北京交通大学高等数学B期末考试试卷(B卷及其答案

北京交通大学高等数学B 期末考试试卷(B 卷及其
答案
1999-2000学年第二学期高等数学B （Ⅱ）期末考试试卷（B 卷）答案
一．填空题（本题满分15分，每道小题3分），请将合适的答案填在空中． 1．函数 y x z -=
的定义域为 ________________________．
2．设二元函数()y x z z ，=由方程()0ln 22=+-xyz xyz xz 所确定，则=∂∂x
z
_____________．
3．交换累次积分的顺序()()=+⎰⎰⎰
⎰--4
1
2
1
x
x x
x
dy y x f dx dy y x f dx
，，_____________．
4．若0>a ，0>b ，则级数()()()()()()∑∞
=++++++1
11211121n nb b b na a a 在 __________ 时发散．
5．设方程()x f y y y =-'-''32有特解*y ，则它的通解为________________．
答案：
⒈ y x ≥，0≥y ； ⒉ x
z
-； ⒊
()⎰⎰-+21
2
2
y y dx y x f dy ，；
⒋
1≥b
a
； ⒌ *321y e C e C y x x ++=-． 二．选择填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分）。

以下每道题有四个答案，其中只有一个答案是正确的，请选出合适的答案填在空中，多选无效．
1．曲线Γ：⎩⎨⎧=++=++0
6
222z y x z y x 在点()121
，，-处的切线一定平行于_____ ． （A ）．xOy 平面； （B ）．yOz 平面； （C ）．zOx 平面； （D ）．平面0=++z y x ．
2．已知L ：()()
⎩⎨⎧==t y t x ψϕ ()βα≤≤t 是一连接()αA 、()βB 两点的有向光滑曲线段，其中始点为()βB ，终点为()αA ，则()=⎰L
dx y x f ， _________ ．
（A ）．
()()[]⎰βαψϕdt t t f ，； （B ）．()()[]⎰α
βψϕdt t t f ，； （C ）．
()()[]()⎰'β
αϕψϕdt t t t f ，； （D ）．()()[]()⎰'α
β
ϕψϕdt t t t f ，． 3．设k x j z i y A
++=，则=A rot ______________ ．
（A ）．k j i ++ ； （B ）．()
k j i ++- ； （C ）．k j i +-； （D ）．k j i
-- ．
4．函数()⎰=
x
dt t t
x f 0
sin 在0=x 处的幂级数展开式为___________ ． （A ）．()()()
∑∞
=++--01212!121n n n
x n n ()+∞<<∞-x ；
（B ）．()()()
∑∞
=++--01212!121n n n x n n ()+∞<<<<∞-x x 00，
； （C ）．()()()
∑∞
=+++-01212!121n n n x n n ()+∞<<∞-x ；
（D ）．()()()
∑∞
=+++-01212!121n n n x n n ()+∞<<<<∞-x x 00，
． 5．设()x y 1与()x y 2是方程()()0=+'+''y x Q y x P y 的_________，则()()x y C x y C y 2211+=（1C 与2C 为任意常数）是该方程的通解．
（A ）．两个不同的解 ； （B ）．任意两个解； （C ）．两个线性无关的解 ； （D ）．两个线性相关的解． 答案： ⒈ （D ）； ⒉ （D ）； ⒊ （B ）； ⒋ （C ）； ⒌ （C ）． 三．（本题满分7分）
设()xy y x f z ，+=，其中函数f 具有二阶连续的偏导数，求y
x z ∂∂∂2．
解：
21f y f x z
'+'=∂∂ ……3 因此，
2221212112f xy f y f f x f y
x z
''+''+'+''+''=∂∂∂ ()2221211
f f xy f y x f '+''+''++''= (7)
四．（本题满分7分） 运算
⎰⎰
++--D
dxdy y
x y x 2
22
211 ，其中D 是由圆周122=+y x 及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域． 解：
作极坐标变换 θθsin cos r y r x ==， 则有
⎰⎰⎰⎰
+-=++--1
2
2
2
022221111rdr r r d dxdy y x y x D
π
θ (2)
⎰
--=1
4
2112rdr r
r π
⎪⎪⎭⎫
⎝⎛---=
⎰
⎰1
4
3
104112dr r r dr r
r
π ()
()
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--+-=
⎰⎰1
04
41
24
111
4111
212r d r r d r π ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-+=1
04102
121
arcsin 2
1
2r r π ……5 ()28
-=
ππ
(7)
五．（本题满分8分）
证明：曲面3
a xyz =（0≠a 为常数）上任意点处的切平面与三个坐标面所形成的四面体的体积为常数 ． 解：
令 ()3
a xyz z y x F -=，， (2)
则yz F x =' ，xz F y =' ，xy F z ='
设()000z y x ，，为曲面3
a xyz =上的任意一点，则在该点处的切平面方程为
()()()0000000000=-+-+-z z y x y y z x x x z y (4)
化为截距式，有
13330
00=++z z y y x x 因此，所求四面体的体积为
30000002
9
2933361a z y x z y x V ==⋅⋅=
……8 即所求体积为常数 ．
六．（本题满分8分）
求微分方程 ()x y y dx
dy
x
ln ln -= 的通解． 解： 原方程化为
x
y x y dx dy ln =， 这是一个齐次方程，令ux y =，则dx du x u dx dy +=，代入原方程，得 u u dx
du
x u ln =+ (3)
分离变量，得()x
dx
u u du =-1ln
积分，得()C x u ln ln 1ln ln +=-，
即
Cx u =-1ln (6)
代回原变量，得 1+=Cx e x
y
，
因此所求通解为 1
+=Cx xe y (8)
七．（本题满分8分） 求函数
()⎪⎩
⎪⎨⎧=+≠++=0002222242y x y x y
x y
x y x f ， 的全微分，并研究在点()00，处该函数的全微分是否存在？
解：
当()()00，，≠y x 时， ……3 dy y
f dx x f dz ∂∂+∂∂=
(
)(
)
()
2
24
226422y
x
dy
y x x dx x y xy +-+-=
(3)
在原点()00，处，
()()()00
lim 0000lim 0000=∆=∆-∆+='→∆→∆x x
f x f f x x x ，，，
()()()00
lim 0000lim
0000=∆=∆-∆+='→∆→∆y
y f y f f y y y ，，， ()()()()()()2
42
0000y x y x f y x f z ∆+∆∆∆=-∆+∆+=∆，，， ()()2
2y x ∆+∆=ρ
则有 ()()()()()()()()2
2242
001
lim 0000lim
y x y x y x y f x f z y x ∆+∆⋅∆+∆∆∆=∆'-∆'-∆→→ρρρ，， ，
令x y ∆=∆，则有 ()()()()()∞=∆⋅⋅
∆+∆∆=∆'-∆'-∆→∆→∆x
x x x y
f x f z x y x x 21
lim 0000lim
2
4300
ρ
，， 因此，函数()y x f ，在点()00，处不可微． (8)
八．（本题满分8分） 求三重积分
()
⎰⎰⎰Ω
++=dxdydz z y x I 22
其中Ω是由曲线⎩⎨⎧==0
22x z
y 绕z 轴旋转一周所成的曲面与平面4=z 所围成的立体．
解：
作柱坐标变换z z r y r x ===，，θθsin cos ， ……1 则有 ()
()
⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=++=
Ω
4
2
280
20
2
2
2r dz z r dr d dxdydz z y x
I πθ (4)
⎰⎪⎭⎫ ⎝
⎛-+=8
053
85842dr r r r π π3
256= (8)
九．（本题满分8分）
求幂级数∑∞
=1
!n n n
n x n 的收敛域（端点情形要讨论）．
解： 设n n n
n a !=
， 则 ()()!1!1lim lim 11n n n n a a n
n n n
n n ⋅++=+∞→+∞→
e n n n 1111lim =⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=∞→， 因此，收敛半径为e R =， (4)
当e x =时，级数为∑∞
=1
!n n n
n e n
而
()()111!1!111>⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=
⋅++++n
n
n
n n n e e n n n e n
因此， 0!lim
≠→∞n
n
n n e n
因此，级数∑∞
=1!n n n
n
e n 发散． (6)
同理，当e x -=时，级数()∑∞
=-1
!1n n n
n
n e n 也发散． (7)
因此幂级数∑∞
=1
!n n n
n x n 的收敛区间为()e e ，- ． (8)
十．（本题满分8分）
设()1=πϕ，试确定函数()u ϕ，使得曲线积分
()[]()⎰
+-L
dy x dx x
y x x ϕϕsin 在0>x 或在0<x 的域内与路径无关，并求由点()01，A 到()ππ，B 的上述积分 ．
解：
因为()[]x y
x x P ϕ-=sin ， ()x Q ϕ= 由于曲线积分()[]()⎰+-L
dy x dx x y
x x ϕϕsin 在0>x 或在0<x 的域内与路径无关，因
此
()[]()x x
Q
x x x y P ϕϕ'=∂∂=-=∂∂sin 因此得微分方程 ()()x x
x x x sin 1=+'ϕϕ
解此方程，得通解 ()x
x
C x cos -=ϕ (4)
代入()1=πϕ，得1-=πC
因此，所求函数为()x
x
x cos 1--=πϕ (5)
又()[]()()
()
⎰+-ππϕϕ，，01sin dy x dx x y
x x
()[]()()()()[]()()
()
⎰⎰+-++-=ππππϕϕϕϕ，，，，0001sin sin dy x dx x y
x x dy x dx x y x x
πππ
ππ
=--+=⎰
cos 10dy (8)
十一．（本题满分8分）
利用Gauss （高斯）公式运算曲面积分
()()()
⎰⎰+
∑
-+-+-dxdy xy z dzdx zx y dydz yz x
222
，
其中+
∑为球面()()()22
2
2
R c z b y a x =-+-+-的外侧． 解：
yz x P -=2，zx y Q -=2，xy z R -=2
因此，
()z y x z
R y Q x P ++=∂∂+∂∂+∂∂2 因此，由Gauss 公式，得 (
)()()
⎰⎰+
∑
-+-+-dxdy xy z dzdx zx y dydz yz x 222
()⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω
Ω++=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂dxdydz z y x dxdydz z R y Q x P 2
其
中
Ω
为
空
间
区域
()()()()
{
}
22
2
2
R c z b y a x z y x ≤-+-+-=Ω：，， (4)
而()()()(){
}
22
2
2
R c z b y a x z y x ≤-+-+-=Ω：，，的重心为()c b a ，，，又设Ω
的体积为V ，则 ⎰⎰⎰Ω
=xdxdydz V
a 1，⎰⎰⎰Ω
=
ydxdydz V
b 1，⎰⎰⎰Ω
=
zdxdydz V
c 1
因此，
()()()
⎰⎰+
∑-+-+-dxdy xy z dzdx zx y dydz yz x
222
()⎰⎰⎰Ω
++=dxdydz z y x 2
⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛
++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩΩxdxdydz ydxdydz xdxdydz 2 ()cV bV aV ++=2
()c b a R ++=33
8
π ． (8)。