丰城中学 高安二中联考试题

丰城中学、高安二中2012届高三第二次月考
数学试题（理）2011.10
命题人： 张勇刚 审题人：熊芳升
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。

1、 若集合{}21
|21|3,0,3x A x x B x
x ⎧
+⎫=-<=<⎨⎬-⎩⎭
则A ∩B 是 ( ）
A ．1
1232x x x ⎧⎫
-<<-
<<⎨⎬⎩⎭或 B ． {
}23x x << C ．122
x x ⎧⎫
-<<⎨⎬
⎩
⎭ D ．112x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩
⎭
2、已知|a |=6，|b |=4，则（a –2b ）·（a
+3b
）= –72，a
与b
的夹角为 （ ）
A ．030
B ． 0
60
C ． 0
90 D ． 0
120
3、 若命题“存在x ∈R,使01)1(2
<+-+x a x ”是假命题，则实数a 的取值范围为（ ） A ．13a ≤≤ B ．11a -≤≤ C ．33a -≤≤ D ．13a -≤≤ 4、函数5123223+--=x x x y 在[0，3]上的最大值，最小值分别是 （ ） A ．5，-4 B ．5，-15 C ．-4，-15 D ．5，-16 5、若对任意角θ，都有
cos sin 1a
b
θθ+=，则下列不等式恒成立的是（ ）
A.221a b +≤
B.221a b +≥
C.
2
2
111a
b
+
≤ D.
2
2
111a
b
+
≥
6、已知等比数列{a n }的公比q <0，其前n 项和为S n ，则a 9S 8与a 8S 9的大小关系是（ ）
A ．a 9S 8>a 8S 9
B ．a 9S 8<a 8S 9
C ．a 9S 8＝a 8S 9
D ．a 9S 8与a 8S 9的大小关系与a 1的值有关 7、若函数f (x )＝x － p x ＋p
2在(1，＋∞)上是增函数，则实数p 的取值范围是 （ ）
A ．[－1，＋∞)
B ．[1，＋∞)
C ．(－∞，－1]
D ．(－∞，1]
8、已知)(x f 是R 上的偶函数，若将)(x f 的图象向右平移一个单位，则得到一个奇函数的
图象，若(),12-=f 则()()()()=++++2011321f f f f （ ） A ．0 B ．1 C ．-1 D ．-1004.5
9、已知函数)(x f y =的定义域为R ，当0x <时，()1f x >， 且对任意的实数R y x ∈,，等式
()()f x f y =()f x y +成立，
若数列{}n a 满足1(0)a f =，且*
1
1()()
(2)n n
f a n N f a +=∈--，则2011
a 的值为（ ）
（A ）4017 （B ）4018
（C ）4019 （D ）4021
()个
有
则满足条件的函数
且外接圆圆心为
的
若定义函数已知集合、)(),(,)),3(,3()),2(,2()),1(,.1(,:}321{}321{10x f R DB DC DA D ABC f C f B f A N M f ，，，，N
，，M ∈=+∆→==→
→
→
λλ
A.6个
B.10个
C.12个 D 14个
第Ⅱ卷
二、
填空题：本大题共5小题，每小题5分,共25分。

11、 已知x 、y 满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≤+≤≥10221y x y x x ，则2z x y =-的最小值为 .
12、 在△ABC 中，点D 在A B 上，C D 平分A C B ∠．若a CB =，b CA =，1a =，2b =，
则=CD __________ .
13、 已知函数()()f x sinx cos x t =++为偶函数，且t 满足不等式2
3400t t --<，则t 的值
为_____________.
14、若函数2
()l o g (3)(01)a f x x
a x a a =-+>≠且，满
足对任意的1x 、2x ，
时，
0)()(21>-x f x f ，则实数a 的取值范围为__________
15、给出下列五个命题：
①命题2",0"x x ∀∈≥R 的否定是2",0"x x ∃∈≤R ； ②若等差数列{}n a 前n 项和为n S ，则三点10100110(10,
),(100,
),(110,
)10
100
110
S S S 共线；
③),0(,)1()(,342
+∞⋅-=∈∃+-且在是幂函数使m m x m x f R m 上单调递减；
④在A B C ∆中，若cos(2)2sin sin 0,B C A b ++=则A B C ∆一定是等腰三角形。

⑤函数11x x a --+≤||||||恒成立，则实数a 的取值范围是[2,)+∞。

其中假命题．．．
的序号是 。

(填上所有假命题的序号) 三，解答题：本大题共75分。

其中(16)～(19)每小题12分,(20)题13分,(21)题14分.解答应写出文字说明，正明过程和演算步骤
16、 （本小题满分12分）已知命题P 函数log (12)a y x =-在定义域上单调递增； 命题Q 不等式2(2)2(2)40a x a x -+--<对任意实数x 恒成立 若Q P ∨是真命题，求实数a 的取值范围
17、（本小题满分12分）锐角三角形ABC 三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且满足
.12cos sin 2sin 2sin 2
=++B B B B
（1）求B ∠的值； （2）若b=3，求a+c 的最大值。

18、（本小题满分12分）已知函数
)2lg()(-+
=x
a x x f ，其中a
是大于0的常数
（1） 求函数)(x f 的定义域；
（2） 当)4,1(∈a 时，求函数)(x f 在[2，)+∞上的最小值； （3） 若对任意),2[+∞∈x 恒有0)(>x f ，试确定a 的取值范围
19、 （本小题满分12分）在∆ABC 中，a .b .c 分别为角A .B .C 的对边，且：2222
(a +b )sin(A-B)=(a -b )sin C.
（1）若a =3、b =4，求||C A C B +
的值.
（2）若∠C =60°, ∆ABC 求AB BC BC CA CA AB ⋅+⋅+⋅
的值.
20、（本小题满分13分）已知函数32()f x x bx cx d =+++(,,b c d R ∈且都为常数)的导函数
2()34f x x x '=+，且f (1)=7，设2
()()F x f x ax =-． (1)当a <2时，求()F x 的极小值；
(2)若对任意[0,)x ∈+∞都有()0F x ≥成立，求a 的取值范围；
21、 （本小题满分14分）已知{}n a 是递增数列，其前n 项和为n S ，11a >，且
10(21)(2n n n
S a a =++，
*n ∈N ． （1）求数列{}n a 的通项n a ；
（2）是否存在*, , m n k N ∈，使得2()m n k a a a +=成立？若存在，写出一组符合条件的,,m n k 的值；若不存在，请说明理由；
（3）设3
2
n n
n b a -=-，2(3)51n n n a c n +=-，若对于任意的*n ∈N ，不等式
1
2
10
11131(1)(1)(1)n
m
b b b -
+
+
+
≤
恒成立，求正整数m 的最大值．
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数学答题卡（理科）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分）
（本大题共有5小题，每小题5分共25分．把答案填在题中横线上）
11． 12． 13．
14． 15.
三、解答题：(本大题共6小题，共75分，解答写在对应框内。

)
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数学试题（理）参考答案
11、-6 12、 2
133
a b + 13、
32
π-
或
2
π
或
52
π 14、 (1, 15、 ①④
16、解∵命题P 函数log (12)a y x =-在定义域上单调递增；
∴10<<a ……………………………………………………………………（3分） 又∵命题Q 不等式2(2)2(2)40a x a x -+--<对任意实数x 恒成立；
∴2=a ………………………………………………………………………（5分）
或⎩⎨
⎧
<-+-=∆<-0
)2(16)2(40
22
a a a ， ………………………………………（8分）
即22≤<-a ……………………………………………………………（9分） ∵Q P ∨是真命题，∴a 的取值范围是22≤<-a ………………………（12分） 17、解：（1）,12cos sin 2sin 2sin 2=++B B B B ,0sin 2cos sin 2cos sin 42222=-+∴B B B B B
即.0)1)(cos 1cos 2(sin 22=+-B B B
又ABC ∆为锐角三角形，.3
,01cos 2π
=∠=-∴B B 即 ……………………………（6分）
（2）由（1）知,3
π
=
∠B
2
2
2
22
2
22)2
(
)(4
3)(3)(,23
cos
c a c a c a ac c a b
ac
b
c a +=+-
+≥-+=-+=
∴即π
c a b
c a +=≤+∴可知,364)(2
2
的最大值为6。

………………………（12
分）
18、（1） 由02>-+x
a x 得，
22
>+-x
a
x x
解得1>a 时，定义域为),0(+∞
1=a 时，定义域为0|{>x x 且}1≠x
10<<a 时，定义域为a
x x --
<<110|{或a
x -+
>11}……4分
（2） 设2
)(-+
=x a x x g ，当)4,1(∈a ，),2[+∞∈x 时 则0
1)(2
2
2
>-=
-='x
a
x x
a x g 恒成立，∴2
)(-+
=
x a x x g 在),2[+∞上是增函数
∴)2lg()(-+=x a x x f 在),2[+∞上是增函数
∴
)2lg()(-+
=x
a x x f 在)
,2[+∞上的最小值为
2
lg
)2(a f =……………8分
（3） 对任意),2[+∞∈x 恒有0
)(>x f ，
即12>-+x
a x 对)
,2[+∞∈x 恒成立
∴
2
3x
x a ->，而4
9)23(3)(2
2
+
-
-=-=x x x x h 在),2[+∞∈x 上是减函数
∴2)2()(max
==h x h ，∴2
>a …………………………………12分
19、解：由已知有：222222
2
2
22
()()22a c b b c a a b a b a b c ac bc ⎛⎫+-+-+⋅-⋅=-⋅ ⎪⎝⎭
∴有：()
()2
2
2
2
2
2
2()2a b
a b a b
c c
-+⋅
=-⋅
即：()2
2
2
2
2()0a b a b c -+-=
(1)若3,4,a
b ==则a b
≠a b c
∴+=
A B C ∴∆为直角三角形，0
90,5,C c ∠==而||5CA CB +=
……………………（6
分）
(2)若 0
60,C
∠=则2
2
2
0,a b c +-≠.a b ∴=
∴∆
为等边三角形，没边长为x ，则
2
4
x =2x ∴
AB BC BC CA CA AB ∴⋅+⋅+⋅=--
-
=-
……………………………（12分）
20、 解：(1)22()3234f x x bx c x x '=++=+，
∴2b =4 c =0 ∴2,0b c ==， ∴32()2f x x x d =++，
又f (1)=7 ， ∴d=4 ∴32()24f x x x =++． ……………………………2分 ∵2()()F x f x ax =-32(2)4x a x =+-+，∴2'()32(2)F x x a x =+-．
令()0F x '=，得122(2)0,3
a x x -==-， ∵2a <， ∴12x x >．
故由2(2)
()0,(,)(0,)3
a F x x --'>∈-∞+∞ 得，由2(2)
'()0,(,0)3
a F x x -<∈-
得，
∴F (x )在2(2)
(,
),(0,)3
a ---∞+∞上单调递增，在2(2)
(,0)3
a --上单调递减，
故F (x )的极小值为F (0)=4 ………………………………………………6分 (2)F (x )≥0在x ∈[0，+∞)时恒成立，即m in ()0F x ≥，
①当20a ->即2a <时，由(1)知F (x )m in =F (0)=4>0符合题意．………………9分 ②若20a -≤，即2a ≥时，由(1)知12x x <， ∴当[)0,x ∈+∞时，F (x )m in =2(2)
[]0
3
a F --≥
即3
2
2424(
)(2)(
)40
3
3
a a a ----+≥，∴5a ≤，∴25a ≤≤，
综上所述 a ≤5． ……………………………………………13分 21、解：（1）11110(21)(2)a a a =++，得2112520a a -+=，解得12a =，或112
a =．
由于11a >，所以12a =．
11
因为10(21)(3)n n n S a a =++，所以210252n n n S a a =++. 故221111101010252252n n n n n n n a S S a a a a ++++=-=++---，
整理，得22112()5()0n n n n a a a a ++--+=，即11()[2()5]0n n n n a a a a +++--=． 因为{}n a 是递增数列，且12a =，故10n n a a ++≠，因此152
n n a a +-=．
则数列{}n a 是以2为首项，5
2为公差的等差数列.所以512(1)(51)
22n a n n =+
-=
-.………4分
（2）满足条件的正整数, , m n k 不存在，证明如下： 假设存在*, , m n k N ∈，使得2()m n k a a a +=，则15151(51)2m n k -+-=-．
整理，得3225
m n k +-=
， ①显然，左边为整数，所以①式不成立．………8分
故满足条件的正整数, , m n k 不存在． （3）313(51)212
2
2
n n n n b a n n --=-=
--
=+，2(3)2(3)51
3
51
512
n
n n a n n c n n n ++-=
=
⋅=+--．
不等式
1210
11131(1)(1)(1)
n m b b b -++
+
可转化为
11
1(1)(1)(1)
31
b b b m +
+
+
≤
31212311
11n n
b b b b b b b b ++++=
⋅⋅⋅
46822
35721
n n +=
⋅⋅⋅⋅+ ．
设46822
()35721
n f n n +=
⋅⋅⋅⋅+ ，
则
(1)()
35721f n f n n +=
⋅⋅⋅⋅⋅+
242423n n n ++==
+
24124
n n +=
>
=
=
=+.
所以(1)()f n f n +>，即当n 增大时，()f n 也增大．
要使不等式
1
2
11131(1)(1)(1)n
m b b b -
+
+
+
对于任意的*n ∈N 恒成立，
只需m in
()31m f n ≤
即可．因为m in 41()(1)3
15
f n f ==
=
，所以
31
15
m ≤
，
即431
12448
15
15
15
m ⨯=
=≤
.所以，正整数m 的最大值为8．………… 14分。