湖北省高三数学第二次阶段性检测试卷 理 新人教A版

湖北省部分重点中学2012—2013学年度第二次联考理科数学试卷
一、选择题：本大题共10个小题；每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．
1. 已知,,
x y R i
∈为虚数单位，且(2)1
x i y i
--=+，则(1)x y
i+
+的值为
A．4 B．4-C．44i
+D．2i
2. 不等式2210
ax x
-+<的解集非空的一个必要而不充分条件是
A．1
a<B．1
a≤C．01
a
<<D．0
a<
3.现有甲、乙、丙、丁四名义工到三个不同的社区参加公益活动.若每个社区至少一名义工，则甲、乙两人被分到不同社区的概率为
A．B．C．D．
4.下列几何体各自的三视图中,有且仅有两个视图相同的是
5. 已知数列{}n a为等差数列，{}n b为等比数列，且满足：π=
+
1012
1000
a
a，2
14
1
-
=
b
b，
则=
-
+
8
7
2011
1
1
tan
b
b
a
a
A．1 B．-1C
3
D．3
6. 已知xdx
N
dx
x
M⎰
⎰=
-
=2
1
2cos
,
1
π
，由
如右程序框图输出的=
S
A. 1
B.
2
π
C.
4
π
D. 1
-
输出S
结束
否
开始
输入M，N
N
S=M
S=
N
M>
是
7. 已知点1(,)40x x y x y ax by c ≥⎧⎪
+≤⎨⎪++≥⎩
是不等式组表示的平面区域内的一个动点，且
目标函数2z x y =+的最大值为7，最小值为1，则a b c
a
++的值为
A ．2
B ．
12
C ．-2
D ．-1 8.设函数)cos (sin )(x x e x f x
-=，若π20120≤≤x ，则函数)(x f 的各极大值之和为
A. πππe e e --1)1(1006
B. π
ππ220121)1(e e e -- C. πππ210061)1(e e e -- D. πππe e e --1)
1(2012
9.已知O 是锐角三角形ABC ∆的外接圆的圆心,且A θ∠=，若
cos cos =2sin sin B C AB AC mAO C B
+u u u r u u u r u u u r ，则m = A ．sin θ B ．cos θ C ．tan θ D ．不能确定
10.设抛物线21
=4
y x 的焦点为F ，M 为抛物线上异于顶点的一点，且M 在准线上的射影
为点/
M ，则在/
MM F ∆的重心、外心和垂心中，有可能仍在此抛物线上的有 A ．0个 B ．1个
C ．2个
D ．3个
二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分。

请将答案填写在答题卡对应题号的位置上。

答错位置，书写不清，模棱两个均不得分。

（一）必考题（11-14题）
11. 某校对全校男女学生共1600名进行健康调查，选用分层抽样法抽取一个容量为200的样本．已知女生比男生少抽了10人，则该校的女生人数应是 人．
12. 函数()f x 的定义域为R.， (-1)=2f ，对任意的/
,()>2x R f x ∈，则()>2+4f x x 的解集为 .
13.已知点P 是双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>右支上一点，1F 、2F 分别是双曲线的左、
右焦点. I 为12PF F ∆内心，若12121
2
IPF IPF IF F S S S ∆∆∆=+
，则双曲线的离心率为 . 14. 设f ：N *→N *，()f x 是定义在正整数集上的增函数，且f （f （k ））=3k ，则f （2012）= ． （二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B 铅笔涂黑．如果全选，则按第15题作答结果计分．）
15. 在极坐标系中，直线被圆所截得的弦长是____
16. 如图所示，⊙O 的直径AB=6cm ，P 是AB 的延长线上的 一点，过P 点作⊙O 的切线，切点为C ，连接AC ， 若30CPA ∠=︒，则PC= 。

三、解答题：本大题共6小题，共75分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（本小题满分12分） 已知函数()sin(2)sin(2)3cos 233
f x x x x m π
π
=+
+-+-，若()f x 的最大值为1 （1）求m 的值，并求)(x f 的单调递增区间;
（2）在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边a 、b 、c ,若()31f B =-，且3a b c =+，
试判断三角形的形状.
18.（本小题满分12分）如图，所有棱长都为2的正三棱柱'''D C B BCD -，四边形ABCD 是菱形，其中E 为BD 的中点。

(1) 求证：'
'
'
//D AB E C 面; (2) 求面ABD D AB 与面''所成锐二面角的余弦值； （3）求四棱锥ABCD B -'与ABCD D -'的公共部分体积。

19．（本小题满分12分）某班同学利用寒假在5个居民小区内选择两个小区逐户进行一次“低碳生活习惯”的调查，以计算每户的碳月排放量．若月排放量符合低碳标准的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”．若小区内有至少%75的住户属于“低碳族”，则称这个小区为“低碳小区”，否则称为“非低碳小区” ．已知备选的5个居民小区中有三个非低碳小区，两个低碳小区.
A
B
C
E
D 'D '
C '
B
（Ⅰ）求所选的两个小区恰有一个为“非低碳小区”的概率；
（Ⅱ）假定选择的“非低碳小区”为小区A ，调查显示其“低碳族”的比例为
2
1
，数据如图1所示，经过同学们的大力宣传，三个月后，又进行了一次调查，数据如图2所示，问这时小区A 是否达到“低碳小区”的标准？
（百千克/户
图2
（百千克/户
图1
20.（本小题满分12分）
有n 个首项都是1的等差数列，设第m 个数列的第k 项为mk a （3,,,3,2,1,≥=n n k m Λ）
，
公差为m d ，并且nn n n n a a a a ,,,,321Λ成等差数列.
(1)证明
的多项式）是m p p n m d p d p d m 212211,,3(≤≤+=，并求21p p +的值；
(2)当3,121==d d 时，将数列{}m d 分组如下： )(1d ，),,(432d d d ，),,,,(98765d d d d d ，
…
（每组数的个数构成等差数列）.设前m 组中所有数之和为4
)(m c （0>m c ），求数列
{}m c d m
2的前n 项和
n S .
(3)设N 是不超过20的正整数，当N n >时，对于(1)中的n S ，求使得不等式
n
n d S >-)6(501
成立的所有N 的值.
21.（本小题满分13分）
若椭圆1E :2222111x y a b +=和椭圆2E :2222221x y a b +=满足2211
(0)a b
m m a b ==>,则称这两
个椭圆相似，m 是相似比.
(Ⅰ)求过(且与椭圆22
142
x y +=相似的椭圆的方程；
(Ⅱ)设过原点的一条射线l 分别与(Ⅰ)中的两椭圆交于,A B 两点（点A 在线段OB 上）. ①若P 是线段AB 上的一点，若,,OA OP OB 成等比数列，求P 点的轨迹方程; ②求
OB OA ⋅的最大值和最小值.
22.（本小题满分14分）
设函数()e x
f x =(e 为自然对数的底数)，23()12!3!!
n
n x x x g x x n =+++++L （*n ∈N ）
． （1）证明：()f x 1()g x ≥；
（2）当0x >时，比较()f x 与()n g x 的大小，并说明理由； （3）证明：12322221()()()()(1)2341
n
n g e n +++++≤<+L （*n ∈N ）
．
湖北省部分重点中学2012—2013学年度第二次联考理科数学答案
一、 DBBDD CCBAB11.760 12.1+∞（，） 13.2 14.3849 15. 16.二、 17.
18. 解：(1)证明如图取''D B 的中点为F ，连AF,C ’F ,易得AFC ’F 为
平行四边形。

E C AF '//∴,又’
‘
面D AB AF ⊆ ∴'
'
'
//D AB E C 面 ..4分 （2）解：因ABCD 为菱形，且060=∠DCB ,取BC 中点为G 易得AD ， DG ，DD ’ 相互垂直，故分别以之为x,y,z 轴建立坐标系如图。

由棱长为2得)2,0,0('),2,3,1('),0,0,2(D B A 进
而得面'ADD 的一个法向量为)1,3
3
,1(-
，又面ABD 的法向量为（0，0，1）所以面ABD D AB 与面''所成锐二面角的余弦值7213
21
)
1,0,0()1,33
,1(cos =•-
=
θ 另：不建系证得EC C '∠即为二面角的平面角，再由线段长算得值亦可给分。

……9分
（3）设B ’D 与BD 的交点为O ,由图得四棱锥ABCD B -'与ABCD D -'的公共部分为四棱 锥O-ABCD,且O 到下底面的距离为1，3260sin 222
1
20=⨯⨯⨯=ABCD S 所以公共部分的体积为3
3
213231=
⨯⨯。

……………12分 19. 解：（Ⅰ）设三个“非低碳小区”为C B A ,,，两个“低碳小区”为,,m n …2分 用),(y x 表示选定的两个小区，{},,,,,x y A B C m n ∈，则从5个小区中任选两个小区,所有可能的结果有10个，它们是(,)A B ，(,)A C ，
(,)A m ,(,)A n ,(,)B C ,(,)B m ,(,)B n ,(,)C m ,(,)C n ,(,)m n . 5分
用D 表示：“选出的两个小区恰有一个为非低碳小区”这一事件，则D 中的结果有6个，它们,是：(,)A m ，(,)A n ,(,)B m ,(,)B n ，(,)C m ,(,)C n . …7分
故所求概率为63
()105
P D =
=. ……8分 （II ）由图1可知月碳排放量不超过300千克的成为“低碳族”. ……10分
由图2可知，三个月后的低碳族的比例为0.070.230.460.760.75++=>，所以三个月后小区A 达到了“低碳小区”标准. …… 12分 20. 解：(1)由题意知m mn d n a )1(1-+=.
[][]))(1()1(1)1(1121212d d n d n d n a a n n --=-+--+=-,
同理，))(1(2323d d n a a n n --=-，))(1(3434d d n a a n n --=-，…，
))(1(1)1(----=-n n n n nn d d n a a .
又因为nn n n n a a a a ,,,,321Λ成等差数列，所以n n a a 12-=n n a a 23-=…=n n nn a a )1(-- 故,12312--==-=-n n d d d d d d Λ即{}n d 是公差为12d d -的等差数列. 所以21121)1()2())(1(d m d m d d m d d m -+-=--+=. 令,1,221-=-=m p m p 则2211d p d p d m +=此时21p p +=1. (2) 当3,121==d d 时,)(12*
N m m d m ∈-=
数列{}m d 分组如下：)(1d ，),,(432d d d ，),,,,(98765d d d d d ，… 按分组规律，第m 组中有12-m 个奇数，
所以第1组到第m 组共有2
)12(531m m =-++++Λ个奇数. 注意到前k 个奇数的和为2)12(531k k =-++++Λ， 所以前2m 个奇数的和为4
2
2)(m m =.
即前m 组中所有数之和为4m ，所以44)(m c m =.
因为,0>m c 所以m c m =，从而).(2)12(2*N m m d m m c
m ∈⋅-= 所以n n n n n S 2)12(2)32(272523211432⋅-+⋅-++⋅+⋅+⋅+⋅=-Λ.
154322)12(2)32(272523212+⋅-+⋅-++⋅+⋅+⋅+⋅=n n n n n S Λ
故14322)12(222222222+⋅--⋅++⋅+⋅+⋅+=-n n n n S Λ 1
3
2
2
)12(2)2222(2+⋅---++++=n n
n Λ
12)12(21
2)
12(22+⋅-----⨯=n n n 62)23(1--=+n n .
所以62)32(1+-=+n n n S .
(3)由(2)得)(12*N n n d n ∈-=, 62)32(1+-=+n n n S )(*
N n ∈. 故不等式
n n d S >-)6(50
1
就是)12(502)32(1->-+n n n . 考虑函数100)502)(32()12(502
)32()(11
---=---=++n n n n n x f .
当5,4,3,2,1=n 时，都有0)(<n f ，即)12(502)32(1
-<-+n n n .
而0602100)50128(9)6(>=--=f ，
注意到当6≥n 时，)(n f 单调递增，故有0)(>n f . 因此,当6≥n 时，)12(502
)32(1
->-+n n n 成立，即
n n d S >-)6(50
1
成立. 所以,满足条件的所有正整数N=20,,7,6,5Λ.
21. 解:(Ⅰ)设与
22
142
x y +=相似的椭圆的方程22221x y a b +=.
则有22
2461
a a
b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得2216,8a b ==,所求方程是
221168x y +=. (Ⅱ) ① 当射线l
的斜率不存在时(0,(0,A B ±,设点P 坐标P(0,0)y ,则
204y =,02y =±.即P(0,2±).
当射线l 的斜率存在时，设其方程y kx =,P(,)x y ,由11(,)A x y ,22(,)B x y 则
112
211142y kx x y =⎧⎪⎨+
=⎪⎩ 得2122212
412412x k k y k ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩
||OA ∴=
同理||OB = 又点P 在l 上，则y k x
=，且由2
2
2222222222
8(1)8(1)8()12212y k x y x x y y k x y x
++++===+++,
即所求方程是22184x y +=.又Q (0,2±)适合方程,故所求椭圆的方程是22
184
x y +=.
②由①可知,当l 的斜率不存在时，OB OA ⋅4222=⋅=
,当l 的斜率存在时,
OB OA ⋅()
2
22214
42118k
k b ++=++=, ∴84≤⋅≤OB OA 综上OB OA ⋅的最大值是8,最小值是4.
22. 【考查目的】本题考查函数与导数、数学归纳法、不等式等基础知识，考查抽象概括能
力、推理论证能、运算求解能力和创新意识，考查函数与方程思想、转化与化归思想 解：（1）证明：设11()()()1x x f x g x e x ϕ=-=--，所以1()1x x e ϕ'=-…………1分 当0x <时，1()0x ϕ'<，当0x =时，1()0x ϕ'=，当0x >时，1()0x ϕ'>．
即函数1()x ϕ在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增，在0x =处取得唯一极小值，…2分
因为1(0)0ϕ=，所以对任意实数x 均有 11()(0)0x ϕϕ=≥．即1()()0f x g x -≥，
所以()f x 1()g x ≥………………………………………………………………3分 （2）解：当0x >时，()f x >()n g x ．用数学归纳法证明如下：
①当1n =时，由（1）知()f x 1()g x >。

②假设当n k =（*k ∈N ）时，对任意0x >均有()f x >()k g x ，………………5分 令()()()k k x f x g x ϕ=-，11()()()k k x f x g x ϕ++=-，
因为对任意的正实数x ，()()11()()()k k
k x f x g x f x g x ϕ++'''=-=-， 由归纳假设知，1()()()0k k x f x g x ϕ+'=->．………………………………………6分 即11()()()k k x f x g x ϕ++=-在(0,)+∞上为增函数，亦即11()(0)k k x ϕϕ++>， 因为1(0)0k ϕ+=，所以1()0k x ϕ+>．从而对任意0x >，有1()()0k f x g x +->． 即对任意0x >，有1()()k f x g x +>．这就是说，当1n k =+时，对任意0x >，也有
()f x >1()k g x +．由①、②知，当0x >时，都有()f x >()n g x ．……………8分
（2）证明1：先证对任意正整数n ，()1e n g <．
由（2）知，当0x >时，对任意正整数n ，都有()f x >()n g x ．令1x =，得
()()11=e
n g f <．所以
()1e n g <．…………………………………………………………………9分
再证对任意正整数n ，
()1232222112341n
n g n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
+++++≤ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L 111112!3!!n =+++++L ． 要证明上式，只需证明对任意正整数n ，不等式211!n
n n ⎛⎫
≤ ⎪
+⎝⎭
成立． 即要证明对任意正整数n ，不等式1!2n
n n +⎛⎫
≤ ⎪⎝⎭
（*）成立……………………10分
以下分别用数学归纳法和基本不等式法证明不等式（*）： 方法1（数学归纳法）：
①当1n =时，1
111!2+⎛⎫
≤ ⎪⎝⎭
成立，所以不等式（*）成立．
②假设当n k =（*k ∈N ）时，不等式（*）成立，即
1!2k
k k +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭．……………11分 则()()()1111!1!1222k k k k k k k k +++⎛⎫⎛⎫+=+≤+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
． 因为111101111112211121C C C 2111112k k k k k k k k k k k k k k k k ++++++++++⎛⎫ ⎪+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭==+=+++≥ ⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭+⎛⎫ ⎪⎝⎭
L 所以()11121!222k k k k k ++++⎛⎫⎛⎫+≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．………………………………………13分
这说明当1n k =+时，不等式（*）也成立．由①、②知，对任意正整数n ，不等式（*）都成立．
综上可知，对任意正整数n ，()123222211e 2341n
n g n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++≤< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
L 成立 …14分。