高等数学第9章参考答案

第八章 多元函数的微分法及其应用
§ 1 多元函数概念
一、设]),,([:,),(,),(22222y y x f y x y x y x y x f ϕϕ求-=+=.
二、求下列函数的定义域：
1、2
221)
1(),(y x y x y x f ---= 222{(,)|(,)R ,1};x y x y y x ∈+≠ 2、x
y
z arcsin = };0,|),{(≠≤x x y y x
三、求下列极限：
1、22
2)0,0(),(sin lim y x y
x y x +→ （0） 2、
x y x x y
3)2,(),()1(lim
+∞→ (6e )
四、证明极限 24
2)0,0(),(lim y
x y
x y x +→不存在. 证明：当沿着x 轴趋于（0，0）时，极限为零，当沿着2
x y =趋于（0，0）时，极限为2
1
, 二者不相等，所以极限不存在
五、证明函数⎪⎩
⎪⎨⎧
=≠+=)0,0(),(,0)0,0(),(,1sin ),(22
y x y x y
x xy y x f 在整个xoy 面上连续。

证明：当)0,0(),(≠y x 时，为初等函数，连续),(y x f 。

当)0,0(),(=y x 时，
)0,0(01
sin lim 2
2)0,0(),(f y
x xy y x ==+→，所以函数在（0，0）也连续。

所以函数 在整个xoy 面上连续。

六、设)(2y x f y x z +++=且当y=0时2x z =，求f(x)及z 的表达式. 解：f(x)=x x -2，z y xy y x -++=2222 § 2 偏导数
1、设z=x y
x e x y + ,验证 z xy +=∂∂+∂∂y
z
y
x z x 证明：x y
x y
x y
e x ,e x y e y +=∂∂-+=∂∂y z x z ，∴z xy xe xy xy x y
+=++=∂∂+∂∂y
z
y x z x 4
2244222222)()),,((y y x x y y x y y x f +-=+-=ϕ答案：
2、求空间曲线⎪⎩⎪
⎨⎧=+=Γ2
1
:2
2y y x z 在点（1,21,23）处切线与y 轴正向夹角(4π) 3、设y
x y xy y x f arcsin )1(),(2
-+=, 求)1,(x f x ( 1)
4、设y
z x u =, 求
x u ∂∂ ，y u ∂∂ ，z
u ∂∂ 解：1
-=∂∂y z
x y z x u ，x x y
z y u y z
ln 2-=∂∂ x x y z u y z
ln 1=∂∂ 5、设2
2
2
z y x u ++=，证明 : u z
u y u x u 2
222222=∂∂+∂∂+∂∂
6、判断下面的函数在(0,0) 处是否连续？是否可导（偏导）？说明理由
⎪⎩
⎪⎨⎧≠+≠++=0,00,1sin ),(222
22
2y x y x y
x x y x f )0,0(0),(lim 0
0f y x f y x ==→→ 连续； 201
sin lim )0,0(x
f x x →= 不存在， 000
0lim )0,0(0=--=→y f y y
7、设函数 f(x,y)在点（a,b ）处的偏导数存在，求 x
b x a f b x a f x )
,(),(lim
--+→
（2f x (a,b)） § 3 全微分 1、单选题
（1）二元函数f(x,y)在点(x,y)处连续是它在该点处偏导数存在的 __________
(A) 必要条件而非充分条件 （B ）充分条件而非必要条件 （C ）充分必要条件 （D ）既非充分又非必要条件
（2）对于二元函数f(x,y)，下列有关偏导数与全微分关系中正确的是___
(A) 偏导数不连续，则全微分必不存在 （B ）偏导数连续，则全微分必存在 （C ）全微分存在，则偏导数必连续 （D ）全微分存在，而偏导数不一定存在 2、求下列函数的全微分：
1）x y e z = )1
(2dy x dx x
y e dz x y
+-=
2）)sin(2xy z = 解：)2()cos(22xydy dx y xy dz +=
3）z
y
x u = 解：xdz x z
y
xdy x z dx x z y du z y
z y
z y
ln ln 121-+=-
3、设)2cos(y x y z -=， 求)4
,0(π
dz
解：dy y x y y x dx y x y dz ))2sin(2)2(cos()2sin(-+-+--= ∴)4
,
0(|π
dz =
dy dx 2
4
π
π
-
4、设2
2),,(y
x z z y x f += 求：)1,2,1(df )542(251
dz dy dx +--
5、讨论函数⎪⎩
⎪
⎨⎧=≠++=)
0,0(),(,0)0,0(),(,1sin )(),(2
22
2y x y x y x y x y x f 在（0，0）点处
的连续性 、偏导数、 可微性
解：)0,0(01
sin )(lim 2
222)0,0(),(f y x y x y x ==++→ 所以),(y x f 在（0，0）点处连续。

0)
0,0(),0(lim )0,0(,0)0,0()0,(lim
)0,0()0,0(),()
0,0(),(=∆-∆==∆-∆=→→y
f y f f x f x f f y x y y x x
0)
()(0),(2
2
→∆+∆-∆∆y x y x f ，所以可微。

§4 多元复合函数的求导法则
1、 设t
v e v t u u z ===,sin ,，求dt
dz
解：dt
dz =1cos .(sin )ln sin (sin )t t
e t e t t t e t t e -⋅+⋅⋅ 2、 设,)
(32y
x y x z -+=，求y
z x z ∂∂∂∂, 23123(23)()3()ln(),x y x y z
x y x y x y x y y
---∂=-+-++∂ 3、 设)(2x
y f x z n
=，f 可微，证明nz y z y x z x =∂∂+∂∂2 4、 设)2,(2
2
xy y x f z -=，其中f 具有二阶连续偏导数，求2
2x
z
∂∂，y x z ∂∂∂2， 22y z ∂∂ 解：1222z xf yf x
∂''=+∂ ,
1222z
yf xf y
∂''=-+∂ ,21112221222((2)2)22((2)2)z x f y f x f y f y f x x y ∂'''''''''=-+++-+∂∂ =2
2
1111222244()4f xyf x y f xyf '''''''-+-+
222
111122222484z f x f xyf y f x
∂'''''''=+++∂,222111122222484z f y f xyf x f y ∂'''''''=-+-+∂
5、 设)(),(y
x
g x y xy f z +=，其中f 具有二阶连续偏导数、g 具有二阶连续导数，求y x z ∂∂∂2
解：1221z y f y f g x x y ∂'''=-+∂ ，
2111122122222231111()()z y x f y f x f f f x f g g x y x x x x y y
∂'''''''''''''=++--+--∂∂
6、 设),,(z y x F u =，),(y x f z =，)(x y ϕ=，求dx
du
解：dx
du ))(()(321x f f F x F F y x ϕϕ''+'
'+''+'=。

7、设),(v u z z =，且变换⎩⎨⎧+=-=ay
x v y x u 2 可把方程+∂∂226x z y x z ∂∂∂222y z ∂∂-=0 化为 02=∂∂∂v u z
， 其中z 具有二阶连续偏导数，求常数a 的值 )3(=a
证明：v z u z x z ∂∂+∂∂=∂∂
v z
a u z y z ∂∂+∂∂-=∂∂2 2222222v u v u z u
z x z ∂∂+∂∂∂+∂∂=∂∂ 22
22222244v u a v u z a u z
y z ∂∂+∂∂∂-∂∂=∂∂ 222222)2(2v u a v u z a u z y x z ∂∂+∂∂∂-+∂∂-=∂∂∂
得：0)6()
510(22
22=∂∂-++∂∂∂+v
u a a v u z a a=3 8、设函数f(x,y)具有连续的一阶偏导数，f(1,1)=1,a f =)1,1(/1,b f =)1,1(/2 又，{})],(,[,)(x x f x f x f x =ϕ 求 ).1(ϕ和)1(/ϕ (1) , (a+ab+ab 2+b 3)
§ 5 隐函数的求导公式
1、 设y x y y +=ln ，求dx
dy
解：令(,)ln F x y y y x y =--，1
1,ln ,ln x y dy F F y dx y
=-=∴=
2、 设),(y x z z =由方程)(2
22y
z yf z y x =++确定，其中f 可微，证明
xz y
z
xy x z z y x 22)(222=∂∂+∂∂--
3、 设),(y x z z =由方程z
y e z x +=所确定，其中f 可微，求y x z ∂∂∂2
,1,)1(z z
y z z x z x z +-=∂∂+=∂∂ y x z ∂∂∂23
)1(z x z +-=
4、 设⎩
⎨⎧+==++2
22221y x z z y x ，求dx dy ，dx dz ( dy x dx y =-，0dz dx =) 5、 设),(y x z z =由方程0),,(=+xz z y xy F 所确定，F 可微，求y
z
x z ∂∂∂∂,
解：令(,,)F x y z =(,,)F xy y z xz + ，则13122323,y x z z F F F y zF F x F z
z x F y F F xF F xF ''''++∂∂=-=-=-=-
∂∂''''++ 6、设),(y x f z =由方程0=-++++y x z e y x z 所确定，求dz (dy dx dz --=)
7、设z=z(x,y)由方程 y z yz x xy
=-+3
)cos(3所确定，求x
z
∂∂, y z ∂∂ ,
)sin(3)cos(3ln .32yz xy z yz y x z xy ++=∂∂ , )
sin(31
)sin(3ln 3.2yz xy z yz xz x y z xy +--=∂∂
§ 6 微分法在几何中的应用
1、 求螺旋线t z t y t x 3,sin 2,cos 2=== 在对应于4
π
=
t
处的切线及法平面方程
解：切线方程为
343
z π
-
== 法平面方程0)4
3(3)2(2)2(2=-
+-+--π
z y x 2、 求曲线⎩
⎨⎧+==++2
2222250
y x z z y x 在（3，4，5）处的切线及法平面方程 解：切线方程为 0
5
3443-=
--=-z y x ，法平面方程：034=-y x 3、 求曲面9322
22=++z y x 在（1，-1，2）处的切平面及法线方程 解：切平面方程为0)2(2)1(3)1(2=-++--z y x
及法线方程2
2
3121-=
-+=-z y x 4、 设),(v u f 可微，证明由方程0),(=--bz ay bz ax f 所确定的曲面在任一点处的切平面与一
定向量平行
证明：令),(),,(bz ay bz ax f z y x F --=，则
),,(,,,21212121'
-'-''=∴'-'-='='=bf bf a f a f bf bf F a f F a f F z y x 0),,(=⋅∴a b b ，所以在（000,,z y x ）处的切平面与定向量（a b b ,,）平行。

5、 证明曲面3
23
23
23
2a z
y
x =++0(>a ）上任意一点处的切平面在三个坐标轴上的截距的平
方和为2
a
证明：令=),,(z y x F 3
23
23
23
2a z y x -++，则,3
2,32,3231
31
31
-
--===z F y F x F z y x
在任一点()000,,z y x 处的切平面方程为0)()()(03
1003
1003
10=-+-+--
-
-
z z z y y y x x x
在在三个坐标轴上的截距分别为,,,3
23
103
23
103
23
10a z a y a x 在三个坐标轴上的截距的平方和为2a
证明曲面)(x
y
xf z
=上任意一点)0(),,,(0000≠x z y x M 处的切平面都通过原点
7、设F(x,y,z)具有连续偏导数，且对任意实数t, 总有),,(),,(z y x F t tz ty tx F k = k 为自然数，试证：曲面F(x,y,z)=0上任意一点的切平面都相交于一定点 证明 ：),,(),,(z y x F t tz ty tx F k = 两边对t 求导，并令t=1 ),,(z y x kF zF yF xF z y x =++
设是曲面上任意一点，则过这点的切平面为：
))(,,(0000x x z y x F x -+))(,,(0000y y z y x F y -+))(,,(0000z z z y x F z -=0 此平面过原点（0，0，0） § 7 方向导数与梯度
1、 设函数
22),(y xy x y x f +-=， 1）求该函数在点（1，3）处的梯度。

2）在点（1，3）处沿着方向l 的方向导数，并求方向导数达到最大和最小的方向 解：梯度为 5)3,1(j gradf +-=
θθsin 5cos )
3,1(+-=∂∂l
f
, 方向导数达到最大值的方向为)5,1(-=，方向导数达到
最小值的方向为)5,1(-=-。

2、 求函数222zx yz xy u
++=在（1，2，-1）处沿方向角为0001509060===γβα的
方向导数，并求在该点处方向导数达到最大值的方向及最大方向导数的值。

解：：方向导数 为2
3
31)
1,2,1(+
=∂∂-l
u ，该点处方向导数达到最大值的方向即为梯度的方向 j gradu 352)1,2,1(-+=-，此时最大值为 38)1,2,1(=
∂∂-l
u
3、 求函数32z xy u
=在（1，1，-1）处沿曲线32,,t z t y t x ===在（1，1，1）处的切线正方
向（对应于t 增大的方向）的方向导数。

解：：223323,2,z xy z
u xyz y u z y x u =∂∂=∂∂=∂∂，)3,2,1(=，∴该函数在点（1，1，-1）处的方 向导数为144
)
1,1,1(=∂∂-l u ， 4、求函数)ln(2
22x z y u ++=在（1，1，-1）处的梯度。

解：：2
222222222,2,2z y x z z u z y x y y u z y x x x u ++=∂∂++=∂∂++=∂∂， j gradu 3
2
3232)1,1,1(-+=-
§ 8 多元函数的极值及求法
1、求函数22233),(22+--+=y x y x y x f 的极值。

答案：（31，3
1
）极小值点
2．求函数y x y x y x f ln 18ln 2),(22--+=的极值 答案：极小值3ln 1810)3,1(-=f
3. 函数y xy ax x y x f 22),(22+++=在点（1，1）处取得极值，求常数a (-5) 4、求函数122++=y x z 在条件03=-+y x 下的条件极值
解：)3(1),,(22-++++=y x y x y x F λλ
⎩⎨⎧==00y
x F F )32,32(⇒ ，极小值为211
5、 欲造一个无盖的长方体容器，已知底部造价为
3元/平方，侧面造价均为1元/
平方，现想用36元造一个容积最大的容器，求它的尺寸。

（长和宽2米，高3米）
6、 在球面22225r z y x =++（0,0,0>>>z y x ）上求一点，使函数
z y x z y x f ln 3ln ln ),,(++= 达到极大值，并求此时的极大值。

利用此极大值
证明c b a ,,∀ 有5
3)5
(27c b a abc ++≤
证明：令z y x L ln 3ln ln ++=)5(2
222r z y x -+++λ 令0,0,0=∂∂=∂∂=∂∂z
L y L x L ，22225r z y x =++解得驻点r z r y x 3,===。

所以函数z y x z y x f ln 3ln ln ),,(++=在r z r y x 3,===处达到极大值。

极大值为
)33ln(5
r 。

即5
3
33r xyz ≤⇒52225
23222)5
(27)(27)(z y x r z y x ++=≤，令
,,,222c z b y a x ===得5
3)5
(27c b a abc ++≤。

7、求椭球面12
322
2=++z y x 被平面x+y+z=0截得的椭圆的长半轴与短半轴的 长度
解： )()12
3(222
212
2
2
z y x z y x z y x F +++-+++++=λλ
⎪⎪⎪⎪⎩
⎪
⎪⎪⎪⎨⎧
=++=++=++==++==++=01
230220203
22222212121z y x z y x z z F y y F x x F y y x
λλλλλλ )3(2312λλ+-=x ，122λλ+-=y ，)1(212λλ+-=z
22221)(d z y x -=++-=λ
6
13
111±-=
λ 长半轴 61311+， 短半轴 61311-
第八章 自测题
一、选择题：（每题2分，共14分）
1、设有二元函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=),0,0(),(,
0),
0,0(),(,),(422
y x y x y x y x y x f 则 [ ]
A 、),(lim
)
0,0(),(y x f y x →存在； B 、),(lim )0,0(),(y x f y x →不存在；
C 、),(lim
)
0,0(),(y x f y x →存在， 且),(y x f 在(0,0)处不连续；
D 、
),(lim )
0,0(),(y x f y x →存在， 且),(y x f 在(0,0)处连续。

2、函数),(y x f 在),(000y x P 各一阶偏导数存在且连续是),(y x f 在),(000y x P 连续的[ ]
A 、必要条件；
B 、充分条件；
C 、充要条件；
D 、既非必要也非充分条件。

3、函数⎪⎩⎪
⎨⎧=≠-=y x y x y x xy
y x f ,
0,,),( 在(0,0)点处 [ ]
A 、极限值为1；
B 、极限值为-1；
C 、连续；
D 、无极限。

4、),(y x f z =在),(000y x P 处),(y x f x ，),(y x f y 存在是函数在该点可微分的 [ ] （A ）必要条件； （B ）充分条件；
（C ）充要条件； （D ）既非必要亦非充分条件。

5、点)0,0(O 是函数2
xy z =的 [ ]
（A ）极小值点； （ B ）驻点但非极值点； （C ）极大值点； （D ）最大值点。

6、曲面3=+-xy z e z
在点P (2,1,0)处的切平面方程是 [ ]
（A ）042=-+y x ； （B ）42=-+z y x ； （C ）042=-+y x ； （D ）052=-+
y x
7、已知函数(,,),(,),(,)u f t x y x s t y s t ϕφ===均有一阶连续偏导数，那么
u
t
∂=∂[ ] (A)x t y t f f ϕφ+; (B) t x t y t f f f ϕφ++; (C) t t f f ϕφ⋅+⋅; (D) t t t f f f ϕφ+⋅+⋅ 二、填空题：（每题３分，共18分）
1、=+→2
22)0,0(),(sin lim
y x y
x y x （ 0 ） ２、设xyz
e z y x
f =),,(，则
=∂∂∂∂z
y x f
3（ )31(222z y x xyz e xyz ++ ）
３、设⎪⎩⎪
⎨⎧=≠=,0,0,0,)
sin(),(2xy xy y xy y x f 则=)1,0(x f ( 0 )
４、设x
y x z )2(+=，则在点)0,1(处的全微分.)2(dy dx dz +=
５、曲线⎪⎩
⎪⎨⎧==z x x
y 2
2在点)1,1,1(0P 处的切线方程为( 411121-=-=-z y x ) ６、曲线⎩⎨⎧=+-=++4
6423222z y x x z y x 在点(1,1,1)处的切线方程为( 01
1121-=
-=-z y x ) 三、计算题（每题6分）
1、设)ln(),(2
2
y x x y x f +=，求),(y x f 的一阶偏导数
2222
2
2)ln(),(y x x y x y x f x +++= ， 2
22),(y x xy
y x f y
+=。

2、设⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+
=y x x y x f ln ),(，求此函数在点)1,1(0P 处的全微分。

并求该函数在该点处沿着从 P 0到)1,2(1-P 方向的方向导数 ( dy dx df 21)
1,1(-= ，5
2
=∂∂l f ) ３、设f x y y x f z ,,2⎪⎭⎫
⎝
⎛=具有各二阶连续偏导数，求y x z ∂∂∂2
解：y x z ∂∂∂22112x xf -'='2f "-"+"+22
312113
2f x
y yf f x y x z ∂∂∂2
４、设⎪⎩
⎪⎨⎧=+≠+++=0,00,1sin ),(222
22
222y x y x y
x y x y x f 求),(y x f x 和),(y x f y 。

x x x x f x f x x 2001
sin
lim
0)
0,0()0,(lim
→→=--不存在，故)0,0(x
f 不存在，同理，)0,0(y f 也不存在。

当)0,0(),(≠y x 时，有
222/32222221
cos )(21sin ),(y x y x x y x y x x y x f x ++-++= 222/32222221
cos )(21sin ),(y x y x y y
x y x y y x f y ++-++= ５、设),(y x f z =由方程0=-++++y
x z e
y x z 所确定，求dz ( dy dx dz --=)
６、设])(,)([x y y x f z +-=ψϕ，f 具有连续的二阶偏导数，ψϕ,可导，求y x z
∂∂∂2
21)(f x f x
z
'+''=∂∂ϕ
)]([)]()[(222112112y f f y f f x y x z ψψϕ'''+''-+'''+''-'=∂∂∂ 221211
)(]1)()([)(f y f y x f x '''+''-''+'''-=ψψϕϕ
７、设⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+0
22222υυu xy u y x 确定函数),(),,(y x y x u u υυ==，求y x u ∂∂∂∂υ,。

2
2
22222
2222,2)
(24,)(24υυυυυυυυυυυ+-=∂∂++=∂∂+-=
∂∂++=∂∂u xy yu y u xy y y u u y x x u u xu x u
８、设)(12
22222z y x f z
y x u ++++=
，式中f 二阶可导，求222222z u y u x u ∂∂+∂∂+∂∂ 解：记222z y x r ++=
，则 1)()(-⋅==r r f r
r f u
y r r f r r f y u x r r f r r f x u 33)()(,)()(-'=∂∂-'=∂∂，z r r f r r f z u 3
)
()(-'=∂∂ 3
25222)
()()]()([3)(r
r f r r f x r r f r r f r f r x u -'+⋅-'-''=∂∂ 类似地，有
3
25222)()()]()([3)(r r f r r f y r r f r r f r f r y u -'+⋅-'-''=∂∂ 3
25222)
()()]()([3)(r r f r r f z r r f r r f r f r z u -'+⋅-'-''=∂∂
3
252222222)]
()([3)]()([3)(r r f r r f r r r f r r f r f r z u y u x u -'+⋅-'-''=∂∂+∂∂+∂∂ r
r f )
(''= 四、（１０分）试分解正数a 为三个正数之和，而使它们的倒数和为最小。

设三个正数为z y x ,,，则a z y x =++，记z
y x F 1
11++=，令
)(1
11a z y x z
y x -+++++=λϕ
则由
⎪⎪
⎪⎪⎩⎪⎪⎪
⎪⎨
⎧
=++=+-==+-==+-=a
z y x z y x z y x
1
10122
2
λϕλϕλϕ 解出3a z y x ===。

五、证明题：（１０分）
试证：曲面)(z y f x z -+=上任一点处的切平面都平行于一条直线，式中f 连续可导。

证明：曲面在任一点),,(z y x M 处的切平面的法向量为
{}f f n '+'--=1,,1
定直线L 的方向向量若为{}1,1,1=s ，则
0=⋅s n ，即s n ⊥
则曲面上任一点的切平面平行于以(1,1,1)为方向的定直线。