2021-2022学年新教材人教A版必修第一册 5.5.2 简单的三角恒等变换(一) 课件(45张)

【解析】(1)选B.因为 5 <θ<3π,
2
所以cos θ= 1 sin2＝ 4，5 3 .
54 2 2
所以 sin 0，cos 0.
2
2
所以 sin ＝ 1 cos＝ 3 10，
2
2
10
cos ＝ 1 cos＝ 10 .
2
2
10
所以
tan
＝ sin 2 cos
2
＝3.
所以 tan ＋cos ＝3
3
②函数f(x)=sin 6x的最大值为1,最小值为-1.
【延伸探究】在本例(2)中,如何证明函数f(x)的图象关于直线x= 对称?
12
【解析】函数的解析式化简为f(x)=3sin 2x-4sin32x=sin 6x.
方法一:由6x=kπ+ ,k∈Z,得x= k , k∈Z,所以函数f(x)=sin 6x的图
2
2
2
2
因为π<α< 3，所以 3，
2
22 4
所以cos <0,sin >0,
2
2
所以原式=
(sin cos )2
(sin cos )2
2
2＋ 2
2
2(sin cos ) 2(sin cos )
22
22Biblioteka sin cos sin cos
＝ 2
2＋ 2
2
2
2
则y=sin 6x, 点P(x,y)关于直线x= 的对称点为P′ ( x, y,)由于
12
6
=sin(π-6x)=sin 6x,所以点P′ ( x, y在) 函数图象上.
6
所以函数图象关于直线x= 对称.
12
sin 6( x) 6
【类题通法】三角恒等式证明的常见途径 (1)从复杂的一端向简单一端化简,即化繁为简. (2)两边化简,使其都等于中间某个式子,即左右归一. (3)把式子中的切函数化为弦函数,即化切为弦. (4)利用与原式等价的式子,即等价化归.
4.已知cos 2α= 1 ,且 <α<π,则tan α=________.
2
2
【解析】因为 <α<π,所以tan α=
2
答案:- 3
3
1 cos 2＝ 3 . 1 cos 2 3
课时讲练通
5
2
【解析】由题意得,
sin
cos
7， 5
sin2 cos2 1
⇒
sin cos
4，
5或
3 5
sin
3， 5
cos
4. 5
所以 tan sin 1 或 1.
2 1 cos 2 3
答案: 1 或 1
23
【补偿训练】
已知sin α=- 8 且π<α< 3 ,求sin ,cos ,tan 的值.
【解析】(1)sin 3θ=sin(2θ+θ)=sin 2θcos θ+cos 2θsin θ =2sin θ(1-sin2θ)+(1-2sin2θ)sin θ=3sin θ-4sin3θ . (2)f(x)=3sin 2x-4sin32x=sin 2x+2sin 2x-2sin32x-2sin32x=sin 2x(12sin22x)+2sin 2x(1-sin22x) =sin 2xcos 4x+2sin 2xcos22x=sin 2xcos 4x+cos 2xsin 4x =sin(2x+4x)=sin 6x. ①所以f(x)的最小正周期T= 2 .
3.已知θ∈ [5 , 3] ,则
42
1 sin 2
1 sin 2 可化简为
(
)
A.2sin θ
B.-2sin θ
C.-2cos θ
D.2cos θ
【解析】选D.因为θ∈ [5 , 3],
42
所以sin θ<cos θ<0,
所以 1 sin 2 1 sin 2 | cos sin | | cos sin | 2cos.
2
6 12
象的对称轴为直线x= k , k∈Z.
6 12
令k=0,所以函数图象的一条对称轴为直线x= ,
12
即函数图象关于直线x= 对称.
12
方法二:只要证明函数f(x)的图象上任意一点P(x,y)关于直线x= 的对称
12
点P′ ( x, y仍) 然在函数图象上即可.
6
设函数f(x)= sin 6x的图象上任意一点P(x,y),
答案:- 2
cos
【补偿训练】
已知π<α< 3 ,化简:
1 sin
＋
1 sin
.
2
1 cos 1 cos 1 cos 1 cos
【解析】原式=
(sin cos )2
(sin cos )2
2 2 | cos |
2 2 | sin |
＋
2 2 | cos |
2
2 | sin
|
.
＝ 2cos . 2
探究点三 三角恒等变换的综合应用 【典例3】(1)求证:sin 3θ=3sin θ-4sin3θ. (2)已知函数f(x)=3sin 2x-4sin32x, 求:①f(x)的最小正周期. ②函数f(x)的最大值和最小值. 【思维导引】(1)先转化为和角的正弦公式,再利用二倍角公式证明. (2)先将三角函数解析式化简,再求周期和最值.
2
2
(2)原式=
cos
(
sin
2
sin 2
cos
)
1 cos 2 sin 2
cos2 sin2
2
2
sin cos
2sin2 2cos 2sin cos sin
sin 2. cos
2
2
22
答案:2
【类题通法】三角函数式化简的要求、思路和方法 (1)化简的要求. ①能求出值的应求出值; ②尽量使三角函数种数最少; ③尽量使项数最少; ④尽量使分母不含三角函数; ⑤尽量使被开方数不含三角函数.
2
2
2
提示:sin2 = 1 (1-cos α),cos2 = 1 (1+cos α),
22
22
tan2 = 1 cos .
2 1 cos
【知识生成】
结论:半角公式与降幂公式
降幂公式
1 cos
sin2 =_____2_____
2 1 cos
cos2 =_____2_____
2 1 cos
1 sin 1 sin 2
【解析】 1 sin 1 sin | cos | | cos |
1 sin 1 sin 1 sin 1 sin
|
cos
|
1
2 sin2
|
cos
|
2 cos2
.
又因为 <α<π,所以cos α<0,
2
所以 1 sin 1 sin 2 .
1 sin 1 sin cos
(2cos2 2sin cos )(sin cos )
2
22 2
2，
2cos | |
2
因为180°<α<360°,所以90°< <180°,故cos <0,
2
2
2cos (cos sin )(sin cos )
所以原式=
22 22 2cos
2
2
cos2 sin2 cos.
tan2 =__1__c_o_s____
2
半角公式
sin =___1__c_2o_s___
2
cos =___1__c_2o_s___
2
tan
2
=___11__ccoo_ss____
关键能力探究
探究点一 利用半角公式求值
【典例1】(1)已知sin θ= 3，5 <θ<3π,那么tan +cos 的值为
【典例2】(1)化简:
(1
sin
cos)(sin
2
cos
) 2 (180＜＜360).
2 2cos
(2)化简
(
1 tan
tan
) 2
1 cos 2 sin 2
=________.
2
【思维导引】(1)灵活运用公式,变角入手,α到 .
2
(2)先切化弦,再利用倍角公式求解.
【解析】(1)原式=
【补偿训练】 设α为第四象限角,若 sin 3 13，则tan 2α=____.
sin 5
【解析】因为sin 3α=3sin α-4sin3α,
所以 sin 3 3sin 4sin3 =3-4sin2α= 13 .且α为第四象限角,
sin
sin
5
所以sin α=- 10 ,cos α= 3 10,于是tan α= sin 1.
(2)化简的思路. 对于和式,基本思路是降次、消项和逆用公式;对于三角分式,基本思路是分子 与分母约分或逆用公式;对于二次根式,注意二倍角公式的逆用.另外,还可以 用切化弦、变量代换、角度归一等方法. (3)化简的方法. 弦切互化,异名化同名,异角化同角,降幂或升幂等.
【定向训练】 化简: 1 sin 1 sin (＜＜) =________.
5.5.2 简单的三角恒等变换(一)
必备知识生成
【情境探究】 问题1.如何用cos 2α表示sin2α,cos2α,tan2α?
提示:根据倍角公式,得sin2α= 1 (1-cos 2α),
2
cos2α= 1 (1+cos 2α),tan2α= 1 cos 2 .
2
1 cos 2
问题2.如何用cos α表示sin2 ,cos2 ,tan2 ?
52
2
2
()
A. 10 3 10
C. 3 10 10
B.3 10 10
D.3＋ 10 10
(2)已知cos
α=
3， (，3),
5
2
则tan
2
=________.
【思维导引】(1)利用 1 (1 cos),cos2 = 1 (1+cos θ)求解.
22
22
(2)利用半角公式计算,也可以通过其他三角恒等变换计算.
10
10
cos 3
所以tan 2α= 答案:- 3
4
2tan 1 tan2
2( 1)
1
(
3 1)2
3. 4
3
【课堂小结】
课堂素养达标
1.若π<α<2π,则化简 1 cos( ) 的结果是 ( )
2
A.sin
B.cos
2
2
C.-cos
D.-sin
2
2
【解析】选C.因为π<α<2π,所以
1 cos | cos | cos .
2
2
2
＜＜，所以cos
22
<0,原式=
2
2.tan 的值为( )
8
A. 2 -1
B. 2 +1
C. 3 +1
D. 3 -1
【解析】选A. tan
8
1 cos
4 1 cos
4
1 2 2
1 2 2
2 2
2 2
(2 2)2 2 2
2
2
2 1.
17
2
2
2
2
【解析】因为sin α= 8 , 3 ,
17
2
所以cos α= 15 .又 3 ,
17 2 2 4
所以 sin
1 cos
1 15 17
4
17 ,
2
2
2
17
cos
1 cos
1 15 17
17 ,
2
2
2
17
tan
2
sin 2
cos
4.
2
探究点二 利用三角恒等变换化简
【定向训练】 1.证明:cos 3θ=4cos3θ-3cos θ. 【证明】cos 3θ=cos(2θ+θ)=cos 2θcos θ-sin 2θsin θ =(2cos2θ-1)cos θ-2(1-cos2θ)cos θ=4cos3θ-3cos θ.
2.若f(cos θ)= cos 3θ,求f(x)的解析式. 【解析】令x=cos θ,因为f(cos θ)=cos 3θ=4cos3θ-3cos θ, 所以f(x)=4x3-3x, x∈[-1,1].
22
10 . 10
2
(2)方法一:因为 cos 3，(，3),则 ( , 3)， 则由半角公式,得tan
5
2 2 24
2
1 cos 1 cos
1 ( 3)
5 1 ( 3)
2.
5
方法二:因为 cos 3，(, 3),
5
2
所以
sin 4，所以tan
5
2
sin 2
cos
2sin2 2
2sin cos
1 cos sin
1 ( 3)
5 4
2.
2
22
5
答案:-2
【类题通法】已知θ的某个三角函数值,求 的三角函数值的步骤
2
(1)根据θ的范围,利用同角三角函数基本关系式求得θ的其他三角函数值.
(2)注意 的范围,代入半角公式计算即可.
2
【定向训练】
已知sin α+cos α= 7 ,且α是第一象限角,则tan =________.