＝a 4－b 4，试判断三角形的形状．例3. 将一根24cm 的筷子，置于底面直径为15cm ，高8cm 的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为hcm ，则h 的取值范围是（ ）． A ．h ≤17cm B ．h ≥8cm C ．15cm ≤h ≤16cm D ．7cm ≤h ≤16cm练习：如图，圆柱形玻璃容器高20cm ，底面圆的周长为48cm ，在外侧距下底1cm 的 点A 处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距上口1cm 的点B 处有一只CABDS 3S 2S 1C B A 苍蝇，则蜘蛛捕获苍蝇所走的最短路线长度为________.例4. a 2＋b 2＋c 2＝10a ＋24b ＋26c －338，试判定△ABC 的形状，并说明你的理由练习：已知直角三角形的周长是62+，斜边长2，求它的面积．例5. 已知，如图，四边形ABCD 中，AB=3cm ，AD=4cm ，BC=13cm ，CD=12cm ，且∠A=90°， 求四边形ABCD 的面积。
北师大版八年级上册数学 第一章 勾股定理 讲义
勾股定理知识要点一．勾股定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
在ABC Rt ∆中，,,,90B A C ∠∠︒=∠C ∠的对边分别为c b a ,,， 则有：①222b a c +=；②222b c a -=；③222a c b -=．二．勾股定理的巧妙运用1．面积求值：直角三角形中，如果两直角边为a 、b,斜边为 c ，斜边上的高为h ，那么它们存在这样的关系：ch ab =或c ab h =.2．特殊直角三角形一：如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；（反之如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°）2:3:1::=c b a3．特殊三角形二： 在等腰直角三角形中，斜边是等于直角边的2（2:1:1::=c b a三、勾股定理的逆定理：1、如果三角形的三边长a 、b 、c 满足222a b c +=(c 为最长边)那么这个三角形是直角三角形。
2．勾股数组简介:若a 、b 、c 均为自然数，且无1以外的整数公因式当它们满足关系式222a b c +=时，我们称（a 、b 、c ）为基本勾股数组。
这些勾股数是一定要记住的，以后做题将会好处多多。
ab=3a 30°c=2aabch《经典例题》《基础例题》例1、边的求值：（ a 2 + b 2 = c 2 ，其中C 为斜边）（1）在△ABC 中，∠C ＝90°，若 a ＝5，b ＝12， 则 c ＝ ． （2）在△ABC 中，∠C ＝90°，若c ＝25， a ∶b ＝3∶4，则a ＝ ，b ＝ ．例2、高的求值：（cabh，a 和b 为直角边，c 为斜边，h 为斜边上的高） （1）直角三角形的两直角边为12、16，则斜边上的高等于 。
（2）Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=6，则AB=10，高CD=__ ___. 例3、一般三角形如何利用勾股定理求值：（1）已知等边△ABC 的边长为10cm ，则它的高为_____ _,面积为_________; （2）△ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，高AD ＝12，则△ABC 的周长为（ ）A.42B.32C.42 或32D.37 或 33（3）已知等腰三角形的腰长为10，一腰上的高为6，则以底边为边长的正方形的面积为 。
北师大版八年级数学上册《勾股定理》复习课教学课件
北师大版八年级数学上册第一章《勾 股定理 》复习 课 课件 北师大版八年级数学上册第一章《勾 股定理 》复习 课 课件
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三、典例分析
例1、（1）已知直角三角形的两条直角边为 6cm和8cm,斜边是___1_0_c_m__, 则斜边上的高是 _4__.8_c_m__。 （2）若直角三角形的三边长分别为3、 6、x， 则x2=___4__5_或_2_7___。（分类思想）
新北师大版
八年级上册第一章 勾股定理复习
一、导课
商高，西周初数学家。商高在公元前 1000年发现勾股定理并完成证明。此发现 早于毕达哥拉斯定理五百到六百年。勾股定 理是中国数学家的独立发现，在中国早有记 载。勾股定理，我们把它称为世界第一定理。 勾股定理是我们数学史的奇迹，我们已经比 较完整地研究了这个先人给我们留下来的宝 贵的财富，这节课，我们将通过回顾与思考 中的几个问题更进一步了解勾股定理的应用。
六、当堂检测
1.在Rt△ABC中，∠C=90°，
2. ①若a=5，b=12，则c=___1_3_______； 3. ②若a=15，c=25，则b=__2_0________； 4. ③若c=61，b=60，则a=__1_1_______； 5.下列各组数中为勾股数的一组是（ D ）
A、7、12、13；B、1.5、2、2.5 C、3、4、7 D、8、15、17 3. 有一块田地的形状和尺寸如图所示，试求它的面积。
勾股定理的逆定理是判定一 个三角形是否是直角三角形 的一种重要方法，它通过 “数转化为形”来确定三角 形的可能形状，
北师大版八年级数学上册第一章《勾 股定理 》复习 课 课件
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北师大版八年级数学上册课件
北师大版八年级数学上册课件一、勾股定理。
1. 勾股定理内容。
- 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
如果直角三角形的两条直角边长度分别是a和b，斜边长度是c，那么a^2+b^2=c^2。
- 例如，一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边c=√(3^2) +4^{2}=√(9 + 16)=√(25) = 5。
2. 勾股定理的证明。
- 常见的证明方法有赵爽弦图法。
赵爽通过构造以直角三角形的斜边为边长的正方形，然后将其分割成四个全等的直角三角形和一个小正方形，通过面积关系来证明勾股定理。
- 设直角三角形的两条直角边为a、b，斜边为c。
大正方形的面积可以表示为c^2，也可以表示为(a + b)^2- 2ab=a^2+b^2，从而证明a^2+b^2=c^2。
3. 勾股定理的逆定理。
- 如果三角形的三边长a、b、c满足a^2+b^2=c^2，那么这个三角形是直角三角形。
- 例如，三角形三边分别为5、12、13，因为5^2+12^2=25 + 144 =169=13^2，所以这个三角形是直角三角形。
4. 勾股数。
- 满足a^2+b^2=c^2的三个正整数a、b、c称为勾股数。
常见的勾股数有(3,4,5)、(5,12,13)、(8,15,17)等。
二、实数。
1. 无理数的概念。
- 无限不循环小数叫做无理数。
例如√(2)，π等。
- √(2)的计算：设√(2)=(p)/(q)（p,q为互质的正整数），则2=frac{p^2}{q^2}，即p^2=2q^2。
由此可推出p是偶数，设p = 2m，则(2m)^2=2q^2，即q^2=2m^2，所以q也是偶数，这与p,q互质矛盾，所以√(2)是无理数。
2. 实数的分类。
- 实数包括有理数和无理数。
有理数又包括整数和分数。
- 整数：正整数、0、负整数；分数：有限小数和无限循环小数。
3. 实数的运算。
- 实数的运算顺序：先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减。
有括号的先算括号里面的。
北师大版八年级数学上册勾股定理的应用课件(1)
B
B
B＇
A
A
A'
解：圆柱形油罐的展开图如图，则AB＇为梯子的 最短距离.AA＇=12, A＇B＇=5,所以AB ＇=13.
基础练习
1．甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，某日早晨8：00 甲先出发，他以6km/h的速度向正东行走，1小时后乙出发， 他以5km/h的速度向正北行走.上午10：00，甲、乙两人相距 多远？ 解:如图:已知A 是甲、乙的出发点， 10:00甲到达B 点,乙到达C 点.则: AB =2×6=12(千米),AC =1×5=5(千米).
若已知圆柱体高为12 cm，底面半径为3 cm，π取3，则:
AB2 122 (3 3)2 AB 15
A3 O B
A’ 3π
B
’
侧面展开图
12
12
A
A
你学会了吗?
例1 有一个圆柱形油罐，要以A点环绕油罐建梯子，正好A 点的正上方B点，问梯子最短需多少米?(已知：油罐的底面半 径是2 m，高AB是5 m，π取3）
下图是学校的旗杆,旗杆上的绳子垂到了地面,并多出了一段, 现在老师想知道旗杆的高度,你能帮老师想个办法吗?请你与 同伴交流设计方案?
A
图（1）
C 图（2） B
小明发现旗杆上的绳子垂到地面还多1米，如图（1），当他们把绳 子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，如图（2），你能帮 他们把旗杆的高度和绳子的长度计算出来吗？请你与同伴交流并回 答用的是什么方法.
A
解：设旗杆高AC=x米，则AB=
（x+1）米，BC=5米.
根据勾股定理得x²+5²=(x+1) ²
x=12,所以AB=x+1=13 即旗杆的高度为12米， 绳子的长度为13米.
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10
E 20 E
20
C5
B
5 C
B
A 10
B 5 C 10 E 20 A
5 20
B C
15
A 10
F
A 10 F
15
专题五 截面中的勾股定理
1. 几何体的内部路径最值的问题，一般画 出几何体截面 2.利用两点之间线段最短，及勾股定理 求解。
小明家住在18层的高楼，一天，他与妈妈去买竹竿。
买最长 的吧！ 快点回家， 好用它凉衣 服。
1.直角三角形中，已知两边长是直角边、 斜边不知道时，应分类讨论。 2.当已知条件中没有给出图形时，应认真 读句画图，避免遗漏另一种情况。
1.已知:直角三角形的三边长分别是 3,4,X,则X2= 25 或7 2.三角形ABC中,AB=10,AC=17,BC边上 的高线AD=8,求BC
A
17 8 10
b
c
a B
C
勾股逆定理
如果三角形的三边长a，b，c满足a2 +b2=c2 ， 那么这个三角形是直角三角形
例2
1.已知三角形的三边长为 9 ,12 ,15 , 则这个三角形的最大角是 90 度;
2.若△ABC中 ,AB=5 ,BC=12 ,AC=13 ,则 13 AC边上的高长为 ; 60
3 ABC中，A, B, C的对边分别是a, b, c,
糟糕，太 长了，放 不进去。
如果电梯的长、宽、高分别是1.5米、1.5米、2.2米，那么， 能放入电梯内的竹竿的最大长度大约是多少米？你能估计出 小明买的竹竿至少是多少米吗？
A
2.2米
x
1.5米 1.5米 1.5米 1.5米
2.2米
C
x
B
X2=1.52+1.52=4.5
AB2=2.22+X2=9.34
BC边上的点F处,已知 AB=8CM,BC=10CM,求 10 A
8
10 8-X
1.CF D
8-X
2.EC.
E
X
B
6
F
4
C
专题四 展开思想
1. 几何体的表面路径最短的问题，一般展 开表面成平面。 2.利用两点之间线段最短，及勾股定理 求解。
例1:如图,一圆柱高8cm,底面半径2cm,一只蚂蚁从点 A 爬到点 B 处吃食 , 要爬行的最短路程 ( 取 3 ）是 ( ) B A.20cm B.10cm C.14cm D.无法确定 2
3
在一棵树的10米高处B有两只猴子， 其中一只猴子爬下树走到离树20米的 池塘A，另一只猴子爬到树顶D后直接 跃向池塘的A处，如果两只猴子所经过 距离相等，试问这棵树有多高？ D B.
C A
专题三 折叠
折叠和轴对称密不可分，利用折叠前后 图形全等，找到对应边、对应角相等便可 顺利解决折叠问题
例1、如图，一块直角三角形的纸片，两 直角边AC=6㎝，BC=8㎝。现将直角边 AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上， 且与AE重合，求CD的长．
例3．请完成以下未完成的勾股数： 17 （1）8、15、_______ ； 24 ． （2）10、26、_____ （3） 7、 _____ 24 、25
例4 .观察下列表格：
猜想 列举 3、4、5 5、12、13 7、24、25 ……
……
32=4+5 52=12+13 72=24+25 ……
13、b、c
第一章 勾股定理总复习 主讲者：喻茂伦
一、知识要点
勾股定理
如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c， 那么
2 a +
2 b =
2 c
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 .
• 例１：在Rt△ABC中，∠C=90°. （1）若a=3,b=4，则c= 5 ； （2）若c=34,a:b=8:15，则 a= 16 ,b= 30 ； A
AB≈3米
练习：一种盛饮料的圆柱形杯，测得内部底 面半径为2.5㎝，高为12㎝，吸管放进杯里， 杯口外面至少要露出4.6㎝，问吸管要做多 长？
1、通过这节课的学习活动你有哪些收获？ 2、对这节课的学习，你还有什么想法吗？
再见
下列判断错误的是（ B ） A.如果C B A, 则ABC是直角三角形 B.如果c2 =b2 -a 2 ,则ABC是直角三角形,且C=90 C.如果(c+a)(c-a)=b2，则ABC是直角三角形 D.如果A：B：C 5： 2：则 3, ABC是直角三角
勾股数
满足a2 +b2=c2的三个正整数，称为勾股数
Ａ
A
２０
20
2 3
Ｃ 3 ２ 3 2
B
3
∵ AB2=AC2+BC2=625, ∴ AB=25.
2 Ｂ
例 4:. 如图，长方体的长 为15 cm，宽为 10 cm， 高为20 cm，点B离点C 5 cm,一只蚂蚁如果要沿着 长方体的表面从点 A 爬 到点B，需要爬行的最短 距离是多少？5C源自B2015
B
C
专题二 方程思想
直角三角形中，当无法已知两边求第三 边时，应采用间接求法：灵活地寻找题中 的等量关系，利用勾股定理列方程。
1.小东拿着一根长竹竿进一个宽为３米的
城门，他先横拿着进不去，又竖起来拿， 结果竹竿比城门高１米，当他把竹竿斜着 时，两端刚好顶着城门的对角，问竹竿长 多少？ 1m
x
(x+1)
132=b+c
请你结合该表格及相关知识，求出b、c的值
.
即b=
84
85 ，c=________
例5、如图，四边形ABCD中，AB＝3， BC=4,CD=12,AD=13, ∠B=90°，求四 D 边形ABCD的面积
13
A
3 ┐
12
B 4
C
变式 有一块田地的形状和尺寸 如图所示，试求它的面积。
A
4
O 蛋糕 B
C
周长的一半 ６
B
8
A
８
A
例2 如图：正方体的棱长为５cm，一只 蚂蚁欲从正方体底面上的顶点A沿正方 体的表面到顶点C′处吃食物，那么它需 要爬行的最短路程的长是多少？
D′
C′ B′
A′
D
C B
A
16
例3,如图是一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为 20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶两个相对的端点， A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿 着台阶面爬到B点最短路程是多少？
A
6 6
D
第8题图
E
x
4
B
C x Ｄ 8-x 8
练习:三角形ABC是等腰三角形 AB=AC=13，BC=10，将AB向AC方向 对折，再将CD折叠到CA边上，折痕CE， 求三角形ACE的面积
A
B
D
A 12-x 8 13 x D1 12 E 5 x C D5 C D5 C A
例1：折叠矩形ABCD的一边AD,点D落在
5
3
13
B
12
C
∟
D
例6、假期中，王强和同学到某海岛上去玩 探宝游戏，按照探宝图，他们登陆后先往 东走8千米，又往北走2千米，遇到障碍后 又往西走3千米，在折向北走到6千米处往 东一拐，仅走1千米就找到宝藏，问登陆点 A 到宝藏埋藏点B的距离是多少千米？
1 6 3 N 2 A 8 M B
专题一 分类思想