华师版八年级上册 第13章 整式的乘除 教案

第13章整式的乘除
§13.1 幂的运算
1、同底数幂的乘法
教学目的
1．熟记同底数幂的乘法的运算性质，了解法则的推导过程.
2．能熟练地进行同底数幂的乘法运算.
3．通过法则的习题教学，训练学生的归纳能力，感悟从未知转化成已知的思想.
4．会逆用公式a m a n＝a m+n.
教学重点：掌握并能熟练地运用同底数幂的乘法法则进行乘法运算.
教学难点：对法则推导过程的理解及逆用法则.
教学过程
一、复习活动，
1．填空.
(1)2×2×2×2×2＝（），a·a·…·a＝( )
m个
(2)指出各部分名称.
二、探索，概括.
1．下述题目，要求学生说出每一步变形的根据之后，再提问让学生直接说出23×25＝( )，36×37＝( )，由此可发现什么规律?
(1)23×22＝( )×( )＝2( )，
(2)53×52＝( )×( )＝5( )，
(3)a3a4＝( )×( )＝a( ).
2．如果把a3×a4中指数3和4分别换成字母m和n(m、n为正整数)，你能写出a m a n的结果吗?你写的是否正确?
(让学生猜想，并验证.)
即a m·a n＝a m＋n(m、n为正整数)
让学生用文字语言表述法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
三、举例及应用.
1．例1 计算：（1）103×104 （2）a·a3（3）a·a3·a5
解（1） 103×104＝103+4＝107．（2）a·a3＝a1+3＝a4．
（3）a·a3·a5＝a4·a5＝a9
2、练习第19页练习第1题.
3、提问：通过以上练习，你对同底数是如何理解的？在应用同底数幂的运算法则中，应注意什么？
四、拓展延伸. 由a m a n＝a m＋n，可得a m＋n＝a m a n（m、n为正整数.）
例2 已知a m＝3，a m＝8，则a m＋n＝( )
五、巩固练习. P19 1.2.
六、课堂小结. 1．在运用同底数幂的乘法法则解题时，必须知道运算依据.
2．“同底数”可以是单项式，也可以是多项式.
3．不是同底数时，首先要化成同底数.
七、布置作业. 课本第23页习题13.1第1题的1、
2、幂的乘方
教学目的
1．熟记幂的乘方的运算法则，知道幂的乘方性质是根据乘方的童义和同底数幂的乘法性质推导出来的.
2．能熟练地进行幂的乘方的运算.
3．在双向应用幂的乘方运算公式中，培养学生思维的灵活性.
教学重点：理解幂的乘方的意义，掌握幂的乘方法则.
教学难点：注意与同底数幂的乘法的区别.
教学过程
一、复习活动.
1．如果—个正方体的棱长为16厘米，即42厘米，那么它的体积是多少?
2．计算： (1)a4·a4·a4； (2)x3·x3·x3·x3.
3．你会计算(a4)3与(x3)5吗?
二、新授.
1．x3表示什么意义? 2．如果把x换成a4，那么(a4)3表示什么意义?
3．怎样把a2·a2·a2·a2＝a2＋2＋2＋2写成比较简单的形式? 4．由此你会计算(a4)5吗?
5．根据乘方的意义及同底数幂的乘法填空.
(1) (23)2＝23×23＝2( )； (2) (32)3＝( )×( )×( )＝3( )；
(3) (a3)5＝a3×( )×( )×( )×( )＝a( ).
6．用同样的方法计算：(a3)4；(a11)9；(b3)n(n为正整数).
这几道题学生都不难做出，在处理这类问题时，关键是如何得出3＋3＋ 3＋3＝12，教师应多举几例.
教师应指出这样处理既麻烦，又容易出错.此时应让学生思考，有没有简捷的方法?引导学生认真思考，并得到：
(23)2＝23×2＝26； (32)3＝32×3＝36； (a11)9＝a11×9＝a99 (b3)n＝b3×n＝b3n
(现察结果中幂的指数与原式中幂的指数及乘方的指数，猜想它们之间有什么关系?结果中的底数与原式的底数之间有什么关系?)
怎样说明你的猜想是正确的?
即(a m)n＝a m·a n(m、n是正整数).
这就是幂的乘方法则. 你能用语言叙述这个法则吗? 幂的乘方，底数不变，指数相乘.
三、举例及应用.
1.例1 计算：
(1) (103)5； (2)(b3)4.
解（1）（105）5＝103×5＝1015． (2)（b3）4＝b3×4＝b12．
2．练习.课本第20页练习第2题.
3．例2 下列计算过程是否正确?
(1)x2·x6·x3＋x5·x4·x＝x ll＋x10＝x2l. (2)(x4)2＋(x5)3＝x8＋x15＝x23
(3) a2·a·a5＋a3·a2·a3＝a8＋a8＝2a8. (4)(a2)3＋a3·a3＝a6＋a6＝2a6.
说明.
(1)要让学生指出题中的错误并改正，通过解题进一步明确算理，避免公式用错.
(2)进一步要求学生比较“同底数幂的乘法法则”与“幂的乘方法则”的区别与联系.
4．练习. 课本第20页练习的第1题.
5．例3 填空.
(1) a12＝(a3)( )＝(a2)( )＝a3·a( )＝(a( ))2；
(2) 93＝3( )； (3) 32×9n＝32×3( )＝3( ).
(此题要求学生会逆用幂的乘方和同底数幂的乘法公式，灵活、简捷地解题.)
四、巩固练习. 补充习题.
五、课堂小结.
1．(a m)n＝a m·n(m、n是正整数)，这里的底数a，可以是数、是字母、也可以是代数式；这里的指数是指幂指数及乘方的指数.
2．对于同底数幂的乘法、幂的乘方、合并同类项这三个法则，要理解它们的联系与区别.在利用法则解题时，要正确选用法则，防止相互之间发生混淆(如：a m·a n＝a mn(a m)n＝a m＋n).并逐步培养自己“以理驭算”的良好运算习惯.
六、布置作业. 课本第23页习题第2题.
3、积的乘方
教学目的
1.能说出积的乘方性质并会用式子表示.
2.使学生理解并掌握积的乘方的法则.
3.使学生能灵活地运用积的乘方的法则进行计算.
4.通过法则的推导过程培养学生分析问题、解决问题的能力.
教学重点：探索积的乘方法则的形成过程.
教学难点：积的乘方公式的推导及公式的逆用.
教学准备
学生：4张正方形硬纸片、若干张边长为a的小正方形纸片.
教学过程
一、提问.
1.a2·a3＝a5，也就是说：( ). 即a m·a n＝a m＋n(m、n为正整数).
(让学生明白所用到的运算法则及运算律.)
2.(a3)7＝a( )，也就是说：( ). 即(a m)n＝a m·n(m、n为正整数.)
(让学生明白同底数幂的乘法与幂的乘方法则的区别.)
二、引导观察.
1.计算.
22×32＝4×9＝36. (2×3)2＝(2×3)(2×3)＝6×6＝36.
从而得到：(2×3)2＝22×32＝36.进而猜想：(ab)2与a2b2是否相等?
2.探索，概括.
于是我们得到了积的乘方法则：(ab)n＝a n b n(n是正整数).
这就是说，积的乘方，等于各因数乘方的积.
教师应一步一步地引导学生，得出结论(因为指数是用字母表示的，就学生的思维状况来说是个难点).然后让学生自己对照公式总结，自己叙述出法则.
3．引导学生剖析积的乘方法则.
问题:三个或三个以上因式的积的乘方，是不是也具有这一性质?
(1)(abc)n＝(ab)n c n＝a n b n c n.
即(abc)n＝a n b n c n(n为正整数).
三、举例及应用.
1．例1 计算：
(1)(2b)3； (2)(2×a3)2； (3)(－a)3； (4)(－3x)4.
解（1）（2b）3＝23b3＝8b3．（2）（2×a3）2＝22×（a3）2＝4×a6．
（3）（－a）3＝（－1）3·a3＝－a3．（4）（－3x）4＝（－3）4·x4＝81x4
(第(1)题由学生回答，教师板演，并要求学生说出每一步的根据是什么；第(2)、(3)、(4)题由学生完成，根据学生完成的情况，提醒学生注意：①系数的乘方；②因数中若有幂的形式，要注意运算步骤，先进行积的乘方，后作因数幂的乘方.)
2．练习. 课本第21页练习的第1题.
五、拓展延伸.
因为(ab)n＝a n b n，所以a n b n＝(ab)n.
逆用性质进行计算：
(1)24×44×0.1254＝(2×4×0.125)4. (2)(－4)×(0.25)＝?
六、看谁做的又快又正确?
1．(－5ab)2＝( ) 2．(xy2)3＝( ) 3．(－2xy3)4＝( )；
4．(－2×103)＝( )； 5．(－3a)3＝( ).
七、开放性练习.
准备若干张边长为a的小正方形纸片，让学生前后位四人一组，动手拼图形.
现有若干个边长为a的小正方形纸片，你能拼出一个新的正方形吗?多少个小正方形才能拼成一个新的正方形?并用不同的表示方法表示新正方形的面积.从不同的表示法中，你发现了什么?
八、课堂小结.
这节课你有什么收获?学到了什么?还有哪些需要老师帮你解决的问题?
请注意：积的乘方要将每一因式(特别是系数)都要乘方.
九、布置作业. 课本第23页习题13.1第4题
13.2同底数幂的除法
教学目的：
1、能说出同底数幂相除的法则，并正确地进行同底数幂的除法运算；
2、理解任何不等于零的数的零次幂都等于1；
3、能正确进行有关同底数幂的乘除混合运算。

教学重点：掌握同底数幂的除法的运算性质，会用之熟练计算； 教学难点：理解同底数幂的除法运算性质及其应用。

教学过程：
一、知识点讲解：
（一） 同底数幂的除法运算性质： 1、 复习同底数幂的乘法法则。

试一试
用你熟悉的方法计算：
（1） 25÷２2
＝ ；
（2） 107÷103
＝ ；
（3） a 7÷a 3
＝ （a ≠0）． 概 括
由上面的计算，我们发现： 25÷２3＝23＝25-3
；
107÷103＝ 104＝107-3
； a 7÷a 3＝ a 4＝a 7-3
．
同底数幂的除法性质：同底数幂相除，底数不变，指数相减。

用字母表示：(0,)m
n
m n
a a a a m n m n -÷=≠>、是正整数且
当m = n 时01(0)m
n m n
a a a
a a -÷===≠ 零指数的意义：01(0)a a =≠
二、典例剖析：
例1、计算：
（1）x 6÷x 2； （2）（– a ）5 ÷a 3 （3）a n+4÷a n+1 （4） （a + 1）3÷（a + 1）2
解：（1）原式 = x 6-2= x 4； （2）原式 = – a 5 ÷a 3= – a
2
（3）原式 = a n+4–（n+1）= a 3 （4）原式 = （a + 1）3–2
= a + 1
* 当指数是多项式时，在同底数幂相除时，指数相减时，必须底数加括号。

* 指数为1时可以省略。

例2、计算：
（1）y 10n ÷（y 4n ÷ y 2n ）； （2） x 7 ÷x 2 + x ·（–x ）4
（3）（x – y ）7 ÷（y – x ）6 +（– x – y ）3÷（x+y ）2
解：（1）原式 = y 10n ÷y 2n = y
8n
（2）原式 = x 5 + x ·x 4 = x 5+ x 5= 2x 5
；
（3）原式 = （x – y ）7 ÷（x – y ）6 –（x + y ）3÷（x+y ）2
= （x – y ）–（x + y ）= x – y – x – y = –2y
三、课内小结：
1、同底数幂相除的法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减。

用字母表示：(0,)m
n
m n
a a a
a m n m n -÷=≠>、是正整数且
2、 零指数幂：0
1(0)a a =≠
练习 P23 1.2. 四、提高：
例1、解关于x 的方程：（x – 1）|x| - 1
= 1
解： ||10
10
x x -=⎧⎨
-≠⎩解得：x = -1
或11||12
x x x -=-⎧⎨
-⎩=为偶数解得： ∴x = – 1或x = 2
例2、已知：x m = 5，x n = 3，求x m –n
解：53
m m n
n x x
x -== 作业P23 5.6.
五、教后感：
0次幂的条件强调的不够；字母相减时，变号要强调。

13．2整式的乘法 1、单项式与单项式相乘
教学目标
1．通过学生自主探索，掌握单项式相乘的法则. 2．掌握单项式相乘的几何意义.
3．会运用单项式相乘的法则进行计算，并解决一些实际生活和科学计算中的问题.
4．培养学生合作、探究的意识，养成良好的学习习惯. 重点：单项式与单项式相乘的法则.
难点：单项式与单项式相乘的法则的应用；单项式相乘的几何意义.教学过程 一、复习活动.
我们已经学习了幂的运算性质，你能解答下面的问题吗； 1．判断下列计算是否正确，如有错误加以改正.
(1)a 3·a 5＝a 10 (2)a ·a 2·a 5＝a 7； (3)(a 3)2＝a 9； (4)(3ab 2)2·a 4＝6a 2b 4
. 2．计算：
(1)10×102×104＝( )；(2)(a ＋b)·(a ＋b)3·(a ＋b)4
＝( )；
(3)(－2x 2y 3)2
＝( ). 二、导入新课.
我们刚才已经复习了幂的运算性质.从本节开始，我们学习整式的乘法.我们知道，整式包括什么?(包括单项式和多项式.)因此整式的乘法可分为单项式乘以单项式、单项式乘以多项式、多项式乘以多项式.这节课我们就来学习最简单的一种：单项式与单项式相乘.
一个长方体底面积是4xy ，高是3x ，那么这个长方体的体积是多少? 学生探讨4xy ·3x 如何计算? 3x ＝3·x ，4xy ＝4·xy ，
因此4xy ·3x ＝4·xy ·3·x ＝(4·3)·(x ·y)·y ＝12x 2
y. (要强调解题的步骤和格式.)
仿照刚才的做法，你能解出下面的题目吗?
(1)3x 2y ·(－2xy 3)＝[3·(－2)]·(x ·x 2)·(y ·y 3) ＝－6x 3y 4
.
(2)(－5a 2b 3)·(－4b 2c)＝[(－5)×(－4)]·a 2·(b 3·b 2)·c ＝20a 2b 5
c.
总结法则：单项式和单项式相乘，系数与系数相乘，相同字母的幂分别相乘；对于只在一个单项式中出现的字母，则连同它的指数一起作为积的一个因式.
例1.计算：（1）5352x x • （2）(
)
z xy y x 2
5
2
23-•
点评：可先提示，运算乘法交换律，结合律，把各因式的系数，相同的字母分别结合，然后相乘.32x 和
25x 可看成是2·2x 和5·3x ，同样22x 5y 可看成是3·2x ·5y 和（－2）·x ·2y ·z.
解1.5
352x x •=（2×5）（2x ·3x ）=105x
2.(
)
z xy y x 2
5
223-•=3×（－2）（2x ·x ）·（5y ·2y ）·z=－6z y x 7
3 通过两式计算，可以引导学生归纳出： 1、 系数相乘作为积的系数.
2、 相同字母的因式，应用同底数幂的运算法则，底数不变，指数相乘.
3、 只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数也作为积的一个因式.
4、 单项式与单项式的积仍是单项式.
例2. 计算：
(1)3x 2y • （－2xy 3）； (2)（－5a 2b 3）• （－4b 2
c ）
解：（1）3x 2y • (-2xy 3)= [3 • (-2)] • （x 2 • x ）• （y • y 3） ＝ －6x 3y 4
（2）（－5a 2b 3）• （－4b 2c ）＝[（－5）• (－4)] • a 2• （b 3 • b 2）• c ＝20a 2b 5
c
思路点拨：例1的两个小题，可先利用乘法交换律，结合律变形成：数与数相乘，同底数幂与同底数幂相乘的形式，单独一个字母照抄.
我们已经掌握了两个单项式相乘的情况，那么三个或三个以上的单项式相乘，你会不会计算呢?
计算：3a 3b ·2ab 2·(－5a 2b 2
).
例3.卫星绕地球运动的速度（即第一宇宙速度）约为7.9×103
米/秒，则卫星运
行3×102
秒所走的路程约是多少？
解： 7.9×103×3×102＝23.7×105＝2.37×106
答：卫星运行3×102秒所走的路程约是2.37×106
米.
思路点拨：对于单项式与单项式相乘的应用问题，首先要依据题意，列出算式，含10的幂相乘同样用单项式乘法法则进行计算，还应将所得的结果用科学记数法表示. 练习课本第25页练习第1.2.3.题.
1．－4mn 3·3mn 2； 2．－3a 2c ·(－2ab 2)2； 3．3x ·(－4x 2
y)·2y ；
五.全课小结，
1、 本节内容是单项式乘以单项式，重点是放在对运算法则的理解和应用上. 六、布置作业. 第28页练习的第1.2.题.
2、单项式与多项式相乘
教学目标
1．能说出单项式与多项式相乘的法则，并且知道单项式乘以多项式的结果仍然是多项式. 2．会进行单项式乘以多项式的计算以及含有单项式乘以多项式的混合运算.
3．通过例题教学，培养学生灵活运用所学知识分析问题、解决问题的能力. 重点：本节课的教学重点是掌握单项式乘以多项式的法则. 难点：熟练地运用法则，准确地进行计算. 教学过程
一、复习活动.
1．单项式与单项式相乘的法则? 2．完成下列各题.
(1)2x 2·(－4xy)＝( )；(2)(－2x 2
)·(－3xy)＝( )；
(3)(－12 ab)·(23 ab 2
)＝( )；(4)12(23 －34 ＋56 )
二、引导观察，图形演示.
1．在l2×(23 －34 ＋5
6 )中，你是怎样计算的?用什么样的方法较简单?(乘法分配律.)
即12×(23 －34 ＋56 )＝12×23 －12×34 ＋12×5
6
.
2．我们知道代数式中的字母都表示数，如果把上题中的数都换成字母，你会计算m(a ＋b ＋c)吗?
(引导学生用乘法的分配律解决.)
3．你算出的结果能否用长方形的面积加以验证?(出示图.)
大长方形的面积有两种表示方法，一是长为a ＋b ＋c ，宽为m ，面积是 m(a ＋b ＋c)；二是三个小长方形的面积和，即am ＋bm ＋cm.它们都是大长方形的面积，所以它们
是相等的，即m(a＋b＋c)＝am＋bm＋cm.
4．在m(a＋b＋c)＝ma＋mb＋mc中，“m”是单项式，“a＋b＋c”是多项式，这两者相乘，从中你能看出什么规律?
(在教师的引导下，学生总结出法则，并用语言叙述.)
法则：单项式与多项式相乘，只要将单项式分别乘以多项式的各项，再将所得的积相加.
用式子表示为：m(a＋b＋c)＝ma＋mb＋mc
三、举例及应用.
1．例1 计算：(－2a2)·(3ab2－5ab3).
解：(－2a2)·(3ab2－5ab3) ＝(－2a2)·3ab2＋(－2a2)·(－5ab3) ＝－6a3b2＋l0a3b3.
(此题是为了熟悉法则，解题时要严格按法则，教师示范解题格式.)
2．例2 计算：(3a2－5b)·2a2.
此题是否是单项式乘以多项式?应怎样计算?
(引导学生归纳出当单项式在右边时，法则仍然成立.)
3．练习. 课本第26页练习第1题.
4．例3 计算：－2a2(1
2
ab＋b2)－5a(a2b－ab2).
(该题是含有两个单项式与多项式相乘的混合运算，对于后一个括号中的“－”的处理，要看成是单项式的符号.)
5．练习.课本第26页练习第2题.
五、问题思考.
1．当多项式中的项数多于三项时，法则是否成立?
2．非零单项式乘以不含同类顶的多项式，其积仍是多项式，积的项数与多项式的项数有什么联系?
六、课堂小结.
1、注意不要漏乘任何一项. 注意“－”的问题.
2、在几个单项式乘以多项的混合运算中，要注意运算顺序，完成乘法后，要合并同类项，得出最简结果.
七、布置作业.课本第28页习题第3.4.
教学后记：
单项式与多项式相乘，有部分学生对乘法的分配律掌握得不好，出现漏乘，并且出现弄错符号的现象，有一部分学生在计算时，还出现对合并同类项和同底数幂混淆的情况，或把加法看作同底数幂来进行计算，因此教师在教学中要强调几个法则之间的区别.
3、多项式与多项式相乘
教学目标
1．能说出多项式与多项式相乘的法则，并且知道多项式乘以多项式的结果仍然是多项式.会进行多项式乘以多项式的计算及混合运算.
2．培养学生灵活运用所学知识分析问题、解决问题的能力.
3．培养独立思考、主动探索的习惯和初步解决问题的愿望及能力.
重点：掌握多项式乘以多项式的法则.
难点：运用法则进行混合运算时，不要漏项.
教学过程
一、复习活动.
指名学生说出单项式与多项式相乘的法则.
二、引导观察，图形演示.
1．式子p(a＋b)=pa＋pb中的p，可以是单项式，也可以是多项式.如果p=m＋n，那么p(a＋b)就成了(m＋n)(a＋b)，这就是今天我们所要讲的多项式与多项式相乘的问题.(由此引出课题.) 你会计算这个式子吗?你是怎样计算的?
(教师引导学生由繁化简，把m ＋n 看作一个整体，使之转化为单项式乘以多项式，即：[(m ＋n)(a ＋b)=(m ＋n)a ＋(m ＋n)b=ma ＋mb ＋na ＋nb.]
2．你能用图形验证你算出的式子吗?
某地区在退耕还林期间，有一块原长m 米、宽a 米的长方形林区增长了n 米，加宽了b 米.请你表示这块林区现在的面积.
问题：(1)如何表示扩大后的林区的面积?
(2)用不同的方法表示出来后的等式为什么是相等的呢?
学生得到了两种不同的表示方法,一个是(m ＋n)(a ＋n)米2；另一个是 (ma ＋mb ＋na ＋nb)米2
.以上的两个结果都是正确的. 3．观察这一结果的每一项与原来两个多项式各项之间的关系，能不能 由原来的多项式各项之间相乘直接得到?如果能得到，又是怎样相乘得到的?(教师示范.) 你能用语言叙述这个式子吗?
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.
即：(m ＋n)(a ＋b)=ma ＋mb ＋na ＋nb. 三、举例及应用. 1．例1 计算：
(1)(x ＋2)(x －3)；(2)(3x －1)(2x ＋1).
解（1） （x ＋2）（x －3）＝ x 2－3x ＋2x －6＝ x 2
－x －6．
（2） （3x －1）（2x ＋1）＝ 6x 2＋3x －2x －1＝ 6x 2
＋x －1． 2．练习. 课本第28页练习第1题的(1)、(2). 3．例2计算：
(1)(x －3y)(x ＋7y)；(2)(2x ＋5y)(3x －2y).
解（1） （x －3y ）（x ＋7y ）＝ x 2＋7xy －3yx －21y 2＝ x 2＋4xy －21y 2
．
（1） （2x ＋5y ）（3x －2y ）＝ 6x 2－4xy ＋15yx －10y 2＝ 6x 2＋11xy －10y 2
．
例3．先化简，再求值
（3x-2y ）（y-3x ）－（2x-y ）（3x+y ），其中
解：原式= ) 3 2 6 ( 6 2 9 3 2 2 2 2 y xy xy x xy y x xy - - + - + - -
当
时
4．练习.课本第28页练习第1题的(3)、(4).2
五、课堂小结
1、多项式乘法，将多项式与多项式相乘转化为单项式与多项式相乘.
2、运用法则时，要有序地逐项相乘，做到不重不漏.
3、在含有多项式乘法的混合运算时，要注意运算顺序，计算结果要化简. 七、布置作业 课本28页习题6、7题
1
y ,51
==x 22226299y xy x y x xy ++---=2
21015y xy x -+-=1,51
==
y x 1)51(10)51(151015222-⨯+⨯-=-+-y xy x 1253-+-=52=
13．3 乘法公式
1、两数和乘以它们的差
教学目标
1．能说出平方差公式的特点，并会用式子表示.
2．能使学生正确地利用平方差公式进行多项式的乘法.
3．通过平方差公式得出的过程，使学生明白数形结合的思想. 重点：掌握平方差公式的特点，牢记公式.
难点：具体问题要具体分析，会运用公式进行计算. 教学过程
一、新课引入.
王剑同学去商店买了单价是9.8元／千克的糖块10.2千克，售货员刚拿起计算器，王剑就说出应付99.6元，结果与售货员计算出的结果相吻合.售货员惊讶地问：“这位同学，你怎么算得这么快?”王剑同学说：“我利用了在数学上刚学过的一个公式.”你知道王剑同学用的是一个什么样的公式吗?你现在能算出来吗?学了本节之后，你就能解决这个问题了.
从而引出课题：平方差公式. 二、知识回顾.
1．多项式乘以多项式的法则：_______.
2．利用多项式与多项式的乘法法则说出(x ＋a)(x ＋b)的结果. 3．计算：
(1)(x ＋3)(x －3)； (2)(a ＋2b)(a －2b)；
(3)(4m ＋n)(4m －n)； (4)(5＋4y)(5－4y). 三、引导观察.
1．请你观察一下这几个多项式与多项式相乘的乘法式子，两个因式有什么特点?积有什么特点?
2．这四个题目与(x ＋a)(x ＋b)=x 2
＋(a ＋b)x ＋ab 有什么关系?你还能再举出这样的几个例子来吗?
(引导学生发现：当a=－b 时，(x ＋a)(x ＋b)=x 2－b 2
，从而得出平方差公式.) 3．观察这个公式，你能说出它左边的特征吗?右边呢?
4．你能用图形来验证它的正确性吗?
5．你能用语言叙述这个公式吗?
（a ＋b ）（a －b ）＝a 2－b 2
．
这就是说，两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差． 四、举例及应用. 例1 计算：
(1)(a ＋3)(a －3)； (2)(2a ＋3b)(2a －3b)；(3)(1＋2c)(1－2c).（4） （－2x －y ）（2x －y ）．
解（1） （a ＋3）（a －3）＝ a 2－32＝ a 2
－9．
（2） （2a ＋3b ）（2a －3b ）＝ （2a ）2－（3b ）2＝ 4a 2－9b 2
．
（3） （1＋2c ）（1－2c ）＝ 12－（2c ）2＝ 1－4c 2
．
（4） （－2x －y ）（2x －y ）＝ （－y －2x ）（－y ＋2x ）＝ （－y ）2－（2x ）2
＝ y －4x ．
例2.利用平方差公式计算：
（1）（5+6x ）（5-6x ）（2）（3m-2n ）（3m+2n ）（3）（-4x +1）（-4x -1） （4）
11
()()44
x y x y ---+ （5）（ab+8）（ab-8）（6）（m+n ）（m-n ）+3n 2
解：（1）原式=52-(6x )2=25-36x 2 （2）原式=(3m)2-(2n)2=9m 2-4n 2（3）原式=(-4x )2-12=16x 2
-1 （4）原式=222211()416
x y x y -
-=-（5）原式=(ab)2-82=a 2b 2-64（6）原式=m 2-n 2+3 n 2=m 2+2n 2
练习 p30 1
例2 计算：1998×2002.
分析：这是一个数字计算问题，让学生分组讨论如何利用平方差公式进行计算.
解 1998×2002＝ （2000－2）×（2000＋2）＝ 20002
－22＝ 4000000－4＝ 3999996．
在本例教学时不能仅仅着眼于应用公式的化简与计算，要让学生感受构造数学“模型”的乐趣. 练习. 课本第30页练习第2题.
例3.街心花园有一块边长为a 米的正方形草坪，经统一规划后，南北向要加长2米，而东西向要缩短2米.问改造后的长方形草坪的面积是多少?
解（a ＋2）（a －2）＝a 2
－4（平方米）．
答： 改造后的长方形草坪的面积是（a 2
－4）平方米．
练习.课本第30页练习的第3题. 1、 判断正误：
1)()()2
2
b a b a b a +-=--- 2)()()2
2
b a b a b a --=--+-
3)(2x ＋3)(2x －3)=922-x 4)()()1913132
-=---x x x
2、 化简 （x －y ）（x+y ）－（x －2y ）（2x ＋y ） 六、课堂小结
1、本节课你学到了什么？
2、注意：一定要记住公式的特点. 七、布置作业 课本33页第1题
3、 请你计算：
（1）(2m －3n)（2m+3n ）(2)⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫
⎝⎛+b a b a 2121322
1
（3）（2－5y ）(2+5y)
3、观察：（－2x ＋y ）（ ）， 在括号内填入怎样的代数式，才能运用两数和乘以它们的差公式进行
计算？由此你想到了什么规律？ 4、练习
（1）（－4a －0.1）（4a ＋0.1）（2）（2x ＋y ）(2x －y)（3）（2a +2）(2a －2)（4）（－a+b ）（a+b ）
2、两数和的平方
教学目标
1．能说出两数和的平方与两数差的平方公式的特点，并会用式子表示. 2．能正确地利用两数和的平方与两数差的平方公式进行多项式的乘法.
3．通过两数和的平方与两数差的平方公式的得出，使学生明白数形结合的思想.
重点：掌握公式的特点，牢记公式.
难点：具体问题具体分析，会用公式进行计算. 教学准备
边长为a 的正方形纸板3张，边长为b 的正方形纸板3张，宽为b 、长为 a 的长方形纸板6张. 教学过程
一、复习活动.
1．说出平方差公式.
(两数的和乘以这两数的差等于这两个数的平方差.)
2． 计算：(x ＋a)(x ＋b)＝＿＿＿＿＿＿. 二、引导观察.
1．在(x ＋a)(x ＋b)中，若a ＝b ，那么上述式子将会成为怎样的式子?计算结果是什么?
(学生回答：变为(x ＋a)(x ＋a)，计算结果是x 2＋2ax ＋a 2
.由此教师指 出可得另一个乘法公式即(a
＋b)2=a 2＋2ab ＋b 2
，由引入课题.)
2．这个公式的左边和右边各有什么特点?
(引导学生观察，说出公式左边和右边的特点，并能用语言叙述，教师再加以纠正、完善.)
3.(a ＋b)2=a 2＋b 2
对吗?为什么?
(强化学生对公式结构的理解，防止今后出现类似的错误.)
4．你会用(a ＋b)2=a 2＋2ab ＋b 2计算(a －b)2
.
引导学生将“－b ”看作一个数，将(a －b)2化为[a ＋(－b)]2=a 2＋ 2a ×(－b)＋(－b)2=a 2－2ab ＋b 2
，
并指出这也是一个乘法公式：(a －b)2= a 2－2ab ＋b 2
.
5．你能用图形验证：(a ＋b)2=a 2＋2ab ＋b 2及(a －b)2=a 2－2ab ＋b 2
吗?
在左图中，大正方形的面积是(a ＋b)2
，它由两个小正方形和两个相等的长方形组成的，两个小正方
形的面积分别是a 2、b 2，长方形的面积是ab ，所以有等式(a ＋b)2=a 2＋2ab ＋b 2
.
在右图中，大正方形的面积是a 2，两个小正方形的面积分别是(a －b)2、 b 2
，两个相等的长方形面积
都是(a －b)·b ，于是有a2=(a －b)2＋2(a －b)·b ＋b 2，即(a －b)2=a 2－2(a －b)·b －b 2=a 2－2ab ＋b 2
.
6．比较(a ＋b)2=a 2＋2ab ＋b 2及(a －b)2=a 2－2ab ＋b 2
这两个公式，它们有什么不同?有什么联系?
(引导学生进一步总结公式的结构特点，公式的左边是两数和(或差)的平方，右边是一个三项式，其中两项是这两个数的平方，另一项是这两个数积的2倍.)
（a ＋b ）2＝a 2＋2ab ＋b 2
．
这就是说，两数和的平方，等于它们的平方和加上这两数积的2倍． 三、举例及应用 例1 计算.
（1）（2a ＋3b ）2
（2）（2a ＋b 2
）2
解（1） （2a ＋3b ）2＝ （2a ）2＋2·２a ·3b ＋（3b ）2＝ 4a 2＋12ab ＋9b 2
． （2）
（2a ＋b/2）2
＝ （2a ）2
＋2·2a ·b/2＋b/22
＝ 4a 2
＋2ab ＋b 2
/4．
练习： 课本32页练习的第1题 3、例2 计算
（1）（a －b ）2 （2）（2x －3y ）2
解（1） （a －b ）2＝ ［a ＋（－b ）］2＝ a 2＋2·a ·（－b ）＋（－b ）2＝ a 2－2ab ＋b 2
．
（2） （2x －3y ）2＝ ［２x ＋（－3y ）］2＝ （2x ）2＋2·（2x ）·（－3y ）＋（－3y ）
2
＝ 4x 2－12xy ＋9y 2
．
本题也可直接运用小题（1）的结果（两数差的平方公式）来计算： （2x －3y ）
2
＝ （2x ）2－2·（2x ）·（3y ）＋（3y ）＝ 4x 2－12xy ＋9y 2
．
讨论你能从图中的面积关系来解释小题（1）的结果吗?
4、练习：课本第32页练习第2题
5、例3 利用完全平方公式进行计算
（1）1022（2）1992
6、你会用乘法公式计算吗？
（1）（m＋n）（m－n）（m2－n2）（2）（a＋b＋c）2
先让学生讨论，再解答，交流体会.
7、请你完成下面计算.
（1）912（2）3012（3）（x＋2）2－（x－2）2
练习 P32 3.4.
五、课堂小结.
1．这两个公式是多项式乘法的特殊情况，熟记它们的特点.
2．公式中字母可以是数也可以是单项式或多项式.
3．在解决具体问题时，要先考察题目是否符合公式条件，若不符合，需要先进行变形，使变形后的式子符合公式的条件，然后再应用公式计算.
4．要特别注意一些易出现的错误，如：(a±b)2=a2±b2.
六、布置作业. 课本第33页习题第2.3.4题
13.4 整式的除法
教学目的
1、使学生掌握单项式除以单项式的方法，并且能运用方法熟练地进行计算.
2、探索多项式除以单项式的方法，培养学生的创新精神.
3、培养学生应用数学的意识.
教学重点：单项式除以单项式，多项式除以单项式方法的总结以及运用方法进行计算.
教学难点：运用方法进行计算以及多项式除以单项式方法的探求
教学过程
一、复习提问
1、叙述并写出幂的运算性质及怎样用公式表示？
2、叙述单项式乘以单项式的法则
3、叙述单项式乘以多项式的法则.
4、练习
x6÷x2= （—b）3÷b = 4y2÷y2 = (－a)5÷(－a) 3= _______
y n+3÷y n = ， (－xy)5÷(-xy)2 = ，（a+b）4÷（a+b）2= ,
y9 ÷(y4 ÷y) = ；
二、创设问题情境
计算： 12a5c2÷3a3．
根据除法的意义，上式就是要求一个单项式，使它与3a2相乘的积等于12a5c2．
∵（4a3c2）·3a2＝12a5c2，∴ 12a5c2÷3a2＝4a3c2．
概括单项式相除，把系数、同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式中出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式．
概括两个单项式相除，只要将系数及同底数幂分别相除就可以了.
三、例1计算：
（1）6a3÷2a2；（2）24a2b3÷3ab；（3）-21a2b3c÷3ab.
解（1） 6a3÷2a2＝（6÷2）（a3÷a2）=3a. （2） 24a2b3÷3ab=(24÷3)a2-1b3-1=8ab2.
（3）-21a2b3c÷3ab=(-21÷3)a2-1b3-1c= -7ab2c.
说明：解题的依据是单项式除法法则，计算时，要弄清两个单项式的系数各是什么，哪些是同底数幂，哪些是只在被除式里出现的字母，此外，还要特别注意系数的符号. 练习：计算： （1） 342
3()4
a b ab ÷-
（2） 6216()4()a b a b -÷- 例2：计算： （1）3323311
16()22
x y x y xy ÷
- 解：（1）原式33
43132()48
x x y x y =⋅-
=- 练习：计算（1）
（2）
四、探索多项式除以单项式的一般规律
讨 论有了单项式除以单项式的经验，你会做多项式除以单项式吗？
（1）计算（ma +mb +mc ）÷m ；
（2）从上面的计算中，你能发现什么规律？与同伴交流一下；
概括：多项式除以单项式运算的实质是把多项式除以单项式的运算转化为单项式的除法运算法则： 先把多项式的每一项除以这个单项式，再把所有的商相加． 例3 计算 (12x 3
－5ax 2
+2a 2
x)÷3x
5221235323x x ax x a x x =÷-÷+÷=4252
433
x ax a -+
例4. 地球的质量约为5.98×１０24
千克，木星的质量约为1.9×１０27
千克．问木星的质量约是地球的
多少倍?（结果保留三个有效数字）
分析本题只需做一个除法运算： （1.9×１０27）÷（５.９８×１０24
），我们可以先将1.9除以5.98，
再将１０27除以１０24
，最后将商相乘．
解 （1.9×１０27）÷（5.98×１０24）＝ （1.9÷５.９８）×１０27-24≈ 0.318×１０3
＝３１８． 答： 木星的质量约是地球的318倍 讨论探索：
已知一多项式与单项式－7x 5y 4 的积为21x 5y 7－28x 6y 5
，求这个多项式.
实际就是多项式21x 5y 7－28x 6y 5除以单项式－7x 5y 4
说明：1.多项式除以单项式所得商的项数与这个多项式的项数相同，即被除式有n 项，商仍有n 项，不要漏项；
2.要熟练地进行多项式除以单项式的运算，必须掌握它的基础运算，幂的运算性质是整式乘除法的基础，.
3.符号仍是运算中的重要问题，用多项式的每一项除以单项式时，要注意每一项的符号和单项式的符号.
练习 P38 1.2. 教学小结
1.单项式除以单项式，有什么方法？
2.多项式除以单项式有什么规律？
作业 P38 1.4.
13.5 因式分解
教学目标
1．了解因式分解的意义，并能够理解因式分解与多项式乘法的区别与联系. 2．会用提公因式法进行因式分解(直接用公式不超过两次).
3．树立学生全面认识问题、分析问题的思想，提高学生的观察能力、逆向思维能力. 重点：因式分解的概念及用提公因式法分解因式.
难点：正确的找出多项式各项的公因式进行因式分解. 教学过程
一、知识回顾. 1．完成下列各题：
(1)m(a ＋b ＋c)＝＿＿＿＿＿；(2)(a ＋b)(a －b)＝＿＿＿＿＿＿＿； (3)(a ＋b)2
＝＿＿＿＿＿. 2．根据上面的计算，你会做下面的填空吗?
(1)ma ＋mb ＋mc ＝( )( )；(2)a 2－b 2＝( )( )；(3)a2＋2ab ＋b 2＝( )2
.
二、引导观察.
观察以上两组题目有什么不同点?又有什么联系?
(让学生讨论分析井回答.引导学生从等式的左右两边找异同点，学生不难发现第1题是多项式的乘法，而第2题是把一个多项式化成了几个整式的积，它们之间的运算是相反的.从而引出课题.)
三、新知识的学习.
1．你能根据上面的分析说出什么是因式分解吗?
(把一个多项式化为几个整式的乘积形式，这就是因式分解.)
多项式−−−−←−−−→−整式乘法
因式分解（整式）（整式）……（整式）
2．判断下列各题是否为因式分解：
1)m(a+b+c)= ma+mb+mc. 不是因式分解，是整式乘法。

2)a 2-b 2
= (a+b)(a-b) 是因式分解，可以看成整式(a+b)与整式（a-b)的积 3)a 2-b 2
+1= (a+b)(a-b)+1 不是因式分解，因为最后形式不是积，而是和 1.ma+mb+mc=m( a+b+c )
像(1)这种因式分解的方法叫提公因式法
试一试：请找出下列多项式中各项的相同因式（公因式） （1） 3a+3b 的公因式是： 3 （2）-24m 2x+16n 2
x 公因式是： 8x （3）2x(a+b)+3y(a+b)的公因式是： (a+b) (4) 4ab-2a 2b 2
的公因式是： 2ab
最后大家一起来总结公因式的特征
（1）公因式中的系数是多项式中各项系数的最大公约数；
（2）公因式中的字母（或因式）是多项式中各项的相同字母（或因式）； （1） 公因式中字母（或因式）的指数取相同字母（或因式）的最小指数； 例1 把下列多项式分解因式：。