精品文档-高等数学(上册)(张涛-第12章

第12章 Matlab初步
例12-8 计算
解 Matlab命令为 syms x，y； diff(sin(x^2)*y^2，2) ans=-4*sin(x^2)*x^2*y^2+2*cos(x^2)*y^2
第12章 Matlab初步
例12-9 计算
解 Matlab命令为 syms x，y； D1=diff(sin(x^2)*y^2，2)； diff(D1，y) ans=-8*sin(x^2)*x^2*y+4*cos(x^2)*y
第12章 Matlab初步
3. 求导与微分运算 diff(S)
功能：求函数S的1阶导数，其中，S为符号函数. diff(S，n)
功能：求函数S的n阶导数，其中，S为符号函数. 例12-2 求函数4x3+3x+2的二阶导数. 解 Matlab命令为
syms x； S=4*x^3+3*x+2； diff(S，2) ans=24*x
“自变量”) 功能： 对默认的自变量求微分方程的通解.
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例12-5 求微分方程y'－x5y=0的通解. 解 Matlab命令为
syms x； dsolve ('Dy-x^5*y=0'，'x') ans=C1*exp(1/6*x^6) 例12-6 求微分方程y''－a2y'=0满足初始条件y(0)=1， y' (p/a)=0的特解. 解 Matlab命令为 syms x，a； dsolve('D2y = －a^2*y'，'y(0) = 1'，'Dy(pi/a) = 0') ans= cos(a*t)
第12章 Matlab初步
第12章 Matlab初步
12.1 Matlab简介 12.2 微积分在Matlab中的实现 12.3 线性代数在Matlab中的实现 12.4 函数作图在Matlab中的实现
第12章 Matlab初步
12.1 Matlab简介 12.1.1 Matlab的特点
1. Matlab语言具有易学易用性 Matlab语言不要求用户有多么高深的数学知识和程序设 计语言知识，也不需要用户熟练掌握算法及编程技巧，用户只 需输入所求解问题的数学表达式，就可以得到运算结果. Matlab既是一种编程环境，又是一种程序设计语言. 这种语 言与高级程序设计语言(如C、VB)一样，有其特定的语法规则， 但它的规则更加贴近数学表示，所以使用起来很方便. 而且 Matlab具有更加强大的语句功能，一条语句或是函数就可以 完成一项较为复杂的任务，如FFT语句就可以完成对指定数据 的快速傅里叶变换，这相当于几十条乃至几百条C程序设计语 言语句的功能.
例12-4 计算极限 解 Matlab命令为
syms x； S=cos(x)*cos(2x)； int(S，x，-pi/2，pi/2) ans=2/3
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12.2.3 微分方程在Matlab中的实现 1. 常微分方程的通解 dsolve(“微分方程”) 功能：对默认的自变量求微分方程的通解. dsolve(“微分方程”，“自变量”) 功能：对指定的自变量求微分方程的通解. 2. 常微分方程的特解 dsolve(“微分方程”、“初始条件1，条件2，…”、
第12章 Matlab初步 12.1.4 Matlab常用命令和技巧
1. 一些通用命令 学习Matlab就必须熟悉一些通用命令. 表12-1给出了最 常用的几个通用命令.
表 12-1
第12章 Matlab初步 2. 一些常量 Matlab语言本身也具有一些预定义的变量，这些特殊的 变量称为常量，如表12-2所示.
该窗口即为Matlab的操作桌面，它包括4个窗口：命令窗 口(Command Window)、工作空间窗口(Workspace Browser)、 当前目录浏览器(Current Directory)、命令历史窗口 (Command History).
第12章 Matlab初步 图12-1
第12章 Matlab初步
2. 命令窗口(Command Window) Matlab的命令窗口处于图12-1所示的右侧固定位置，是 所有窗口中最大的窗口. 其中，“>>”为运算提示符，表示 Matlab正处在准备状态.当在“>>”后输入一段运算式并按回 车键后，Matlab将给出计算结果，然后，再次进入准备状态. 3. 工作空间窗口(Workspace Browser) 工作空间窗口是Matlab的重要组成部分. 用于显示工作 空间保存的所有变量的名称、维数大小、字节数和数据类型。 该窗口上方有一行快捷按钮，分别表示建立新变量、打开所选 变量、调入数据文件、保存、打印、删除和图形方式显示变量 等.
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例12-3 计算极限 解 Matlab命令为
syms x； S=x*log(x)； int(S) ans=1/2*x^2*log(x)-1/4*x^2 2. 求定积分运算 int(S，a，b) 功能：对符号表达式s中的符号变量v计算从a到b的定积 分.
第12章 Matlab初步 int(S，v，a，b) 功能：对表达式s中指定的符号变量v计算从a到b的定积 分.
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2. Matlab语言具有实用方便性 Matlab具有丰富的数值计算和符号计算功能，其数值计 算功能只要包括：矩阵运算、多项式运算、有理分式运算、数 据统计分析、数值积分和优化处理等. 符号计算可以得到问题 的解析解. 同时，Matlab语言还增加了类与对象以及函数句 柄功能，用户可以利用类与对象和函数句柄功能创建自定义的 类函数及函数句柄，极大地增强了Matlab语言的编程功能.
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12.2.4 多元函数微积分在Matlab中的实现 1. 多元函数的极限 例12-7 解 Matlab命令为 syms x，y； limit(limit((2-sqrt(x*y+4))/(x*y)，y，0)，x，0) ans=-1/4. 2. 多元函数偏导数 diff(S，′v′) 功能：对表达式S中指定符号变量v计算1阶偏导数. diff(S，′v′，n) 功能：对表达式S中指定的符号变量v计算n阶偏导数.
功能：创建一个符号变量x. syms x y z
功能：创建多个符号变量x、y、z. r = collect (M，v)
功能：合并同类项，M是符号表达式，v是变量或表达式， r是合并同类项后的结果.
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factor (M) 功能：符号计算的因式分解，M是待分解的符号多项式.
expand (M) 功能：对符号多项式或函数M进行展开.
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12.1.3 Matlab的帮助系统 熟悉Windows的用户都知道，每当用户不知道一个命令的
格式或函数的意义时，用户都可以寻求帮助.与其他科学计算 软件一样，Matlab也有自己非常完善的帮助系统.帮助导航浏 览器(Help Browser)为我们提供了方便快捷的帮助信息获取 途径以及图文并茂的帮助内容. 如果用户想了解某个函数的用 法及输入格式，就可以通过帮助导航浏览器(Help Browser) 来获得帮助. 同时Matlab还有演示性帮助栏，只要用户选择 了需要帮助的条目后，在右侧窗口就会以图形用户界面进行演 示帮助，而且还会给出相应的程序代码.
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12.1.2 Matlab的基本操作 1. Matlab初始化与桌面布局 在Windows 2000环境下，使用 Matlab安装盘，根据需要
选择并按照提示进行安装后，双击Matlab程序的图标，或在 程序菜单中单击Matlab程序既可以运行.运行后，出现如图 12-1所示窗口.
例12-10 计算
，其中，D是由直线y=2x，
y=x/2，y=12－x围成的闭区域.
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解 Matlab命令为 syms x，y； f=x^2/y^2；y1=2*x；y2=x/2；y3=12-x； ezplot(y1)；hode on；ezplot(y2)；hode on；
ezplot(y3，［-2，10］) A=int(int(f，y，x/2，2*x)，x，0，4)+int((int(f，
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4. 当前目录浏览器(Current Directory) 当前目录是指Matlab运行文件时的工作目录，只有在当 前目录或者搜索路径下的文件及函数才可以被运行或者调 用.Matlab默认的目录为安装目录下的work，为了便于文件和 数据的管理，最好设置自己的目录为当前目录。 当前目录浏 览器会显示该目录下的所有文件的文件名、类型和目录的修改 时间等. 5. 命令历史窗口(Command History) 命令历史窗口会保留自安装起所有命令的历史记录，并标 明此命令的使用时间，这方便了用户的查询.双击某一行命令， 即在命令窗口中执行该行命令.
第12章 Matlab初步
3. Matlab语言具有强大绘图功能 无论是数值计算，还是符号计算；无论计算是多么完美， 结果是多么准确，人们还是很难直接从大量的数据或者符号中 感受它们的具体含义. 大家更喜欢直接用眼睛看到直观的图形. 因此，对一个好的数学软件来说，为用户提供完整的可视化工 具至关重要.而Matlab软件恰恰做到了这一点,从最原始版本 的Matlab开始，图形功能就已经成为其基本的功能之一. 随 着Matlab版本的逐步升级，Matlab的图形工具箱从简单的点、 线、面处理发展到了集二维图形、三维图形、甚至四维图形和 对图形进行着色、消隐、光照处理、渲染和多视角处理等多项 功能于一体的强大功能包.
表 12-2
第12章 Matlab初步 3. 标点 在Matlab语言中，一些标点符号也被赋予了特殊的意义， 如表12-3所示.
表 12-3
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12.2 微积分在Matlab中的实现 12.2.1 函数、极限、导数与微分在Matlab中的实现
1. 一些基本符号运算函数 x = sym (‘x’)
3. 多元函数的极值 fminsearch(fun，x0)
功能：求多元函数fun在x0附近的极值点.
第12章 Matlab初步 4. 二重积分 现行数学软件中没有直接计算重积分的函数或命令，所以 仍用求定积分的命令来计算。 问题的关键是确定积分上下限 的问题.这时可以借助绘图命令画出积分区域，并依此确定积 分上下限.
y，x/2，12-x)，x，4，8)
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12.2.5 级数在Matlab中的实现 1. 常数项级数 Symsum(级数一般项.) 功能：对默认的变量求级数的和. Symsum(级数一般项，变量.) 功能：对指定的变量求级数的和. Symsum(级数一般项，起始值，终止值.) 功能：对默认的变量求级数从“起始值”到“终止值”的
limit(F，x，a，′right′)或limit(F，x，a，
′left′)
功能：计算符号函数F的单侧极限：左极限x→a- 或右极
限x→a +.
1
lim(1 3x) x
例12-1 计算极限 x0
.
解 Matlab命令为
syms x；
y=(1+3*x)^(1/x)；
limit(y，x，0)
ans=exp(3)
r=simple (M) 功能：对符号表达式M进行化简.
vpa (M) 功能：对符号表达式M计算其任意精度的数值. 2. 极限运算
limit(F，x，a) 功能：计算符号表达式F=F(x)的极限值，当x→a时.
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limit(F，x，inf)
功能：计算符号表达式F=F(x)的极限值，当x→∞时.
第12章 MatlabБайду номын сангаас步
4. 求函数的极值点 命令：fmin(fun，x1，x2). 功能：在区间［x1，x2］内求函数fun的极小值. 12.2.2 不定积分、定积分与广义积分在Matlab中的实现 1. 求不定积分运算
int(S) 功能：对符号表达式S中的符号变量v计算不定积分.
int(S，v) 功能：对符号表达式S中指定的符号变量v计算不定积分。 需要注意的是，表达式R只是函数S的一个原函数，后面没有带 任意常数C.