2009年全国高中联合竞赛一试试题

2009年全国高中联合竞赛一试试题、参考答案及评分标准说明：
1.评阅试卷时，请依据本评分标准，填空题只设7分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次.
2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中至少4分为一个档次，不要增加其他中间档次.
一、填空(共8小题，每小题7分，共56分)
1.若函数且，则f(99)(1)=____.
[答案].
[解析]，
……
.
故.
2.已知直线L：x+y-9=0和圆M：2x2+2y2-8x-8y-1=0，点A在直线L上，B，C为圆M上两点，在△ABC 中，∠BAC=45°，AB过圆心M，则点A横坐标范围为_________.
[答案][3,6].
[解析]设A(a,9-a)，则圆心M到直线AC的距离d=|AM|sin45°，由直线AC与圆M相交，得d≤ .
解得3≤a≤6.
3.在坐标平面上有两个区域M和N，M为，N是随t变化的区域，它由不等式t≤x≤t+1所确定，t的取值范围是0≤t≤1，则M和N的公共面积是函数f(t)=_______________.
[答案].
[解析]由题意知
f(t)=S阴影部分面积
=S△AOB-S△OCD-S△BEF
.
4.使不等式对一切正整数n都成立的最小正整数a的值为
____.
[答案]2009.
[解析]设.显然f(n)单调递减，则由f(n)的最大值
，可得a=2009.
5.椭圆(a＞b＞0)上任意两点P，Q，若OP⊥OQ，则乘积|OP|·|OQ|的最小值为____.
[答案].
[解析]设P(|OP|cosθ，|OP|sinθ)，
.
由P，Q在椭圆上，有
, ①
. ②
①+②得
.
于是当时，|OP||OQ|达到最小值.
6.若方程lgkx=2lg(x+1)仅有一个实根，那么k的取值范围是____________. [答案]k＜0或k=4.
[解析]
当且仅当
kx＞0，①
x+1＞0，②
x2+(2-k)x+1=0. ③
对③由求根公式得
，④
.
(ⅰ)当k＜0时，由③得
所以x1，x2同为负根.
又由④知
所以原方程有一个解x1.
(ⅱ)当k=4时，原方程有一个解.
(ⅲ)当k＞4时，由③得
所以x1，x2同为正根，且x1≠x2，不合题意，舍去.
综上可得k＜0或k=4为所求.
7.一个由若干行数字组成的数表，从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数之和，最后一行仅有一个数，第一行是前100个正整数按从小到大排成的行，则最后一行的数是_______.(可以用指数表示)
[答案]101×298.
[解析]易知：
(ⅰ)该数表共有100行；
(ⅱ)每一行构成一个等差数列，且公差依次为
d1=1，d2=2，d3=22，…，d99=298.
(ⅲ)a100为所求.
设第n(n≥2)行的第一个数为a n，则
a n=a n-1+(a n-1+2n-2)=2a n-1+2n-2
=2[2a n-2+2n-3]+2n-2
=22[2a n-3+2n-4]+2×2n-2+2n-2
=23a n-3+3×2n-2
……
=2n-1a1+(n-1)×2n-2
=(n+1)2n-2,
故a100=101×298.
8.某车站每天8：00～9：00，9：00～10：00都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且两者到站的时间是相互独立的，其规律为
一旅客8：20到车站，则它候车时间的数学期望为___________(精确到分).
[答案]27.
[解析]旅客候车的分布列为
×××候车时间的数学期望为
.
二、解答题
1.(本小题满分14分)设直线l：y=kx+m(其中k，m为整数)与椭圆交于不同两点A，B，
与双曲线交于不同两点C，D，问是否存在直线l，使得向量，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由.
由消去y化简整理得
(3+4k2)x2+8kmx+4m2-48=0.
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则,
△1=(8km)2-4(3+4k2)(4m2-48)＞0. ① ……4分
由消去y,化简整理得
(3-k2)x2-2kmx-m2-12=0.
设C(x3,y4)，D(x4,y4)，则,
△2=(-2km)2+4(3-k2)(m2+12)＞0. ② ……8分
因为，所以(x4-x2)+(x3-x1)=0，此时(y4-y2)+(y3-y1)=0.由x1+x2=x3+x4得
.
所以2km=0或.由上式解得k=0或m=0.当k=0时，由①和②得.
因m是整数，所以m的值为-3，-2，-1，0，1，2，3.当m=0，由①和②得.因k是整数，所以k=-1，0，1.于是满足条件的直线共有9条.………14分
2.(本小题15分)已知p，q(q≠0)是实数，方程x2-px+q=0有两个实根α，β，数列{a n}满足a1=p，a2=p2-q，
a n=pa n-1-qa n-2(n=3,4,…).
(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式(用α，β表示)；
(Ⅱ)若p=1，，求{a n}的前n项和.
方法一：
(Ⅰ)由韦达定理知α·β=q≠0，又α+β=p，所以
a n-px n-1-qx n-2=(α+β)a n-1-αβa n-2，(n=3,4,5,…)
整理得a n-βa n-1=α(a n-1-βa n-2).
令b n=a n+1-βa n，则b n+1=αb n(n=1,2,…).所以{b n}是公比为α的等比数列.
数列{b n}的首项为：
b1=a2-βa1=p2-q-βp=(α+β)2-αβ-β(α+β)=α2.
所以b n=α2·αn-1=αn+1，即a n+1-βa n=αn+1(n=1,2,…).所以a n+1=βa n+αn+1(n=1,2,…).
①当△=p2-4q=0时，α=β≠0，a1=p=α+α=2α，a n+1=βa n+αn+1(n=1,2,…),
变为a n+1=αa n+αn+1(n=1,2,…).整理得(n=1,2,…). 所以数列成公差为1的等差数列，其首项为.所以.
于是数列{a n}的通项公式为
a n=(n+1)αn.……5分
②当△=p2-4q＞0时，α≠β，
a n+1=βa n+αn+1
整理得
(n=1,2,…).
所以，数列成公比为β的等比数列，其首项为
.所以
.
于是数列{a n}的通项公式为.……10分
(Ⅱ)若p=1，，则△=p2-4q=0，此时.由第(Ⅰ)步的结果得，数列{a n}的通项公式为
.所以，{a n}的前n项和为
,
.
以上两式相减，整理得,
所以.………15分
方法二：
(Ⅰ)由韦达定理知α·β=q≠0，又α+β=p，所以
a1=α+β，a2=α2+β2+αβ.
特征方程λ2-pλ+q=0的两个根为α，β.
①当α=β≠0时，通项a n=(A1+A2n)αn(n=1,2,…).由a1=2α，a2=3α2得
解得A1=A2=1.故 a n=(1+n)αn.……5分
②当α≠β时，通项a n=A1αn+A2βn(n=1,2,…).由a1=α+β，a2=α2+β2+αβ得
解得，.故
.……10分
(Ⅱ)同方法一.
3.(本小题满分15分)求函数的最大和最小值.
函数的定义域为[0,13].因为
≥
=,
当x=0时等号成立.故y的最小值为.……5分
又由柯西不等式得
≤,
所以y≤11. ……10分
由柯西不等式等号成立的条件，得4x=9(13-x)=x+27，解得x=9.故当x=9时等号成立.因此y的最大值为11.……15分。