初三数学：解直角三角形

解直角三角形

知识要点：

1、 锐角三角函数：正弦、余弦、正切、余切

sin A =斜边的对边A ∠, cos A =斜边的邻边

A ∠,

tan A =的邻边的对边A A ∠∠, cot A = 的对边

的邻边

A A ∠∠

(1)平方关系：1cos sin 2

2=+A A ； (2)倒数关系：1cotA tanA =⋅； (3)商的关系：tanA=

A

A

cos sin (4)互余两角的正余弦、正余切关系：

如果ο

90=∠+∠B A ，那么B A A cos )90cos(sin =-=ο

；tanA=cot （90°-A ）=cotB

2、 解直角三角形

3、 解直角三角形的应用：坡度问题、测量问题、航海问题 关键是把实际问题转化为数学问题来解决 (构造直角三角形) 几个专用名词：俯角、仰角、坡角、坡度（或坡比）、方向角 一：转化思想在解直角三角形中的应用

转化的思想在数学中应用十分广泛，在不含直角三角形的图形中（如斜三角形、梯形等），我们应通过作适当的垂线构造直角三角形，从而转化为解直角三角形问题，希望同学们在不断地学习中总结这种添加垂线的技巧例1. 在△ABC 中，已知AB=6，∠B=45°，∠C=60°，求AC 、BC 的长．

已知条件

解法

一边及 一锐角

直角边a 及锐角A B ＝90°-A ，b ＝a·tanA，c=

sin a A

斜边c 及锐角A B ＝90°-A ，a ＝c·sinA，b ＝c·cosA

两边

两条直角边a 和b

，B ＝90°-A ，

直角边a 和斜边c

sinA=

a

c

，B ＝90°-A ，

例2. 如图所示，△ABC中，∠BAC=120°，AB=5，AC=3，求sinB·sinC的值．

例3．如图，在ΔABC中，∠C=90°，∠A的平分线交BC于D，则

CD

AC

AB-

等于（）．

A .sin A B. cos A C . tan A D . cot A

例4．如图所示，在ΔABC中，∠B=60°，且∠B所对的边b=1，AB+BC=2，求AB的值．

例5．已知：在ΔABC中，∠B=60°，∠C=45°，BC=5，求ΔABC的面积．

例6．如图，ΔABC中，∠A=90°，AB=AC，D是AC上的一点，且AD∶DC=1∶3，求tan∠DBC的值．

二：可解的非直角三角形的类型与解法

解这类三角形一般都需要三个条件，它的解题思路是：作垂线，构造含特殊角的直角三角形来解决，下面分类举例说明，供同学们参考．

一、“SSS”型：例1．已知：如图１，BC=2，AC=6，AB=31

+，求△ABC各内角的度数．

B

A D

C

图1

二、

“SAS ”型：例2．已知：如图，△ABC 中，∠A=1500，AB=5，AC=4，求△ABC 的面积

三、“AAS ”型：例3．已知：如图3，△ABC 中，∠C=600，∠A=750，BC=33+， 求AB 、AC 的长． 四、“ASA ”型：例4．已知等腰∆ABC 的底边长为2，底角为75°，求腰长．

五、其他类型：例5．已知：如图，△ABC 中，∠B=600，AB=5，sinC=

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，求AC 和BC 的长．

相关强化练习：1．等腰三角形底边为20，面积为3

100

3，求各角的大小．

2．如图，四边形BCDG 为矩形，∠ABG=45°，GB=20，BC=4，tanE=3，求EC 的长度．

3．已知：如图，在△ABC 中，BC=6，AC=63，∠A=30°，求AB 的长．

C

B

D

A B

A C D

图2 A

C

D 图4

B

A C

D

图5

例题： 如图23，ABCD 为正方形，E 为BC 上一点，将正方形折叠，使A 点与E 点重合，折痕为MN ，若

10,3

1

tan =+=∠CE DC AEN 。

（1）求△ANE 的面积；（2）求sin ∠ENB 的值。

例题：由于过度采伐森林和破坏植被，使我国许多地区遭受沙尖暴侵袭。近日A 市气象局测得沙尘暴中心在A 市正西300公里的B 处以107海里/时的速度向南偏东60ο

的BF 方向移动，距沙尘暴中心200公里的范围是受沙尘暴影响的区域。

（1）通过计算说明A 市是否受到本次沙尘暴的影响？

（2）若A 市受沙尘暴影响，求A 市受沙尘暴影响的时间有多长？

例题：△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，已知关于x 的方程084)4(2

=+++-c x c x 。

1、 若a 、b 是方程的两根，求证∠C ＝90°。

2、 若在题1的这个直角三角形中，25·a ·sinA ＝9·c ，求a 、b 、c 。

专题训练：

一. 选择题：

1. 在△EFG 中，∠G=90°，EG=6，EF=10，则cotE=（ ）

A.43

B. 3

4

C. 53

D. 35

2. 在△ABC 中，∠A=105°，∠B=45°，tanC 的值是（ ）

A.

21 B. 3

3 C. 1 D. 3 3. 在△ABC 中，若2

2cos =A ，3tan =B

，则这个三角形一定是（ ）

A. 锐角三角形

B. 直角三角形

C. 钝角三角形

D. 等腰三角形

4. 如图18，在△EFG 中，∠EFG=90°，FH ⊥EG ，下面等式中，错误的是（ ） A.EG

EF G =sin B. EF

EH G =sin

C. FG

GH G =sin D. FG

FH G =sin

5. sin65°与cos26°之间的关系为（ ）

A. sin65°

B. sin65°>cos26°

C. sin65°=cos26°

D. sin65°+cos26°=1 6. 已知30°<α<60°，下列各式正确的是（ ）

A.

B.

C. D.

7. 在△ABC 中，∠C=90°，5

2

sin =

A ，则sin

B 的值是（ ） A.32 B.52 C.5

4

D. 5

21 8. 若平行四边形相邻两边的长分别为10和15，它们的夹角为60°，则平行四边形的面积是（ ）米2

A. 150

B.375

C. 9

D. 7

9. 如图19，铁路路基横断面为一个等腰梯形，若腰的坡度为i=2∶3，顶宽是3米，路基高是4米，则路基的下底宽是（ ）

A. 7米

B. 9米

C. 12米

D. 15米 10. 如图20，两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起，且它们的交角为α，则它们重叠部分（图中阻影部分）的面积为（ ） A.

α

sin 1 B.

α

cos 1 C.

αsin D. 1

二. 填空题：