8.3 简单几何体的表面积与体积(精练)(解析版)

8.3 简单几何体的表面积与体积（精练）
【题组一 多面体表面积】
1．（2020·全国高一课时练习）长方体的高为2，底面积等于12，过不相邻两侧棱的截面（对角面）的面积为10，则此长方体的侧面积为( ) A ．12 B ．24 C ．28 D ．32
【答案】C
【解析】设长方体底面矩形的长与宽分别为,a b ，则12ab =.
210=，解得4,3a b ==或3,4a b ==. 故长方体的侧面积为()243228⨯+⨯=. 故选：C.
2．（2021·江苏南通市）一个正四棱锥的底面边长为2 A ．8 B ．12 C ．16 D ．20
【答案】B
，
所以该四棱锥的全面积为2
1
2+422=122
⋅⋅⋅. 故选B
3．（2020·全国高一课时练习）若正三棱台上、下底面边长分别是a 和2a ，棱台的高为6
a ，则此正三棱台的侧面积为（ ） A ．2a B ．
212
a C ．
292
a D ．
232
a 【答案】C
【解析】如图，1,O O 分别为上、下底面的中心，1,D D 分别是AC ，11A C 的中点，过1D 作1D E OD ⊥于点
E .在直角梯形11ODD O 中，12323OD a a =⨯
⨯=，111326
O D a a =⨯⨯=，
116
DE OD O D a ∴=-=
.
在1Rt DED 中，16
D E a =
，
则1D D =
a =
=. 219
3(2)22
S a a a a ∴=⨯+=侧.
故选：C
4．（2020·河北沧州市一中高一月考）正四棱锥底面正方形的边长为4，高与斜高的夹角为30，则该四棱锥的侧面积（ ） A ．32 B ．48
C ．64
D ．
32
3
【答案】A 【解析】如图:
正四棱锥的高PO ，斜高PE ， 底面边心距OE 组成直角△POE ． ∵OE =2cm ，∠OPE =30°， ∴斜高h ′=PE =
4sin 30
o
OE
=，
∴S 正棱锥侧=11
4443222
ch =⨯⨯⨯=' 故选：A
5．（2020·全国高一课时练习）已知正四棱锥的底面边长是2，则该正四棱锥的表面积为（ ）
A B ．12
C ．8
D ．【答案】B
【解析】如图所示，
在正四棱锥S ABCD -中，取BC 中点E ，连接SE ， 则SBE △为直角三角形，
所以2SE ==，
所以表面积1
422422122
SBC ABCD S S S =+⨯=⨯+⨯⨯⨯=正方形△. 故选：B.
6．（2021·内蒙古包头市·高三期末（文））已知一个正四棱锥的底面边长为4，以该正四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则该正四棱锥的侧面积为（ ）
A ．)
4
1
B 1
C ．)
4
1
D ．)
8
1
【答案】D
【解析】
正四棱锥如图，
设四棱锥的高OE h =，
由底面边长为4，可知2OF =，斜高EF
故2
1
42
h =
⨯2=2h +
故侧面积为(21
4448812
h ⨯⨯==+=+， 故选：D.
7．（2020·山西吕梁市）已知,AB CD 是某一棱长为2的正方体展开图中的两条线段，则原正方体中几何体
ABCD 的表面积为（ ）
A ．2+
B ．2+
C ．2+
D ．2+
【答案】A
【解析】由所给正方体的展开图得到直观图，
如图：
则此三棱锥的表面积为：△△△△+++=BCD ABC ADC ABD S S S S
1111
222222222⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯=+故选：A
8．（2020·黑龙江哈师大青冈实验中学）长方体一个顶点上的三条棱长分别为3，4，a ，表面积为108，则
a 等于（ ）
A ．2
B ．3
C ．5
D ．6
【答案】D
【解析】长方体一个顶点上的三条棱长分别为3，4，a ，则长方体的表面积为342+2423108a a ⨯⨯⨯+⨯=，解得a =6，故选：D
9．（2020·湖北省汉川市第一高级中学高一期末）一个正四棱柱的各个顶点都在一个半径为2cm 的球面上，如果正四棱柱的底面边长为2cm ，那么该棱柱的表面积为（ ）
A ．2(2+
B ．2(4+
C ．2(8+
D ．2(16+
【答案】C
【解析】∵一个正四棱柱的各个顶点都在一个半径为2cm 的球面上，正四棱柱的底面边长为2cm ，
∴球的直径为正四棱柱的体对角线
∴
正四棱柱的体对角线为4，正四棱柱的底面对角线长为= ∴
该棱柱的表面积为2×22+4×2×＋(2cm )，
故选：C
【题组二 多面体台体积】
1．（2021·扶风县法门高中）正方体的全面积为18cm 2
，则它的体积是_________ 3cm
【答案】【解析】设该正方体的棱长为a cm ，
由题意可得，2618a =，解得a =
所以该正方体的体积为3V a ==3cm .
故答案为：2．（2021·湖南长沙市）如图，在长方体1AC 中，棱锥1A ABCD -的体积与长方体的体积之比为（ ）
A ．2∶3
B ．1∶3
C ．1∶4
D ．3∶4
【答案】B
【解析】设长方体过同一顶点的棱长分别为,,a b c 则长方体的体积为1V abc =， 四棱锥1A ABCD -的体轵为21
3
V abc =
， 所以棱锥1A ABCD -的体积与长方体1AC 的体积的比值为13
. 故选：B.
3．（2020·浙江高一期末）由华裔建筑师贝聿铭设计的巴黎卢浮宫金字塔的形状可视为一个正四棱锥（底面是正方形，侧棱长都相等的四棱锥），四个侧面由673块玻璃拼组而成，塔高21 米，底宽34米，则该金字塔的体积为（ ）
A ．38092m
B ．34046m
C ．324276m
D ．312138m
【答案】A
【解析】
如图正四棱锥P ABCD -中，34AB BC ==，21PO =， 所以正四棱锥P ABCD -的体积为31
1
343421809233
ABCD S PO m ⨯⨯=⨯⨯⨯=， 故选：A
4．（2020·辽宁沈阳市·沈阳二中高一期末）《九章算术》问题十：今有方亭，下方五丈，上方四丈．高五丈．问积几何（今译：已知正四棱台体建筑物（方亭）如图，下底边长5a =丈，上底边长4b =丈．高5h =丈．问它的体积是多少立方丈？（ ）
A ．75
B ．
305
3
C ．
320
3
D ．
400
3
【答案】B
【解析】(()
2211
+=33
V S S h a b h '=
+⋅ ()
2211305545615333
=⨯=⨯⨯=. 故选:B 5．（2021·浙江高一期末）出华裔建筑师贝聿铭设计的巴黎卢浮宫金字塔的形状可视为一个正四棱锥（底面是正方形，侧楼长都相等的四棱锥），四个侧面由673块玻璃拼组而成，塔高21米，底宽34米，则该金字塔的体积为（ ）
A ．38092m
B ．34046m
C ．32427m
D ．312138m
【答案】A
【解析】
如图正四棱锥P ABCD -中，PO ⊥底面ABCD ，21PO =，34AB =， 底面正方形的面积为234341156S m =⨯=， 则正四棱锥P ABCD -的体积为31
1
115621809233
S PO m ⨯⨯=⨯⨯=， 故选：A
6．（2020·济南市·山东师范大学附中高一月考）如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，截去三棱锥1A ABD -，求
（1）截去的三棱锥1A ABD -的表面积； （2）剩余的几何体1111A B C D DBC -的体积.
【答案】（1）6+；（2）
20
3
【解析】（1）由正方体的特点可知三棱锥1A ABD -中，1A BD 是边长为1A AD 、
1A AB 、ABD △都是直角边为2的等腰直角三角形，
所以截去的三棱锥1A ABD -的表面积
(
1112
3
1
32262
A BD A AD A A
B ABD
S S
S S S
=+++=
⨯+⨯⨯⨯=+
（2）正方体的体积为328=，
三棱锥1A ABD -的体积为1
1
114
2223
323ABD S AA ⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=， 所以剩余的几何体1111A B C D DBC -的体积为420
833
-=.
【题组三 旋转体的表面积】
1．（2021·浙江丽水市）经过圆锥的轴的截面是面积为2的等腰直角三角形，则圆锥的侧面积是（ ）
A ．
B ．4π
C ．
D ．2π
【答案】C
【解析】设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，则l =
，
由题可知)
2
1
22
⨯
=，
∴2r l =
=，
侧面积为rl π=， 故选：C.
2．（2020·全国高一课时练习）某圆台的上、下底半径和高的比为1:4:4，母线长为10，则该圆台的表面积为（ ） A ．81π B ．100π C ．168π D ．169π
【答案】C
【解析】该圆台的轴截面如图所示.设圆台的上底面半径为r ，则下底面半径4r r '=，高4h r =
则它的母线长510l r ====∴2r
，8r '=.
∴()
(82)10100S r r l πππ'=+=+⨯=侧，2
2
100464168S S r r ππππππ'=++=++=表侧. 故选：C
3．（2020·全国高一课时练习）用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上下底面半径的比是1：
4，且该圆台的母线长为9，则截去的圆锥的母线长为（ ） A ．
94
B ．3
C ．12
D ．36
【答案】B
【解析】根据题意，设圆台的上、下底面的半径分别为r 、R ， 设圆锥的母线长为L ，截得小圆锥的母线长为l ， ∵圆台的上、下底面互相平行 ∴
1
4
l r L R ==，可得L=4l ∵圆台的母线长9，可得L ﹣l =9 ∴
3
L 4
=9，解得L=12， ∴截去的圆锥的母线长为12-9=3 故选B
4．（2020·全国高一课时练习）圆台的一个底面圆周长是另一个底面圆周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面圆的半径为( ) A ．3 B ．5
C ．6
D ．7
【答案】D
【解析】设圆台较小底面圆的半径为r ，由已知有另一底面圆的半径为3r ，而圆台的侧面积公式为
(3)4384,7
r r l r r πππ+=⨯⨯==，选D.
5．（2020·江苏淮安市·淮阴中学高一期末）圆柱底面半径为1，母线长为2，则圆柱侧面积为（ ） A ．4π B ．3π C ．5π
D ．2π
【答案】A
【解析】圆柱底面半径为1，母线长为2， 圆柱侧面积为224S rl =π=π⨯1⨯2=π ,故选：A
6．（2021·广西河池市·高一期末）已知圆柱的底面半径为1，若圆柱的侧面展开图的面积为8π，则圆柱的高为________． 【答案】4
【解析】设圆柱的高为h ，有28h ππ=，得4h =．故答案为：4.
7．（2021·河南焦作市·高一期末）已知圆锥的底面半径为2，高为4，在圆锥内部有一个圆柱，则圆柱的侧面积的最大值为______.
【答案】4π
【解析】如图是圆锥与圆柱的轴截面，设内接圆柱的高为a ，圆柱的底面半径为r ()02r <<，则由224
r a
-=，可得42a r =-，所以圆柱的侧面积()2
2
242484(1)4S r r r r r πππππ=⋅-=-+=--+，
所以1r =时，该圆柱的侧面职取最大值4π. 故答案为：4π．
8．（2020·北京高一期末）将底面直径为8，高为最大值为______.
【答案】
【解析】
欲使圆柱侧面积最大，需使圆柱内接于圆锥； 设圆柱的高为h ，底面半径为r ，
4r =，解得2h r =；
所以()2224S rh r r r ππ⎛⎫===- ⎪ ⎪⎝⎭
圆柱侧；
当2r
时，S 圆柱侧取得最大值为
故答案为：. 【点睛】
本题考查了求圆柱侧面积的最值，考查空间想象能力，将问题转化为函数求最值，属于中档题.
9．（2021·陕西西安市·西安中学高一期末）若圆锥的侧面展开图是圆心角为90︒的扇形，则该圆锥的侧面积与底面积之比为___________. 【答案】4:1
【解析】设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ， 由题意得：
22
l r π
π=,即4l r ，
所以其侧面积是214S rl r ππ==，
底面积是2
2S r π=，
所以该圆锥的侧面积与底面积之比为4:1 故答案为：4:1
【题组四 旋转体的体积】
1．（2020·山东菏泽市·高一期末）若圆锥的底面半径为3cm ，侧面积为215cm π，则该圆锥的体积为（ ） A ．4π3cm B ．9π3cm
C ．12π3cm
D ．36π3cm
【答案】C
【解析】设圆锥母线长为l ，则侧面积为1
23152
S l r l πππ=
⋅==，故5l =.
故圆锥的高4h =，圆锥体积为2
1123
V r h ππ==3cm .故选：C.
2．（2021·黑龙江双鸭山市·双鸭山一中）现用一半径为10cm ，面积为280cm π的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器（假定衔接部分及铁皮厚度忽略不计，且无损耗），则该容器的容积为__________3cm . 【答案】128π
【解析】设铁皮扇形的半径和弧长分别为R 、l ，圆锥形容器的高和底面半径分别为h 、r ， 则由题意得R=10，由1
802
Rl π=，得16l π=， 由2l
r π=得8r =.
由222R r h =+可得6h =.
∴()
2311
64612833
V r h cm πππ==⋅⋅=
∴该容器的容积为3128cm π.
故答案为128π.
3．（2020·湖南长沙市·高一期末）圆锥的母线与底面所成的角为60︒，侧面积为8π，则其体积为________.
【答案】
3
【解析】如图所示，
圆锥的母线与其底面所成角的大小为60︒，60SAO ∴∠=︒，
由题意设圆锥的底面半径为r ，则母线长为2l r =，高为h =
圆锥的侧面积为8π，2
228S rl r r r ππππ∴==⋅⋅==侧面积，
解得2r ，h =
∴圆锥的体积为2211233V r h ππ=⋅⋅=⨯⨯=圆锥．
故答案为：
3
．
4．（2020·江苏南京市·高一期末）把一个棱长为2的正方体木块，切出一个最大体积的圆柱，则该圆柱的体积为（ ） A ．
23
π
B ．π
C ．2π
D ．4π
【答案】C
【解析】正方体棱长为2，所以正方体底面正方形的内切圆半径为1，面积为21ππ⨯=，以此内切圆为底、高为2的圆柱是可切出的最大圆柱.且该圆柱的体积为22ππ⨯=. 故选：C
5．（2020·山东日照市·高一期末）《五曹算经》是我国南北朝时期数学家甄驾为各级政府的行政人员编撰的一部实用算术书，其第四卷第九题如下：“今有平地聚粟，下周三丈，高四尺，问粟几何”?其意思为场
院内有圆锥形稻谷堆，底面周长3丈，高4尺，那么这堆稻谷有多少斛？已知1丈等于10尺，1斛稻谷的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算堆放的稻谷约有多少斛（保留两位小数）（ ） A ．61.73 B ．61.71
C ．61.70
D ．61.69
【答案】A
【解析】设圆锥的底面半径为r ，高为h ，体积为V ， 则230r π=，所以=5r ， 故2
21
1
3541003
3
V r h π==⨯⨯⨯=（立方尺）， 因此100
61.731.62
V =
≈（斛）. 故选：A.
6．（2020·江苏无锡市·高一期末）某养路处有一圆锥形仓库用于储藏食盐（供融化高速公路上的积雪之用），已建的仓库的底面直径为12米，高4米，为存放更多的食盐，养路处拟重建仓库，将其高度增加4米，底面直径不变，则新建仓库比原仓库能多储藏食盐的体积为（ ） A ．24π米3 B ．48π米3
C ．96π米3
D ．192π米3
【答案】B
【解析】原仓库圆锥的底面半径为6米，高为4米，则容积为2161
4483
V ππ=⨯⨯⨯=立方米； 仓库的高增加4米，底面直径不变,则仓库的容积为2261
8963
V ππ=
⨯⨯⨯=立方米. 所以新建仓库比原仓库能多储藏食盐的体积为2148V V π-=立方米. 故选：B. 【题组五 球】
1．（2021·天津滨海新区）在正方体1111ABCD A B C D -中，三棱锥11A B CD -的表面积为外接球的体积为（ ）
A ． B
C ．
D ．
【答案】B
【解析】设正方体的棱长为a ，则111111B D AC AB AD B C D C ======，
由于三棱锥11A B CD -的表面积为
所以)
12
1442AB C
S S
==⨯=a =
=
，
所以正方体的外接球的体积为3
4
63
π
⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭
故选：B ．
2．（2020·广东高二期末）在长方体1111ABCD A B C D -中，22AB BC ==，若此长方体的八个顶点都在体积为92
π
的球面上，则此长方体的表面积为（ ） A ．16 B ．18
C ．20
D ．22
【答案】A
【解析】根据长方体的结构特征可得，长方体外接球直径等于长方体体对角线的长， 因为长方体外接球的体积为92
π
，设外接球半径为R ， 则3
3
924R ππ
=
，解得32
R =，
因此2R =22AB BC ==，
所以3=
12BB =，
因此长方体的表面积为：1122248416S AB BC AB BB BC BB =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=++=. 故选：A.
3．（2020的内切球，则此棱柱的体积是（ ）.
A ．3
B ．354cm
C ．327cm
D ．3
【答案】B
的内切球，则正三棱柱的高为，
，
设底面正三角形的边长为a cm,1
3
⨯=6a =cm ，
∴正三棱柱的底面面积为
16622
⨯⨯⨯=2
，
故此正三棱柱的体积V ＝54=cm 3
． 故选：B ．
4．（2021·全国高一）如图所示，球内切于正方体．如果该正方体的棱长为a ，那么球的体积为（ ）
A ．3
4
3
a π B ．3a
C 3a
D ．3
16
a π
【答案】D
【解析】因为球内切于正方体，所以球的半径等于正方体棱长的
12
， 所以球的半径为2a ，所以球的体积为3
3
4326
a a ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭，
故选：D.
5．（2021·湖南邵阳市·高一期末）一个球的体积为36π，则这个球的表面积为（ ） A ．12π B ．36π
C ．108π
D ．4π
【答案】B
【解析】设球的半径为R ,球的体积为3
4
36=3
R ππ,解得3R =,则球的表面积244936R πππ=⨯=， 故选：B
6．（2020·浙江高一期末）已知正方体外接球的体积是32
3
π，那么该正方体的内切球的表面积为_____________． 【答案】
163
π
【解析】设正方体棱长为a ，则
3
4323
23ππ⎛⎫⨯= ⎪ ⎪⎝⎭
，解得a =
∴内切球半径为23a r ==，表面积为2
1643S ππ=⨯=⎝⎭
． 故答案为：163
π
．
【题组六 组合体的体积表面积】
1．（2020·全国高一课时练习）如图是某机械零件的几何结构，该几何体是由两个相同的直四棱柱组合而成的，且前后、左右、上下均对称，每个四棱柱的底面都是边长为2的正方形，高为4，且两个四棱柱的侧棱互相垂直．则这个几何体有________个面，其体积为________．
【答案】20 323
-
【解析】由图形观察可知，几何体的面共有2(242)20⨯⨯+=个， 该几何体的直观图如图所示，
该几何体的体积为两个四棱柱的体积和减去两个四棱柱交叉部分的体积. 两个四棱柱的体积和为222432V =⨯⨯⨯=. 交叉部分的体积为四棱锥S ABCD -的体积的2倍.
在等腰ABS 中，SB SB =边上的高为2，则SA =
由该几何体前后，左右上下均对称，知四边形ABCD 的菱形. 设AC 的中点为H ，连接,BH SH 易证SH 即为四棱锥S ABCD -的高，
在Rt ABH 中， 2.BH ==
又AC SB ==
所以 1
222
ABCD
S
=⨯⨯=
因为BH SH =，
所以11223
3ABCD
S ABCD V S -=
⨯=⨯=
四棱柱
所以求体积为3223233-
⨯=-
故答案为：20；323
-
2．（2020·新疆巴音郭楞蒙古自治州·高一期末）如图，直三棱柱，高为6，底边三角形的边长分别为3、4、5，以上下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，求剩余部分几何体的体积.
【答案】366π-
【解析】因为222345+=，所以底面是直角三角形， 所以上、下底面内切圆半径345
12
r +-==， 所以剩余部分几何体的体积21
346163662
V ππ=
⨯⨯⨯⨯=-⨯-， 所以剩余部分几何体的体积为366π-.
3．（2021·江西九江市）在底面半径为2，高为面积之比为1：4，求圆柱的表面积.
【答案】1)π
【解析】由圆柱的底面积与圆锥的底面积之比为1:4，知：底面半径比为1:2，
即圆柱底面半径1r =，若设圆柱的高为h 1
2=，即h = ∴由圆柱的表面积等于侧面积加上两底面的面积，
即：2221)S rh r πππ=+=.。