中考数学选填题压轴题突破 重难点突破三 多解题
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当 BE＝ 78或43 时，△AEC′是以 AE 为腰的等腰三角形．
考向 3：与圆有关的多解题
(2020·襄阳)在⊙O 中，若弦 BC 垂直平分半径 OA，则弦 BC 所对的 圆周角等于 120°或 60°.
【思路点拨】设 BC 与 OA 相交于点 E，由 BC 垂直平分 OA，可得四边形 OBAC 是菱形，得到∠BOA＝∠COA，由 cos ∠OBE＝12，得∠BOA＝60°，则圆心 角为 120°，可求得圆周角．
3cm2.
8．★(2020·牡丹江)AB 是⊙O 的弦，OM⊥AB，垂足为 M，连接 OA.若△AOM 中有一个角是 30°，OM＝2 3.则弦 AB 的长为 12 或 4 .
1．弧的位置不确定：一条弦(不是直径)对应的弧有劣弧和优弧之分， 则所对的圆周角有两种情况：
(1)优弧所对的圆周角为钝角； (2)劣弧所对的圆周角为锐角． 2．弦的位置不确定：一条弦(不是直径)与坐标轴平行或垂直时，此 时长度已知，有两种情况： (1)弦在圆心的上方或下方； (2)弦在圆心的左侧或右侧．
【思路点拨】分两种情况分析：①可证得 Rt△ABE≌Rt△BCH，继而证得 △BEF∽△BHC，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得 FH；②先 连接 EH，易证得 Rt△ABE≌Rt△BAH，继而可证得四边形 ABEH 是平行四 边形，根据平行四边形性质，即可求得 FH.
Байду номын сангаас
1．若题干中给出某点 E 分线段成比例时，因不确定点 E 在线段上的 位置，故需分类讨论；
★(2020·鄂州第 15 题 3 分)如图，半径为 2 cm 的⊙O 与边长为 2 cm 的
正方形 ABCD 的边 AB 相切于 E，点 F 为正方形的中心，直线 OE 过 F 点．当
正方形 ABCD 沿直线 OF 以每秒(2－ 3)cm 的速度向左运动 1 或(11＋6 3)
2 秒时，⊙O 与正方形重叠部分的面积为3π－
★(2018·荆州第 18 题 3 分)如图，正方形 ABCD 的对称中心在坐标原点， AB∥x 轴，AD，BC 分别与 x 轴交于点 E，F，连接 BE，DF.若正方形 ABCD 有两个顶点在双曲线 y＝a＋x 2上，实数 a 满足 a3－a＝1，则四边形 DEBF 的 面积是 2 或 6 或 10 .
则 k 的值为 －4 或－8
.
1．一次函数 y＝kx＋b 的图象经过点 P(1，2)且与两坐标轴围成的三角形 的面积为12，若反比例函数 y＝mx的图象经过点 M(k，b)，则 m 的值为
－8 或 1 .
2．★(2021·枣庄)在平面直角坐标系 xOy 中，直线 AB 垂直 x 轴于点 C(点 C 在原点的右侧)，并分别与直线 y＝x 和双曲线 y＝2x相交于点 A，B，且 AC＋BC＝4，则△OAB 的面积为 2 2＋2 或 2 2－2 .
注意待定系数法求一次函数解析式时，因条件导致两个点的不确定 性，需分情况讨论．
(2017·鄂州第 15 题 3 分)如图，AC⊥x 轴于点 A，
点 B 在 y 轴的正半轴上，∠ABC＝60°，AB＝4，
k BC＝2 3，点 D 为 AC 与反比例函数 y＝x的图象的交
点，若直线 BD 将△ABC 的面积分成 1∶2 的两部分，
3．(2021·绍兴)已知△ABC 与△ABD 在同一平面内，点 C，D 不重合， ∠ABC＝∠ABD＝30°，AB＝4，AC＝AD＝2 2，则 CD 的长为 2 3±2 或4或2 6 . 4．★(2021·江西)如图，在边长为 6 3的正六边 形 ABCDEF 中，连接 BE，CF，其中点 M，N 分别为 BE 和 CF 上的动点．若以 M，N，D 为顶点的三角 形是等边三角形，且边长为整数，则该等边三角 形的边长为 9 或 10 或 18 .
重难点突破三 多解题 类型一：代数多解题
(荆州2020T16)
设一次函数 y＝kx＋b 的图象过点 P(1，3)，它与 x 轴、y 轴的正 半轴分别交于 A，B 两点，且 OA＋OB＝8，则一次函数的解析式为 y＝ －x＋4 或 y＝－3x＋6 .
【思路点拨】由一次函数图象上点的坐标特征即可得出一次函数 y＝kx ＋b 的图象与 x，y 轴的交点坐标，再根据一次函数图象过点(1，3)和 OA ＋OB＝8，即可得出关于 k，b 的方程组，解之即可得出结论．
2．特殊三角形的特殊边不确定分两类讨论：①等腰三角形中，分已 知边是腰还是底边；②直角三角形中，分已知边是直角边还是斜边；
3．三角形全等或相似时，未指明对应边(或对应角)需分类讨论； 4．两个三角形位似时，分两个图形在位似中心同侧和异侧两种情况．
(2018·襄阳第 15 题 3 分)已知，CD 是△ABC 的边 AB 上的高，若 CD＝ 3， AD＝1，AB＝2AC，则 BC 的长为 2 3或 2 7 .
4
4
3
A．3 B.3 C．3 或3 D．4 或4
【思路点拨】由题中的∠ACD＝∠ABC，根据三角形外角的性质，∠ACD＋ ∠DCE＝∠A＋∠B，可得出∠A＝∠DCE，由相似三角形夹角相等的两边对 应成比例列出比例式，列比例式时注意两组边的两组对应情况．
1．三角形形状不确定分三类讨论：①锐角三角形；②直角三角形； ③钝角三角形；
类型二：几何多解题
(鄂州 2019，2020T15；荆州 2019T15)
考向 1：与三角形有关的多解题
如图，在△ABC 中，AC＝6，AB＝4，点 D 与点 A 在直线 BC 的同侧，且 ∠ACD＝∠ABC，CD＝2，点 E 是线段 BC 延长线上的动点，当△DCE 和△ABC 相似时，线段 CE 的长为( C )
2．若题干给出某点在直线上，如点 E 是直线 AB 上的点，因不确定 E 是在线段 AB 上，还是在其延长线上，故需分类讨论；
3．若题干给出某点在三角形或四边形的边上，因不确定在哪条边上， 故需分类讨论；
4．已知条件中限制某四个点组成的四边形是特殊四边形，求点坐标 或线段长，因不确定边和对角线，故需分类讨论．
5．★在△ABC 中，AB＝6，AC＝5，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，若△ADE 与△ABC 相似，且 S△ADE∶S 四边形 BCED＝4∶21，则 AD＝ 2 或152 .
考向 2：与四边形有关的多解题
在边长为 8 的正方形 ABCD 中，点 E 是 BC 边上的点，BE＝6.点 H 是正 方形边上的一点，连接 BH，交线段 AE 于点 F，且 BH＝AE，则线段 FH 的 长是 5.2 或 5 .
6．★(2021·绥化)在边长为 4 的正方形 ABCD 中，连接对角线 AC， BD，点 P 是正方形边上或对角线上的一点，若 PB＝3PC.则 PC＝
1或
2或
34－ 4
2
.
7．★(2021·盐城)如图，在矩形 ABCD 中，AB＝3，AD＝4，E，F 分别是 边 BC，CD 上一点，EF⊥AE，将△ECF 沿 EF 翻折得△EC′F，连接 AC′，
考向 3：与圆有关的多解题
(2020·襄阳)在⊙O 中，若弦 BC 垂直平分半径 OA，则弦 BC 所对的 圆周角等于 120°或 60°.
【思路点拨】设 BC 与 OA 相交于点 E，由 BC 垂直平分 OA，可得四边形 OBAC 是菱形，得到∠BOA＝∠COA，由 cos ∠OBE＝12，得∠BOA＝60°，则圆心 角为 120°，可求得圆周角．
3cm2.
8．★(2020·牡丹江)AB 是⊙O 的弦，OM⊥AB，垂足为 M，连接 OA.若△AOM 中有一个角是 30°，OM＝2 3.则弦 AB 的长为 12 或 4 .
1．弧的位置不确定：一条弦(不是直径)对应的弧有劣弧和优弧之分， 则所对的圆周角有两种情况：
(1)优弧所对的圆周角为钝角； (2)劣弧所对的圆周角为锐角． 2．弦的位置不确定：一条弦(不是直径)与坐标轴平行或垂直时，此 时长度已知，有两种情况： (1)弦在圆心的上方或下方； (2)弦在圆心的左侧或右侧．
【思路点拨】分两种情况分析：①可证得 Rt△ABE≌Rt△BCH，继而证得 △BEF∽△BHC，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得 FH；②先 连接 EH，易证得 Rt△ABE≌Rt△BAH，继而可证得四边形 ABEH 是平行四 边形，根据平行四边形性质，即可求得 FH.
Байду номын сангаас
1．若题干中给出某点 E 分线段成比例时，因不确定点 E 在线段上的 位置，故需分类讨论；
★(2020·鄂州第 15 题 3 分)如图，半径为 2 cm 的⊙O 与边长为 2 cm 的
正方形 ABCD 的边 AB 相切于 E，点 F 为正方形的中心，直线 OE 过 F 点．当
正方形 ABCD 沿直线 OF 以每秒(2－ 3)cm 的速度向左运动 1 或(11＋6 3)
2 秒时，⊙O 与正方形重叠部分的面积为3π－
★(2018·荆州第 18 题 3 分)如图，正方形 ABCD 的对称中心在坐标原点， AB∥x 轴，AD，BC 分别与 x 轴交于点 E，F，连接 BE，DF.若正方形 ABCD 有两个顶点在双曲线 y＝a＋x 2上，实数 a 满足 a3－a＝1，则四边形 DEBF 的 面积是 2 或 6 或 10 .
则 k 的值为 －4 或－8
.
1．一次函数 y＝kx＋b 的图象经过点 P(1，2)且与两坐标轴围成的三角形 的面积为12，若反比例函数 y＝mx的图象经过点 M(k，b)，则 m 的值为
－8 或 1 .
2．★(2021·枣庄)在平面直角坐标系 xOy 中，直线 AB 垂直 x 轴于点 C(点 C 在原点的右侧)，并分别与直线 y＝x 和双曲线 y＝2x相交于点 A，B，且 AC＋BC＝4，则△OAB 的面积为 2 2＋2 或 2 2－2 .
注意待定系数法求一次函数解析式时，因条件导致两个点的不确定 性，需分情况讨论．
(2017·鄂州第 15 题 3 分)如图，AC⊥x 轴于点 A，
点 B 在 y 轴的正半轴上，∠ABC＝60°，AB＝4，
k BC＝2 3，点 D 为 AC 与反比例函数 y＝x的图象的交
点，若直线 BD 将△ABC 的面积分成 1∶2 的两部分，
3．(2021·绍兴)已知△ABC 与△ABD 在同一平面内，点 C，D 不重合， ∠ABC＝∠ABD＝30°，AB＝4，AC＝AD＝2 2，则 CD 的长为 2 3±2 或4或2 6 . 4．★(2021·江西)如图，在边长为 6 3的正六边 形 ABCDEF 中，连接 BE，CF，其中点 M，N 分别为 BE 和 CF 上的动点．若以 M，N，D 为顶点的三角 形是等边三角形，且边长为整数，则该等边三角 形的边长为 9 或 10 或 18 .
重难点突破三 多解题 类型一：代数多解题
(荆州2020T16)
设一次函数 y＝kx＋b 的图象过点 P(1，3)，它与 x 轴、y 轴的正 半轴分别交于 A，B 两点，且 OA＋OB＝8，则一次函数的解析式为 y＝ －x＋4 或 y＝－3x＋6 .
【思路点拨】由一次函数图象上点的坐标特征即可得出一次函数 y＝kx ＋b 的图象与 x，y 轴的交点坐标，再根据一次函数图象过点(1，3)和 OA ＋OB＝8，即可得出关于 k，b 的方程组，解之即可得出结论．
2．特殊三角形的特殊边不确定分两类讨论：①等腰三角形中，分已 知边是腰还是底边；②直角三角形中，分已知边是直角边还是斜边；
3．三角形全等或相似时，未指明对应边(或对应角)需分类讨论； 4．两个三角形位似时，分两个图形在位似中心同侧和异侧两种情况．
(2018·襄阳第 15 题 3 分)已知，CD 是△ABC 的边 AB 上的高，若 CD＝ 3， AD＝1，AB＝2AC，则 BC 的长为 2 3或 2 7 .
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A．3 B.3 C．3 或3 D．4 或4
【思路点拨】由题中的∠ACD＝∠ABC，根据三角形外角的性质，∠ACD＋ ∠DCE＝∠A＋∠B，可得出∠A＝∠DCE，由相似三角形夹角相等的两边对 应成比例列出比例式，列比例式时注意两组边的两组对应情况．
1．三角形形状不确定分三类讨论：①锐角三角形；②直角三角形； ③钝角三角形；
类型二：几何多解题
(鄂州 2019，2020T15；荆州 2019T15)
考向 1：与三角形有关的多解题
如图，在△ABC 中，AC＝6，AB＝4，点 D 与点 A 在直线 BC 的同侧，且 ∠ACD＝∠ABC，CD＝2，点 E 是线段 BC 延长线上的动点，当△DCE 和△ABC 相似时，线段 CE 的长为( C )
2．若题干给出某点在直线上，如点 E 是直线 AB 上的点，因不确定 E 是在线段 AB 上，还是在其延长线上，故需分类讨论；
3．若题干给出某点在三角形或四边形的边上，因不确定在哪条边上， 故需分类讨论；
4．已知条件中限制某四个点组成的四边形是特殊四边形，求点坐标 或线段长，因不确定边和对角线，故需分类讨论．
5．★在△ABC 中，AB＝6，AC＝5，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，若△ADE 与△ABC 相似，且 S△ADE∶S 四边形 BCED＝4∶21，则 AD＝ 2 或152 .
考向 2：与四边形有关的多解题
在边长为 8 的正方形 ABCD 中，点 E 是 BC 边上的点，BE＝6.点 H 是正 方形边上的一点，连接 BH，交线段 AE 于点 F，且 BH＝AE，则线段 FH 的 长是 5.2 或 5 .
6．★(2021·绥化)在边长为 4 的正方形 ABCD 中，连接对角线 AC， BD，点 P 是正方形边上或对角线上的一点，若 PB＝3PC.则 PC＝
1或
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34－ 4
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7．★(2021·盐城)如图，在矩形 ABCD 中，AB＝3，AD＝4，E，F 分别是 边 BC，CD 上一点，EF⊥AE，将△ECF 沿 EF 翻折得△EC′F，连接 AC′，