高考数学压轴专题最新备战高考《空间向量与立体几何》经典测试题及答案解析

新数学复习题《空间向量与立体几何》专题解析
一、选择题
1．已知正方体1111A B C D ABCD -的棱1AA 的中点为E ，AC 与BD 交于点O ，平面α过点E 且与直线1OC 垂直，若1AB =，则平面α截该正方体所得截面图形的面积为( ) A ．
64
B ．
62
C ．
32
D ．
34
【答案】A 【解析】 【分析】
根据正方体的垂直关系可得BD ⊥平面11ACC A ，进而1BD OC ⊥，可考虑平面BDE 是否为所求的平面，只需证明1OE OC ⊥即可确定平面α. 【详解】
如图所示，正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1AA 的中点，
1AB =，则2113122OC =+=，2113424OE =+=，2
119244
EC =+=，
∴22211OC OE EC +=，1OE OC ∴⊥；又BD ⊥平面11ACC A ，
1BD OC ∴⊥，且OE BD O =I ，1OC ∴⊥平面BDE ，
且1136
222BDE S BD OE ∆=
=⨯⨯=
g ， 即α截该正方体所得截面图形的面积为6
. 故选:A .
【点睛】
本题考查线面垂直的判定，考查三角形面积的计算，熟悉正方体中线面垂直关系是解题的关键，属于中档题.
2．如图，在底面边长为4，侧棱长为6的正四棱锥P ABCD -中，E 为侧棱PD 的中点，则异面直线PB 与CE 所成角的余弦值是（ ）
A ．
34 B ．
234
C ．
517
D ．
317
【答案】D 【解析】 【分析】
首先通过作平行的辅助线确定异面直线PB 与CE 所成角的平面角，在PCD ∆中利用余弦定理求出cos DPC ∠进而求出CE ，再在GFH ∆中利用余弦定理即可得解. 【详解】
如图，取PA 的中点F ，AB 的中点G ，BC 的中点H ，连接FG ，FH ，GH ，EF ，
则//EF CH ，EF CH =，从而四边形EFHC 是平行四边形，则//EC FH ， 且EC FH =.
因为F 是PA 的中点，G 是AB 的中点，
所以FG 为ABP ∆的中位线，所以//FG PB ，则GFH ∠是异面直线PB 与CE 所成的角.由题意可得3FG =，1
222
HG AC =
=. 在PCD ∆中，由余弦定理可得2223636167
cos 22669
PD PC CD DPC PD PC +-+-∠===⋅⨯⨯，
则2222cos 17CE PC PE PC PE DPC =+-⋅∠=，即17CE =
在GFH ∆中，由余弦定理可得222cos 2FG FH GH GFH FG FH +-∠=⋅317
172317
==
⨯⨯. 故选：D 【点睛】
本题考查异面直线所成的角，余弦定理解三角形，属于中档题.
3．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积等于（ ）
A ．
23
B ．
13
C ．
12
D ．
34
【答案】B 【解析】
分析：先还原几何体，再根据锥体体积公式求结果.
详解：几何体如图S-ABCD ，高为1，底面为平行四边形，所以四棱锥的体积等于
21111=33⨯⨯， 选B.
点睛：解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断求解.
4．在以下命题中：
①三个非零向量a r ，b r ，c r 不能构成空间的一个基底，则a r ，b r ，c r
共面；
②若两个非零向量a r ，b r 与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a r ，b r
共线； ③对空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，若222OP OA OB OC =--u u u r u u u r u u u u r u u u u r
，则P ，
A ，
B ，
C 四点共面
④若a r ，b r
是两个不共线的向量，且(,,,0)c a b R λμλμλμ=+∈≠r r r ，则{},,a b c r r r 构成空
间的一个基底
⑤若{}
,,a b c r r r 为空间的一个基底，则{}
,,a b b c c a +++r r r r r r
构成空间的另一个基底；
其中真命题的个数是（ ） A ．0 B ．1
C ．2
D ．3
【答案】D 【解析】 【分析】
根据空间向量的运算法则，逐一判断即可得到结论. 【详解】
①由空间基底的定义知，三个非零向量a r ，b r ，c r 不能构成空间的一个基底，则a r ，b r
，c r
共面，故①正确；
②由空间基底的定义知，若两个非零向量a r ，b r
与任何一个向量都不能构成空间的一个基
底，则a r ，b r
共线，故②正确；
③由22221--=-≠，根据共面向量定理知,,,P A B C 四点不共面，故③错误；
④由c a b λμ=+r r r ，当1λμ+=时，向量c r 与向量a r ，b r
构成的平面共面，则{}
,,a b c r r r 不
能构成空间的一个基底，故④错误；
⑤利用反证法：若{}
,,a b b c c a +++r r r r r r
不构成空间的一个基底， 设()()(
)1a b x b c x c a +=++-+r r r r r r ，整理得()1c xa x b =+-r r r ，即,,a b c r r r
共面，又因{}
,,a b c r r r 为空间的一个基底，所以{
}
,,a b b c c a +++r r r r r r
能构成空间的一个基底，故⑤正确.
综上：①②⑤正确. 故选：D. 【点睛】
本题考查空间向量基本运算，向量共面，向量共线等基础知识，以及空间基底的定义，共面向量的定义，属于基础题．
5．《九章算术》是中国古代的数学瑰宝，其第五卷商功中有如下问题：“今有羡除，下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺，问积几何？”翻译成现代汉语就是：今有三面皆为等腰梯形，其他两侧面为直角三角形的五面体的隧道，前端下宽6尺，上宽一丈，深3尺，末端宽8尺，无深，长7尺（注：一丈=十尺）．则该五面体的体积为（ ）
A ．66立方尺
B ．78立方尺
C ．84立方尺
D ．92立方尺
【答案】C 【解析】 【分析】
如图，在DC ，EF 上取G ，H ，使得DG EH AB ==，连接BG ，BH ，GH ，
CH ，
ADE BGH B CGHF V V V --=+，计算得到答案.
【详解】
如图，在DC ，EF 上取G ，H ，使得DG EH AB ==，连接BG ，BH ，GH ，
CH ，
故多面体的体积11
()7332
ADE BGH B CGHF V V V S AB CG HF --=+=⋅+⨯
+⨯⨯直截面 111
736(42)7384232=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=， 故选：C ．
【点睛】
本题考查了几何体体积的计算，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.
6．《九章算术》卷五商功中有如下问题：今有刍甍（音meng ，底面为矩形的屋脊状的几何体），下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何.已知该刍甍的三视图如图所示，则此刍甍的体积等于( )
A ．3
B ．5
C ．6
D ．12
【答案】B 【解析】 【分析】
首先由三视图还原几何体，再将刍甍分为三部分求解体积，最后计算求得刍甍的体积. 【详解】
由三视图换元为如图所示的几何体，该几何体分为三部分，中间一部分是直棱柱，两侧是
相同的三棱锥，
并且三棱锥的体积113113
⨯⨯⨯=， 中间棱柱的体积1
31232
V =
⨯⨯⨯= , 所以该刍甍的体积是1235⨯+=. 故选：B 【点睛】
本题考查组合体的体积，重点考查空间想象能力和计算能力，属于中档题型.
7．如图，网格纸是由边长为1的小正方形构成，若粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）
A ．920π+
B ．926π+
C ．520π+
D ．526π+
【答案】C 【解析】 【分析】
根据三视图还原为几何体，结合组合体的结构特征求解表面积. 【详解】
由三视图可知，该几何体可看作是半个圆柱和一个长方体的组合体，其中半圆柱的底面半圆半径为1，高为4，长方体的底面四边形相邻边长分别为1，2，高为4，所以该几何体的表面积2
1
12141222
S ππ=⨯+
⨯⨯⨯+⨯⨯14224520π+⨯⨯+⨯=+，故选C.
【点睛】
本题主要考查三视图的识别，利用三视图还原成几何体是求解关键，侧重考查直观想象和数学运算的核心素养.
8．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，且ABC ∆为等边三角形，2AP AB ==，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（ ） A ．
272
π B ．
283
π C ．
263
π D ．
252
π 【答案】B 【解析】 【分析】
计算出ABC ∆的外接圆半径r
，利用公式R =可得出外接球的半径，进而可
得出三棱锥P ABC -的外接球的表面积. 【详解】
ABC ∆
的外接圆半径为
32sin
3
AB r π
=
=
，
PA ⊥Q 底面ABC ，所以，三棱锥P ABC -
的外接球半径为
3R ===， 因此，三棱锥P ABC -
的外接球的表面积为2
2
284433R πππ⎛=⨯= ⎝⎭
. 故选：B. 【点睛】
本题考查三棱锥外接球表面积的计算，解题时要分析几何体的结构，选择合适的公式计算外接球的半径，考查计算能力，属于中等题.
9．已知平面α⊥平面β，l αβ=I ，a α⊂，b β⊂，则“a l ⊥”是“a b ⊥r r
”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】A 【解析】 【分析】
根据面面垂直的性质定理，以及充要条件的判定方法，即可作出判定，得到答案. 【详解】
由题意知，平面α⊥平面β，,,l a b αβαβ⋂=⊂⊂，
当a l ⊥时，利用面面垂直的性质定理，可得a b ⊥r r
成立，
反之当a b ⊥r r
时，此时a 与l 不一定是垂直的，
所以a l ⊥是a b ⊥r r
的充分不必要条件，故选A.
【点睛】
本题主要考查了充要条件的判定，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理与性质定理，以及充要条件的判定方法是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.
10．某四面体的三视图如图所示，正视图，俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，侧视图是边长为2的正方形，则此四面体的四个面中面积最大的为（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．26【答案】B 【解析】
解：如图所示，该几何体是棱长为2的正方体中的三棱锥P ABC - ， 其中面积最大的面为：1
232232
PAC S V =⨯= 本题选择B 选项.
点睛：三视图的长度特征：“长对正、宽相等，高平齐”，即正视图和侧视图一样高、正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽．若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法．
11．在ABC ∆中，设BAC α∠=，CA 与CB 所成的角是β，绕直线AC 将AB 旋转至
AB '，则在所有旋转过程中，关于AB '与BC 所成的角γ的说法正确的是( )
A ．当4παβ-≥时，[],γαβαβ∈-+
B ．当4π
αβ-<-时，[],γβααβ∈-+
C ．当4παβ+≥时，[],γαβαβ∈-+
D ．当4π
αβ+<时，,γαβαβ∈⎡-+⎤⎣⎦ 【答案】D 【解析】 【分析】
首先理解异面直线所成的角的范围是0,
2πγ⎛⎤
∈ ⎥⎝
⎦
，排除选项A,B,C,对于D 可根据
AB 绕AC 旋转，形成以AC 为轴的圆锥，AB '是母线，再将异面直线所成的角，转化为
相交直线所成的角，判断最大值和最小值. 【详解】
因为γ
是异面直线所成的角，所以0,2πγ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦
A.当4
π
αβ-≥
时，αβ+的范围有可能超过
2
π，比如，3,46ππ
αβ==，所以不正确；
B.当4
π
αβ-<-时，当3,46
ππ
βα=
=，此时[],γβααβ∈-+，也不正确； C.当4
π
αβ+≥，当3,46
ππ
αβ=
=，此时[],γαβαβ∈-+，故也不正确； D. 4
π
αβ+<
时，AB 绕AC 旋转，形成以AC 为轴的圆锥，AB '是母线，如图，
过点A 作BC 的平行线AD ，且CAD β∠=，'AB 与BC 所成的角γ转化为AB '与AD 所成的角，由图象可知，当AB '是AB 时，角最大，为αβ+，当AB '在平面ABC 内时，不与AB 重合时，角最小，此时为αβ-
故选：D 【点睛】
本题考查异面直线所成的角，重点考查轨迹，数形结合分析问题的能力，属于中档题型，本题的关键是判断，并画出AB 绕AC 旋转，形成以AC 为轴的圆锥.
12．设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，给出下列四个命题： ①若m α⊥，//n α，则m n ⊥； ②若//αβ，m α⊥，则m β⊥； ③若//m α，//n α，则//m n ； ④若m α⊥，αβ⊥，则//m β. 其中真命题的序号为（ ） A ．①和② B ．②和③
C ．③和④
D ．①和④
【答案】A 【解析】 【分析】
逐一分析命题①②③④的正误，可得出合适的选项. 【详解】
对于命题①，若//n α，过直线n 作平面β，使得a αβ⋂=，则//a n ，m α⊥Q ，
a α⊂，m a ∴⊥，m n ∴⊥，命题①正确；
对于命题②，对于命题②，若//αβ，m α⊥，则m β⊥，命题②正确；
对于命题③，若//m α，//n α，则m 与n 相交、平行或异面，命题③错误；
对于命题④，若m α⊥，αβ⊥，则m β⊂或//m β，命题④错误.
故选：A.
【点睛】
本题考查有关线面、面面位置关系的判断，考查推理能力，属于中等题.
13．已知三棱锥P ABC -中，PA PB PC ==，APB BPC CPA ∠>>∠，PO ⊥平面ABC 于O ，设二面角P AB O --，P BC O --，P CA O --分别为,,αβγ，则（ ） A ．αβγ>>
B ．γβα>>
C ．βαγ>>
D ．不确定
【答案】A
【解析】
【分析】 D 为AB 中点，连接,DP DO ，故PD AB ⊥，计算sin cos 2
PO
APB a α=∠，sin cos 2PO CPB a β=∠，sin cos 2
PO CPA a γ=∠，得到大小关系. 【详解】
如图所示：设PA PB PC a ===，D 为AB 中点，连接,DP DO ，故PD AB ⊥， PO ⊥平面ABC ，故PDO ∠为二面角P AB O --的平面角.
cos 2APB PD a ∠=，sin cos 2
PO PO APB PD a α==∠， 同理可得： sin cos 2PO CPB a β=
∠，sin cos 2
PO CPA a γ=∠， APB BPC CPA ∠>∠>∠，故sin sin sin αβγ>>，故αβγ>>. 故选：A .
【点睛】
本题考查了二面角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.
14．如下图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E F 、分别为棱1BB ，1CC 的中点，点O 为上底面的中心，过E F O 、、三点的平面把正方体分为两部分，其中含1A 的部分为1V ，不含1A 的部分为2V ，连接1A 和2V 的任一点M ，设1A M 与平面1111D C B A 所成角为α，则sin α的最大值为（ ）．
A ．22
B 25
C 26
D 26 【答案】B
【解析】
【分析】
连接EF ，可证平行四边形EFGH 为截面，由题意可找到1A M 与平面1111D C B A 所成的角，进而得到sinα的最大值.
【详解】
连接EF ，因为EF//面ABCD,所以过EFO 的平面与平面ABCD 的交线一定是过点O 且与EF 平行的直线，过点O 作GH//BC 交CD 于点G,交AB 于H 点，则GH//EF,连接EH ，FG,则平行四
边形EFGH 为截面，则五棱柱1111A B EHA D C FGD -为1V ，三棱柱EBH-FCG 为2V ，设M 点为2V 的任一点，过M 点作底面1111D C B A 的垂线，垂足为N ，连接1A N ,则1MA N ∠即为1A M 与平面1111D C B A 所成的角，所以1MA N ∠=α，因为sinα=1MN
A M
,要使α的正弦最大，必须MN 最大，1A M 最小，当点M 与点H 重合时符合题意，故sinα的最大值为11=MN HN A M A H
=25, 故选B
【点睛】
本题考查空间中的平行关系与平面公理的应用，考查线面角的求法，属于中档题.
15．古代数学名著《张丘建算经》中有如下问题：“今有仓，东西袤一丈二尺，南北广七尺，南壁高九尺，北壁高八尺，问受粟几何？”.题目的意思是：“有一粮仓的三视图如图所示（单位：尺），问能储存多少粟米？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，估算粮仓可以储存的粟米约有（取整数）（ ）
A ．441斛
B ．431斛
C ．426斛
D ．412斛
【答案】A
【解析】
【分析】 由三视图可知：上面是一个横放的三棱柱，下面是一个长方体．由体积计算公式即可得出．
【详解】
解：由三视图可知：上面是一个横放的三棱柱，下面是一个长方体．
∴体积1
171278127142V =⨯⨯⨯+⨯⨯=，
∴粮仓可以储存的粟米
7144411.62
=≈斛．
故选：A ．
16．圆锥SD （其中S 为顶点，D 为底面圆心）的侧面积与底面积的比是2:1，则圆锥SD 与它外接球（即顶点在球面上且底面圆周也在球面上）的体积比为（ ）
A ．9:32
B ．8:27
C ．9:22
D ．9:28
【答案】A
【解析】
【分析】
根据已知条件求得圆锥母线与底面圆半径r 的关系，从而得到圆锥的高与r 关系，计算圆锥体积，由截面图得到外接球的半径R 与r 间的关系，计算球的体积，作比即可得到答案.
【详解】
设圆锥底面圆的半径为r,圆锥母线长为l ，则侧面积为πrl ，
侧面积与底面积的比为
2πrl 2l r r π==,则母线l=2r,圆锥的高为223l r r -=, 则圆锥的体积为2313πh 33
r r =, 设外接球的球心为O,半径为R,截面图如图，则3r R -,BD=r, 在直角三角形BOD 中，由勾股定理得222OB OD BD =+,即)2
223R r r R =+-, 展开整理得,3所以外接球的体积为3
3344333393
R ππ==, 故所求体积比为3339332
93
r = 故选：A
【点睛】
本题考查圆锥与球的体积公式的应用，考查学生计算能力，属于中档题.
17．等腰三角形ABC 的腰5AB AC ==，6BC =，将它沿高AD 翻折，使二面角B AD C --成60︒，此时四面体ABCD 外接球的体积为（ ）
A ．7π
B ．28π
C ．1919π
D ．287π 【答案】D
【解析】
分析：
详解：由题意，设BCD ∆所在的小圆为1O ，半径为r ，
又因为二面角B AD C --为060，即060BDC ∠=，所以BCD ∆为边长为3的等边三角形， 又正弦定理可得，0
3223sin 60r =
=，即23BE =， 设球的半径为R ，且4=AD ， 在直角ADE ∆中，()22222244(23)28R AD DE R =+⇒=+=，
所以7R =，所以球的体积为3344287(7)33V R πππ==⨯=，故选D ．
点睛：本题考查了有关球的组合体问题，以及三棱锥的体积的求法，解答时要认真审题，注意球的性质的合理运用，求解球的组合体问题常用方法有（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径.
18．已知直线和不同的平面，下列命题中正确的是
A ．//m m αβαβ⊥⎫⇒⎬⊥⎭
B ．m m αββα⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭
C ．//////m m ααββ⎫⇒⎬⎭
D ．////m m αββα⎫⇒⎬⊂⎭
【答案】D
【解析】
【分析】
对各个选项逐一进行分析即可
【详解】 A ，若αβ⊥，m β⊥，则有可能m α⊂，故A 错误
B ，若αβ⊥，m α⊂，则m 与β不一定垂直，可能相交或平行，故B 错误
C ，若//m α，//m β则推不出//αβ，面面平行需要在一个面内找出两条相交线与另一个平面平行，故C 错误
D ，若//αβ，m α⊂，则有//m β，故D 正确
故选D
【点睛】
本题考查了线面平行与面面平行的判断和性质，在对其判定时需要运用其平行的判定定理或者性质定理，所以要对课本知识掌握牢固，从而判断结果
19．由两个14
圆柱组合而成的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A ．π3
B ．π2
C ．π
D ．2π
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意可知，圆柱的底面半径为1，高为2，利用圆柱的体积公式即可求出结果。

【详解】 由三视图可知圆柱的底面半径为1，高为2，
则21122
V ππ=
⋅⨯=， 故答案选C 。

【点睛】
本题主要考查根据几何体的三视图求体积问题，考查学生的空间想象能力。

20．设,αβ是两个不同的平面，,l m 是两条不同的直线，且l α⊂，m β⊂，则（ ） A ．若//αβ，则//l m
B ．若//m a ，则//αβ
C ．若m α⊥，则αβ⊥
D ．若αβ⊥，则//l m
【答案】C
【解析】
【分析】
根据空间线线、线面、面面的位置关系，对选项进行逐一判断可得答案.
【详解】
A. 若//αβ，则l 与m 可能平行，可能异面，所以A 不正确.
B. 若//m a ，则α与β可能平行，可能相交，所以B 不正确.
C. 若m α⊥，由m β⊂，根据面面垂直的判定定理可得αβ⊥，所以C 正确. D 若αβ⊥，且l α⊂，m β⊂，则l 与m 可能平行，可能异面，可能相交, 所以D 不正确.
【点睛】
本题考查空间线线、线面、面面的位置判断定理和性质定理，考查空间想象能力，属于基础题.。