2023年高考数学一轮复习讲义(新高考)第4章§4-8解三角形及其应用举例

§4.8　解三角形及其应用举例
考试要求　1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.2.能利用正弦定理、余弦定理解决三角形中的最值和范围问题．
知识梳理
测量中的几个有关术语
术语名称术语意义
图形表示
仰角与俯角在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面
内)所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫
做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角方位角从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方
向线之间的夹角叫做方位角．方位角θ的范围
是0°≤θ<360°
方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，
通常表达为北(南)偏东(西)α例：(1)北偏东α：(2)
南偏西α：坡角与坡比坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角(θ为坡
角)；坡面的垂直高度与水平长度之比叫坡比
(坡度)，即i ＝h l
＝tan θ思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)东南方向与南偏东45°方向相同．(　√　)
(2)若△ABC 为锐角三角形且A ＝π3，则角B 的取值范围是(0，π2)
.(　×　)
(3)从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.(　×　)
(4)俯角是铅垂线与目标视线所成的角，其范围为[0，
π2].(　×　)
教材改编题
1．为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩A ，B (如图)，要测量A ，B 两点的距离，测量人员在岸边定出基线BC ，测得BC ＝50 m ，∠ABC ＝105°，∠BCA ＝45°.就可以计算出A ，B 两点的距离为( )A ．202 m B ．302 m
C ．402 m
D ．502 m 答案　D
解析　由三角形内角和定理，
可知∠BAC ＝180°－∠ACB －∠ABC ＝30°，
由正弦定理得
AB sin ∠ACB ＝BC sin ∠BAC ⇒AB 22
＝5012⇒AB ＝502.2．为测某塔AB 的高度，在一幢与塔AB 相距30 m 的楼的楼顶C 处测得塔顶A 的仰角为30°，测得塔基B 的俯角为45°，则塔AB 的高度为________ m.
答案　30＋103
解析　如图所示，依题意∠ACE ＝30°，
∠ECB ＝45°，DB ＝30，所以CE ＝30，BE ＝30，由AE
sin 30°＝CE sin 60°，得AE ＝103，所以AB ＝(30＋103) m.
3．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知a ＝2，
A
＝60°，则△ABC 的
面积最大值为________．答案　3
解析　由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，
∴4＝b 2＋c 2－bc ，
∴bc ＋4＝b 2＋c 2≥2bc ，
即bc ≤4(当且仅当b ＝c 时取“＝”)，
∴S △ABC ＝12
bc sin A ＝34bc ≤3，∴△ABC 的面积最大值为3.
题型一　解三角形的应用举例
命题点1　距离问题
例1　(1)(2022·天津模拟)如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75°，30°，此时气球的高度是60 m ，则河流的宽度BC 等于( )
A ．240(
3－1) m B ．180(2－1) m C ．120(
3－1) m D ．30(2－1) m
答案　C 解析　从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75°，30°，气球的高度是60 m ，
所以∠ABC ＝105°，∠ACB ＝30°，∠CAB ＝45°，
所以AB ＝60sin 75°
，由正弦定理可得AB sin 30°＝BC sin 45°，所以BC ＝AB sin 45°sin 30°＝60×2sin (30°＋45°)
＝120(3－1)．
(2)(2022·宁德质检)海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被誉为“地球给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上已知最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的海洋蓝洞的口径(即A ，B 两点间的距离)，现取两点C ，D ，测得CD ＝80，∠ADB ＝135°，∠BDC ＝∠DCA ＝
15°，∠ACB ＝120°，则图中海洋蓝洞的口径为________．
答案　805
解析　由已知得，在△ADC 中，∠ACD ＝15°，∠ADC ＝150°，所以∠DAC ＝15°，由正弦定理得
AC ＝80sin 150°sin 15°＝406－24＝40(6＋2)．
在△BCD 中，∠BDC ＝15°，∠BCD ＝135°，所以∠DBC ＝30°，由正弦定理CD
sin ∠CBD ＝BC
sin ∠BDC ，得BC ＝CD sin ∠BDC sin ∠CBD
＝80×sin 15°12
＝160sin 15°
＝40(6－2)．
在△ABC 中，由余弦定理得AB 2＝1 600×(8＋4
3)＋1 600×(8－43)＋2×1 600×(6＋2)×(6－2)×1
2＝1 600×16＋1 600×4＝1 600×20＝32 000，解得AB ＝805，
故图中海洋蓝洞的口径为80
5.
命题点2　高度问题
例2　(1)(2022·重庆沙坪坝质检)在东京奥运会乒乓球男单颁奖礼上，五星红旗冉冉升起，在坡度15°的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为96米(如图所示)，则旗杆的高度为
(
)A ．9米 B ．27米
C ．93米
D ．96米
答案　B
解析　依题意可知∠AEC ＝45°，
∠CAE ＝180°－60°－15°＝105°，
∴∠ACE ＝180°－45°－105°＝30°，
由正弦定理可知
AE sin ∠ACE ＝AC sin ∠AEC ，∴AC ＝AE sin ∠ACE
·sin ∠AEC ＝183(米)，∴在Rt △ABC 中，
BC ＝AC ·sin ∠CAB ＝183×32
＝27(米)．(2)(2022·河南豫南九校联盟联考)如图所示，为测量某不可到达的竖直建筑物AB 的高度，在此建筑物的同一侧且与此建筑物底部在同一水平面上选择相距10米的C ，D 两个观测点，并在C ，D 两点处测得建筑物顶部的仰角分别为45°和60°，且∠BDC ＝60°，则此建筑物的高度为( )
A ．103米
B ．53米
C ．10米
D ．5米答案　B
解析　设AB ＝x ，则BC ＝x ，BD ＝
33x ，
在△BCD 中，由余弦定理可得BC 2＝BD 2＋DC 2－2BD ·DC cos ∠BDC ，
即x 2＝13x 2＋100－2×33x ×10×12
，整理得x 2＋53x －150＝0，
解得x ＝53或x ＝－103(舍)．
命题点3　角度问题
例3　(1)(2022·合肥检测)两座灯塔A 和B 与海岸观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站北偏东40°，灯塔B 在观察站南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的( )
A ．北偏东10°
B ．北偏西10°
C ．南偏东10°
D ．南偏西10°
答案　B
解析　由题可知∠ABC ＝50°，A ，B ，C 位置如图，B 正确．
(2)如图所示，在坡度一定的山坡A 处测得山顶上一建筑物CD 的顶端C 对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100 m 到达B 处，又测得C 对于山坡的斜度为45°，若CD ＝50 m ，山坡对于地平面的坡角为θ，则cos θ等于( )
A.33
B.6－2
C.3－1
D.2－1答案　C
解析　由题知，∠CAD ＝15°，∠CBD ＝45°，
所以∠ACB ＝30°，∠ABC ＝135°.
在△ABC 中，由正弦定理得AB sin 30°＝AC sin 135°
，又AB ＝100 m ，所以AC ＝1002 m.
在△ADC 中，∠ADC ＝90°＋θ，CD ＝50 m ，
由正弦定理得AC
sin (θ＋90°)＝CD sin 15°
，所以cos θ＝sin(θ＋90°)＝AC ·sin 15°CD
＝3－1.
教师备选
1．(2022·长沙模拟)一艘海轮从A 处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B ，C 两点间的距离是( )
A ．10
2海里 B ．103海里C ．20
3海里 D ．202海里
答案　A
解析　如图所示，在△ABC 中，AB ＝20，∠CAB ＝30°，∠ACB ＝45°，
根据正弦定理得BC sin 30°＝AB sin 45°，解得BC ＝102(海里)．
2．圣·索菲亚教堂(英语：SAINT SOPHIA CATHEDRAL)坐落于中国黑龙江省，是一座始建于1907年拜占庭风格的东正教教堂，距今已有114年的历史，为哈尔滨的标志性建筑.1996年经国务院批准，被列为第四批全国重点文物保护单位，是每一位到哈尔滨旅游的游客拍照打卡的必到景点，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美，可以让游客从任何角度都能领略它的美．小明同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB ，高为(153－15)m ，在它们之间的地面上的点M (B ，M ，D 三点共线)处测得楼顶A ，教堂顶C 的仰角分别是15°和60°，在楼顶A 处测得教堂顶C 的仰角为30°，则小明估算索菲亚教堂的高度为( )
A ．20 m
B ．30 m
C ．203 m
D ．303 m
答案　D 解析　由题意知∠CAM ＝45°，∠AMC ＝105°，
所以∠ACM ＝30°，
在Rt △ABM 中，AM ＝AB
sin ∠AMB ＝AB sin 15°，在△ACM 中，由正弦定理得AM sin 30°＝CM sin 45°
，所以CM ＝AM ·sin 45°sin 30°＝AB ·sin 45°sin 15°·sin 30°
，在Rt △DCM 中，
CD ＝CM ·sin 60°＝
AB ·sin 45°·sin 60°sin 15°·sin 30°＝(15
3－15)×22×326－
24×12
＝303(m)．思维升华　解三角形的应用问题的要点
(1)从实际问题抽象出已知的角度、距离、高度等条件，作为某个三角形的元素；
(2)利用正弦、余弦定理解三角形，得实际问题的解．
跟踪训练1　(1)如图所示，为了测量A ，B 两岛屿的距离，小明在D 处观测到A ，B 分别在D 处的北偏西15°、北偏东45°方向，再往正东方向行驶10海里至C 处，观测B 在C 处的正北方向，A 在C 处的北偏西60°方向，则A ，
B 两岛屿的距离为
________海里．
答案　56
解析　由题意知∠ADB ＝60°，∠ACB ＝60°，
∠ADC ＝105°，∠ACD ＝30°，CD ＝10，
在△ACD 中，由正弦定理得
AD sin 30°＝10sin 45°，所以AD ＝10sin 30°sin 45°＝5sin 45°
＝52，在Rt △BCD 中，∠BDC ＝45°，
所以△BCD 为等腰直角三角形，
则BD ＝
2CD ＝102，在△ABD 中，由余弦定理可得AB ＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD cos 60°＝56(海里)．
(2)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶600 m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD ＝________ m.
答案　1006
解析　由题意，在△ABC 中，∠BAC ＝30°，∠ABC ＝180°－75°＝105°，
故∠ACB ＝45°.
又AB ＝600 m ，
故由正弦定理得600sin 45°＝BC sin 30°，解得BC ＝3002 m.
在Rt △BCD 中，
CD ＝BC ·tan 30°＝3002×33
＝1006(m)．题型二　解三角形中的最值和范围问题
例4　(2022·辽宁实验中学模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知33b sin C ＋c cos B ＝a .
(1)若a ＝2，b ＝
3，求△ABC 的面积；(2)若c ＝2，求△ABC 周长的取值范围．
解　(1)∵
33b sin C ＋c cos B ＝a ，∴33sin B sin C ＋sin C cos B ＝sin A ，
∴
33sin B sin C ＋sin C cos B ＝sin(B ＋C )，∴33sin B sin C ＋sin C cos B
＝sin B cos C ＋cos B sin C ，∴33sin B sin C ＝sin B cos C ，
∵sin B ≠0，∴
33sin C ＝cos C ，又易知cos C ≠0，
∴tan C ＝3，
∵0<C <π，
∴C ＝π3
.∵a ＝2，b ＝3，C ＝π3
，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12
×2×3×sin π3＝12×2×3×32＝32
.(2)在△ABC 中，c ＝2，C ＝π3
，由余弦定理得4＝a 2＋b 2－ab ，
∴(a ＋b )2－4＝3ab ≤3·
(a ＋b 2)2，即(a ＋b )2－4≤34
(a ＋b )2，即(a ＋b )2≤16，
∴0<a ＋b ≤4，当且仅当a ＝b 时等号成立，
又a ＋b >c ＝2，
∴2<a ＋b ≤4，∴4<a ＋b ＋c ≤6，
故△ABC 周长的取值范围是(4,6]．
延伸探究　把本例(2)改为△ABC 为锐角三角形，若c ＝2，求△ABC 周长的取值范围．解　(1)同例题．
(2)∵a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2sin π3，
∴a ＝433sin A ，b ＝433
sin B ，∴a ＋b ＋c ＝433
sin A ＋433sin B ＋2＝433sin A ＋433
sin (2π3－A )＋2＝4
33(32
sin A ＋32cos A )＋2＝4sin (A ＋π6)＋2，
∵△ABC 为锐角三角形，
∴Error!
解得π6<A <π2，∴π3<A ＋π6<2π3
，∴
32<sin (A ＋π6)≤1，
∴23＋2<4sin (A ＋π6)＋2≤6，
∴△ABC 周长的取值范围为(23＋2,6]．
教师备选
在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足cos C ＋cos A cos B ＝22sin A cos
B .
(1)求cos B 的值；
(2)若a ＋c ＝2，求b 的取值范围．
解　(1)因为cos C ＋cos A cos B ＝22sin A cos B ，
所以－cos(A ＋B )＋cos A cos B ＝22sin A cos B ，
即sin A sin B ＝22sin A cos B ，
因为sin A ≠0，
所以sin B ＝22cos B >0，
又因为sin 2B ＋cos 2B ＝1，解得cos B ＝13
.(2)由a ＋c ＝2，可得c ＝2－a ，
由余弦定理，得
b 2＝a 2＋
c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－23
ac ＝a 2＋(2－a )2－23
a (2－a )
＝83(a －1)2＋43
，因为0<a <2，所以43
≤b 2＜4，所以2
33≤b <2，
所以b 的取值范围为[233，2)
.思维升华　解三角形中最值(范围)问题的解题策略
利用正弦、余弦定理以及面积公式化简整理，构造关于某一个角或某一边的函数或不等式，利用函数的单调性或基本不等式等求最值(范围)．
跟踪训练2　(2022·大连模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b 2＋c 2－a 2＝bc .
(1)求角A 的大小；
(2)若a ＝3，求BC 边上的中线AM 的最大值．
解　(1)∵b 2＋c 2－a 2＝bc ，
∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12
，又A ∈(0，π)，∴A ＝π3
.(2)在△ABC 中，由余弦定理得
a 2＝
b 2＋
c 2－2bc cos A ＝b 2＋c 2－bc ＝3，
∴b 2＋c 2＝bc ＋3≥2bc (当且仅当b ＝c 时取等号)，
∴bc ≤3.
又cos B ＝a 2＋c 2－b 2
2ac
，在△ABC 中，∵AM → ＝12(AB →
＋AC → )，∴AM → 2＝14(AB →
2＋2AB → ·AC → ＋AC → 2)＝14(b 2＋c 2＋bc )＝14(2bc ＋3)
≤14(2×3＋3)＝94，
∴AM ≤32，即中线AM 的最大值为32
.课时精练
1．(2022·济南模拟)如图，一架飞机从A 地飞往B 地，两地相距500 km.飞行员为了避开某一区域的雷雨云层，从A 点起飞以后，就沿与原来的飞行方向AB 成12°角的方向飞行，飞行到中途C 点，再沿与原来的飞行方向AB 成18°角的方向继续飞行到终点B 点．这样飞机的飞行路程比原来的路程500 km 大约多飞了(sin 12°≈0.21，sin 18°≈0.31)( )
A ．10 km
B ．20 km
C ．30 km
D ．40 km
答案　B 解析　在△ABC 中，由A ＝12°，B ＝18°，
得C ＝150°，
由正弦定理得
500sin 150°＝BC sin 12°＝AC sin 18°，所以500
12≈BC 0.21≈AC 0.31，所以AC ＝310 km ，BC ＝210 km ，
所以AC ＋BC －AB ＝20 km.
2．岳阳楼与湖北武汉黄鹤楼，江西南昌滕王阁并称为“江南三大名楼”，是“中国十大历史文化名楼”之一，世称“天下第一楼”．其地处岳阳古城西门城墙之上，紧靠洞庭湖畔，下瞰洞庭，前望君山．始建于东汉建安二十年(215年)，历代屡加重修，现存建筑沿袭清光绪六年(1880年)重建时的形制与格局．因北宋滕宗谅重修岳阳楼，邀好友范仲淹作《岳阳楼记》使得岳阳楼著称于世．自古有“洞庭天下水，岳阳天下楼”之美誉．小李为测量岳阳楼的高度选取了与底部水平的直线AC ，如图，测得∠DAC ＝30°，∠DBC ＝45°，AB ＝14米，则岳阳楼的高度CD 约为(2≈1.414，3≈1.732)(
)
　A．18米B．19米C．20米D．21米答案　B
解析　在Rt△ADC中，∠DAC＝30°，
则AC＝3CD，
在Rt△BDC中，∠DBC＝45°，则BC＝CD，由AC－BC＝AB得
3CD－CD＝14⇒CD＝14 3－1
＝7(3＋1)≈19.124，CD约为19米．
3.第6号台风“烟花”于2021年7月25日12时30分前后登陆舟山普陀区．如图，A点，正北方向的C市受到台风侵袭，一艘船从A点出发前去实施救援，以24 n mile/h的速度向正
北航行，在A处看到S岛在船的北偏东15°方向，船航行3
4
h后到达B处，在B处看到S岛
在船的北偏东45°方向．此船从A点到C市航行过程中距离S岛的最近距离为( )
A．92n mile B．9(2－1)n mile
C．9(3－1)n mile D．9(3－2)n mile
答案　C
解析　如图，SE⊥AB，
在△ASB 中，∠ABS ＝135°，
AB ＝24×34
＝18，∠BAS ＝15°，∠ASB ＝180°－∠ABS －∠SAB ＝30°，
由正弦定理得
AS
sin ∠ABS ＝AB
sin ∠ASB ，所以AS ＝AB sin 135°sin 30°
＝182(n mile)，所以船与S 岛的最近距离
SE ＝SA ·sin ∠SAB ＝18
2sin 15°＝182×6－
24＝9(3－1)(n mile)．
4．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝2，B ＝2A ，则b 的取值范围为( )
A ．(0,4)
B ．(2,23)
C ．(2,4)
D ．(22，4)答案　C
解析　因为a ＝2，B ＝2A ，
所以由正弦定理得
a sin A ＝
b sin B ＝b 2sin A cos A
，得b ＝4cos A ，由Error!
解得0<A <π3
，所以12
<cos A <1，所以2<4cos A <4，所以2<b <4.
5．(多选)某人向正东走了x km 后向右转了150°，然后沿新方向走了3 km ，结果离出发点恰好3 km ，那么x 的值是( )A.3 B ．23
C ．3
D ．6答案　AB
解析　如图，AB ＝x ，BC ＝3，AC ＝3，∠ABC ＝30°.
由余弦定理得3＝x2＋9－2×3×x×cos 30°.
解得x＝23或x＝3.
6．(多选)在锐角△ABC中，边长a＝1，b＝2，则边长c可能的取值是( ) A.2B．2
C．22 D.13 2
答案　BD
解析　若c边为最大边，则cos C>0，
∴a2＋b2－c2
2ab
>0，
∴c<5，
若b边为最大边，则cos B>0，
∴a2＋c2－b2
2ac
>0，∴c>3，
∴3<c<5，
∴边长c可能的取值是2，13 2
.
7．《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同立．甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为7步/秒，乙的速度为3步/秒，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东某方向走了一段后与乙相遇，则甲、乙共走了________步．
答案　35
解析　由题意，得到示意图如图所示，甲、乙从A点出发，甲走到B处后，又斜向北偏东某方向走了一段后与乙相遇，即在C点相遇，假设甲、乙相遇时经过时间为t秒，每步走a米，则AC＝3ta，AB＝10a，BC＝(7t－10)a，
在Rt△ABC中，AC2＋AB2＝BC2，
即(3ta)2＋(10a)2＝[(7t－10)a]2，
解得t ＝72
，故甲走了7t ＝492
＝24.5步，乙走了3t ＝212
＝10.5步．故共走了24.5＋10.5＝35步．
8．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若
sin A sin B ·cos C ＝2sin 2C ，则a 2＋b 2c 2＝
________，sin C 的最大值为________．
答案　5　35解析　∵sin A sin B cos C ＝2sin 2C ，
∴利用正弦定理可得ab cos C ＝2c 2，
又∵cos C ＝
a 2＋
b 2－
c 22ab ，∴a 2＋b 2－c 22
＝2c 2 ，整理可得a 2＋b 2
c 2＝5.∴cos C ＝
a 2＋
b 2－
c 2
2ab ＝a 2＋b 2－a 2＋b 25
2ab ＝2(a 2＋b 2)
5ab ≥2·2ab 5ab ＝45
，当且仅当a ＝b 时等号成立，
∴sin C 的最大值为1－cos 2C ＝35
，当且仅当a ＝b 时等号成立．
9．已知函数f (x )＝23sin x cos x －2cos 2x ＋m ，且函数f (x )的最大值为3.
(1)求m 的值；
(2)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若f (B )＝0，b ＝2，求△ABC 面积的最大值．
解　(1)因为f (x )＝23sin x cos x －2cos 2x ＋m ＝
3sin 2x －2×1＋cos 2x 2＋m ＝3sin 2x －cos 2x ＋m －1
＝2sin (2x －π6)＋m －1，
所以f (x )max ＝m ＋1＝3，解得m ＝2.
(2)因为f (B )＝2sin (2B －π6)＋1＝0，
可得sin (2B －π6)＝－12
，因为0<B <π，
则－π6<2B －π6<11π6
，所以2B －π6＝7π6
，可得B ＝2π3
，由余弦定理可得4＝b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2＋ac ≥2ac ＋ac ＝3ac ，即ac ≤43
，当且仅当a ＝c ＝233时，等号成立，因此S △ABC ＝12ac sin B ＝34ac ≤34×43＝33，即△ABC 面积的最大值为33.
10．(2022·江苏前黄高级中学质检)记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .请在下列三个条件中任选一个作为已知条件，解答问题．
①(a －c )sin A ＋c sin(A ＋B )＝b sin B ；②2S ＝
3AB → ·CB →
(其中S 为△ABC 的面积)；③3a －c sin B ＝3b cos C .
(1)若b ＝4，ac ＝3，求a ＋c 的值；
(2)若△ABC 为锐角三角形，且c ＝2，求a 的取值范围．
解　选择①(a －c )sin A ＋c sin(A ＋B )＝b sin B ，
由正弦定理得(a －c )a ＋c 2＝b 2，
所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12
，B ∈(0，π)，则B ＝π3
；选择②2S ＝3AB → ·CB → ，则ac sin B ＝3ca cos B ，
所以tan B ＝3，又B ∈(0，π)，
则B ＝π3
；选择③3a －c sin B ＝3b cos C ，由正弦定理得
3sin A －sin C sin B ＝3sin B cos C ，
又因为sin A ＝sin(B ＋C )
＝sin B cos C ＋cos B sin C ，所以3cos B sin C －sin C sin B ＝0，
则tan B ＝3，又B ∈(0，π)，则B ＝π3
，故选择①②③均得到B ＝π3
.(1)若b ＝4，ac ＝3，
由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，
即16＝a 2＋c 2－2ac cos π3
＝(a ＋c )2－3ac ，所以a ＋c ＝5.
(2)由△ABC 为锐角三角形及B ＝π3
，得A ＝2π3
－C ∈(0，π2)且C ∈(0，π2)，所以C ∈(π6，π2
)
，由正弦定理得a sin A ＝2sin C
，所以a ＝2sin A sin C ＝2sin (C ＋π3)sin C
＝sin C ＋
3cos C sin C ＝1＋
3tan C .因为C ∈(π6，π2
)，所以tan C ∈(33，＋∞)
，
所以
1
tan C
∈(0，3)，
所以1＋
3
tan C
∈(1,4)，即所求a的取值范围是(1,4)．
11.(2022·大庆模拟)小李在某大学测绘专业学习，节日回家，来到村头的一个池塘(如图阴影部分)，为了测量该池塘两侧C，D两点间的距离，除了观测点C，D外，他又选了两个观测点P1，P2，且P1P2＝a，已经测得两个角∠P1P2D＝α，∠P2P1D＝β，由于条件不足，需要再观测新的角，则利用已知观测数据和下面三组新观测的角的其中一组，就可以求出C，D间距离的是( )
①∠DP1C和∠DCP1；②∠P1P2C和∠P1CP2；③∠P1DC和∠DCP1.
A．①和②B．①和③
C．②和③D．①和②和③
答案　D
解析　根据题意，△P1P2D的三个角和三个边，由正弦定理均可以求出，
①中，
CD
sin∠DP1C
＝
DP1
sin∠DCP1
，
故CD＝DP1sin∠DP1C sin∠DCP1
，
故①可以求出CD；③与①条件等价．②中，在△P1P2C中，
P1P2 sin∠P1CP2＝
P1C
sin∠P1P2C
，
故P1C＝a sin∠P1P2C sin∠P1CP2
，
在△P1CD中，利用余弦定理求解CD即可．
12．要测量电视塔AB的高度，在C点测得塔顶的仰角是45°，在D点测得塔顶的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40 m，则电视塔的高度是( )
A．30 m B．402m
C．403m D．40 m
答案　D
解析　由题意，设AB＝x，
由于AB⊥平面BCD，BC，BD⊂平面BCD，∴AB⊥BC，AB⊥BD，
由题意可得∠ACB＝45°，∠ADB＝30°，
在Rt△ABC中，tan ∠ACB＝AB
BC
，
∴BC＝AB
tan 45°
＝x，同理可得BD＝3x，
在△BCD中，∠BCD＝120°，CD＝40，
根据余弦定理
得BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos∠DCB，
即(3x)2＝402＋x2－2×40·x·cos 120°，
整理得x2－20x－800＝0，
解得x＝40 或x＝－20 (舍)，
即所求电视塔的高度为40 m.
13．(2022·长春模拟)在气象台正西方向300 km处有一台风中心，它正向东北方向移动，移动速度的大小为40 km/h，距台风中心250 km以内的地区都将受到影响，若台风中心的这种移动趋势不变，大约_____________小时后气象台所在地开始受到影响(参考数据：2≈1.4，7≈2.6)．
答案　2
解析　设气象台所在地为O，台风中心为A，约t小时后气象台所在地将受到影响，t小时后台风中心移动至B处，∠BAO＝45°，
在△OAB中，AB＝40t，OA＝300，OB＝250，
由余弦定理得
2502＝(40t)2＋3002－2×300×40t×
2 2
，
整理得16t2－1202t＋275＝0，
解得t1＝152－57
4
，t2＝
152＋57
4
，
依题意保留t1＝152－57
4
≈2，故约2小时后影响气象台所在地．
14.如图，△ABC 为等腰直角三角形，A ＝π2
，点D 是△ABC 外一点，且DB ＝2，DC ＝1，则四边形ABDC 的面积的最大值为________．
答案　54＋2
解析　设∠BDC ＝θ，则θ∈(0，π)，
∴S △BDC ＝12
·DB ·DC ·sin θ＝sin θ，在△BDC 中，由余弦定理得
BC 2＝DB 2＋DC 2－2DB ·DC ·cos θ＝5－4cos θ，
又S △ABC ＝12·BC ·12BC ＝14BC 2＝54
－cos θ，∴S 四边形ABDC ＝54
－cos θ＋sin θ＝54＋2sin (θ－π4)，θ∈(0，π)，
当θ－π4＝π2，即θ＝3π4
时，S 四边形ABDC 的最大值为54＋2.
15．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若c cos A ＋a cos C ＝2，AC 边上的高为3，则∠ABC 的最大值为( )
A.π6
B.π3
C.π2
D.2π3
答案　B
解析　∵c cos A ＋a cos C ＝2，
由余弦定理可得c ·b 2＋c 2－a 22bc ＋a ·a 2＋b 2－c 2
2ab
＝2，整理可得b ＝2，又AC 边上的高为3，
∴12×2×3＝12
ac sin B ，即ac ＝23sin B ，∵cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ≥2ac －b 22ac ＝1－2ac
，当且仅当a ＝c 时取等号，∴cos B ≥1－33sin B ，即3sin B ＋3cos B ≥3，即sin (B ＋π3)≥32，
∵B ∈(0，π)，
∴B ＋π3∈(π3，4π3)，则B ＋π3
∈(π3，2π3]，∴B ∈(0，π3]，故∠ABC 的最大值为π3
.16.如图所示，经过村庄A 有两条夹角为60°的公路AB ，AC ，根据规划拟在两条公路之间的区域建一工厂P ，分别在两条公路边上建两个仓库M ，N (异于村庄A )，要求PM ＝PN ＝MN ＝2(单位：千米)．如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)?
解　设∠AMN ＝θ，在△AMN 中，
MN sin 60°＝AM sin (120°－θ)
.因为MN ＝2，所以AM ＝433
sin(120°－θ)．在△APM 中，cos ∠AMP ＝cos(60°＋θ)．
AP 2＝AM 2＋MP 2－2AM ·MP ·cos ∠AMP
＝163
sin 2(120°－θ)＋4－2×2×433sin(120°－θ)cos(60°＋θ)＝163
sin 2(θ＋60°)－1633sin(θ＋60°)cos(θ＋60°)＋4＝83[1－cos(2θ＋120°)]－833sin(2θ＋120°)＋4
＝－83[3sin(2θ＋120°)＋cos(2θ＋120°)]＋
203
＝20
3
－
16
3
sin(2θ＋150°)，0°<θ<120°.
当且仅当2θ＋150°＝270°，
即θ＝60°时，AP2取得最大值12，即AP取得最大值23.所以设计∠AMN＝60°时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．。