四川省泸县第四中学2020届高三数学上学期期中试题文2019112103113

四川省泸县第四中学2020届高三数学上学期期中试题 文
第I 卷(选择题 共60分）
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题所给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.） 1．已知集合2
{|1},{|60}A x x B x x x x =<=--<，则 A.{|1}A B x x ⋂=< B.A B R = C.{|2}A B x x ⋃=<
D.{|21}A B x x ⋂=-<<
2．已知复数z 满足1z i =+（i 为虚数单位），则复数z 的共轭复数z 的虚部为 A.-1
B.1
C.i -
D.i
3．若命题p ：2
1,2n
n n ∃>>，则p ⌝为
A.2
1,2n
n n ∀>> B.2
1,2n
n n ∃≤≤ C.2
1,2n
n n ∀>≤ D.2
1,2n
n n ∃>≤
4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是
A ．1
B ．2
C ．4
D ．6
5．已知,R x y ∈，且4,
10,?10y x y x y ≤⎧⎪
-+≤⎨⎪+-≥⎩
则目标函数2z x y =+的最小值为
A.4-
B.2-
C.2
D.4
6．函数()sin (0)3f x x πωω⎛
⎫
=+
> ⎪⎝
⎭
的最小正周期为π，
若将函数()f x 的图像向右平移6π
个单位，得到函数()g x 的图像，则()g x 的解析式为
A ．()sin 46g x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭
B ．()sin 43g x x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭
C ．()sin 26g x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭
D ．()sin 2g x x =
7．设2log 3a =，4
3
b =，3log 4
c =，则a ，b ，c 的大小关系为 A.b a c <<
B.c a b <<
C.a b c <<
D.c b a <<
8．函数3x x
e e y x x
--=-的图像大致是
A. B. C.
D.
9．设曲线ln 1
x
y x =+在点(1,0)处的切线与直线10x ay -+=垂直，则a = A ．12
-
B ．12
C ．-2
D ．2
10．设()f x 满足()()-=f x f x -，且在[]
1,1-上是增函数，且()11f -=-，若函数()221f x t at ≤-+对所有[]1,1x ∈-，当[]1,1a ∈-时都成立，则t 的取值范围是
A. 11
22t -
≤≤ B. 2t ≥或2t ≤-或0t = C. 12t ≥或1
2
t ≤-或0t =
D. 22t -≤≤
11．若两个正实数满足
,且恒成立,则实数的取值范围是
A ．
B ．
C ．(-4,2)
D ．(-2,4)
12．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若ABC ∆为锐角三角形，且满足，
2sin 2tan (2sin cos 2)C A C C =+-，则等式成立的是
A.2b a =
B.2a b =
C.2A B =
D.2B A =
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 13．已知lg ()x
f x x
=
，则(1)f '=__________ 14．函数()()sin f x A x =+ωϕ（0>ω，22
π
π
ϕ-<<
）的部分图象如图所示，则()f x 的
解析式为______．
15．已知()y f x =是定义域为R 的奇函数，且满足()()1f x f x +=-，当[]0,1x ∈时，
()()1f x x x =-，则()2.5f -=_______．
16．三棱锥A -BCD 中，BC ⊥CD ，AB = AD ,BC =1,CD 则三棱锥A -BCD 外接球的表面积为______.
三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17 ~ 21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.） 17.（本大题满分12分）
已知函数2()cos cos 222
x x x f x =+． （1）求()f x 的周期和及其图象的对称中心；
（2）在锐角△ABC 中，角、、A B C 的对边分别是a b c 、、满足(2)cos cos a c B b C -=，求函数(A)f 的取值范围．
18．（本大题满分12分）
在ABC △中，已知角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且3os 1c 12B =，sin 2
C =． （1）求cos A 的值；
（2）若13c =，求ABC △的面积S ．
19．（本大题满分12分）
如图,四棱锥P ABCD -的底面是边长为1的正方形,,1,PA CD PA PD ⊥==
(1)求证:PA ⊥平面ABCD;
(2)求四棱锥P ABCD -的体积. 20．（本大题满分12分） 己知二次函数满足
，且
．
求函数的解析式
令，
若函数在区间上不是单调函数，求实数m 的取值范围
求函数
在区间
的最小值．
21．（本大题满分12分） 已知函数()ln a
f x x x
=
-. (1)讨论()f x 的单调性；
(2)令()(1)g x f x =+，当2a =，1
1x e
>-时，证明：23ln(1)()1ln(1)e x g x x -+++<++.
（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
22. [选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy 中，直线l 0y a ++=，曲线C 的参数方程为
3cos 13sin x y θ
θ
=⎧⎨
=+⎩（θ为参数）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求直线l 和曲线C 的极坐标方程； （2）若直线=()6
R π
θρ∈与l 的交点为M ,与C 的交点为A ，B ，且点M 恰好为线段AB 的
中点，求a .
23．已知函数1(1)f x m x x =---+. （1）当5m =时，求不等式()2f x >的解集；
（2）若二次函数2
23y x x =++与函数()y f x =的图象恒有公共点，求实数m 的取值范围.
2019-2020学年度秋四川省泸县四中高三期中考试
文科数学试题参考答案
1-5:DACCB 6-10:DDAAB 11-12:DB
13．lg e
14．()2sin 23f x x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
15．0.25- 16．4π
17： ⑴()1cos 1sin ,22262x f x x x T ππ+⎛⎫=
+=++= ⎪⎝
⎭ ,6
6x k x k π
π
ππ+
=⇒=-
对称中心是1,,62k k z ππ⎛
⎫-∈ ⎪⎝
⎭
⑵()2sin sin cos sin cos A C B B C -=
()2sin cos sin sin A B B C A ⇒=+=
122cos ,,0,23332B B A C C A ππππ⎛⎫⇒=
⇒=+==-∈ ⎪⎝⎭ 且0,
2A π⎛
⎫
∈ ⎪⎝
⎭
,62A ππ⎛⎫⇒∈ ⎪⎝⎭
而()12sin ,62363
f A A A ππ
ππ
⎛⎫=+
+<+< ⎪
⎝
⎭，
(
)13,22f A ⎤
∴∈+⎥⎝⎦
18．（1
12
cos 1
13
B <=<，得π06B <<，
所以5
13
sinB ==
． ①当C
为锐角时，由sin C =
π4C =
，则cosC =
此时()cos cos A B C =-+
512sin sin cos cos 13213226
B C B C =-=
⨯-⨯=-
； ②当C
为钝角时，由sin 2C =
，得3π4C =
，则2
cosC =-，
此时()cos cos A B C =-+
512sin sin cos cos 13213226
B C B C =-=
⨯+⨯=
；
综上可得cos A =
或cos A =．
（2）由（1）及正弦定理得
sin sin c b C B
=，
所以5
13sin sin c B
b C
⨯
=
==
当cos 26
A =-
时，得sin 26A ==，
所以185
sin 22
ABC
S
bc A ==；
当cos 26A =
时，得sin 26
A ==， 所以135sin 22
ABC
S
bc A ==． 综上ABC 的面积为852或35
2
．
19．（1）∵四棱锥P ABCD -的底面是边长为1
的正方形，1,PA PD ==
∴222PD PA AD =+，∴PA AD ⊥
又PA CD ⊥，AD CD D = ∴PA ⊥平面ABCD
（2）四棱锥P ABCD -的底面积为1，
∵PA ⊥平面ABCD ，所以四棱锥P ABCD -的高为1， ∴四棱锥P ABCD -的体积为V ＝13×1×1=13
20．由已知令；
（1）
又
.
（2）①=其对称轴为
在上不单调，，.
②当，即时，
当，即时，
当，即时，,
综上，
.
21．(1)()f x 的定义域22
1(0,),()a x a f x x x x '
++∞=-
-=-， 当0a …
时，()0f x '<，则()f x 在(0,)+∞上单调递减； 当0a <时，令()0f x '>,可得0x a <<-； 令()0f x '<可得x a >-；
则()f x 在(0,)a -上单调递增，在(,)a -+∞上单调递减。

(2)当2a =时，要证明23ln(1)
()1ln(1)e x g x x -+++<++成立，即证：
21(1)ln(1)2
11ln(1)
x x x e x x ---+++<+++
令()1(1)1(1),()21(1)x x x n x x n x φφ'
=--++=--+,令
22'()0,01,'()0,1x x e x x e φφ--><<-<>-
所以，()x φ在(
)2
0,1e
--单调递增；在()21,e --+∞递减.
又由已知2111x e e ->
->-,可知()x φ在11,e ⎛⎫
-+∞ ⎪⎝⎭
上为减函数 故21
()122e
x e φφ-⎛⎛⎫-=<+ ⎪ ⎝
⎭
⎝…
， 即()()2
.1112 x x ln x e
---++<+
令1()1(1ln(1)),h ()111
x h x x x x x x '
=+-++=-=++, 当
1
10,h ()0,h()e
x x x '-<<<单调递减； 当0,()0,()x h x h x '
>>单调递增。

故()(0)0h x h =…
,即11
11ln(1)0,011ln(1)
x x x x +++><+++厔
2
2
1(1)ln(1)22111ln(1)
x x x e e x x x ----++++++++剟
.故原不等式成立.
22．（1）将cos x ρθ=，sin y ρθ=0y a ++=中
得到直线l cos sin 0a θρθ++= 在曲线C 的参数方程中，消去θ，可得()2
219x y +-= 即2
2
280x y y +--=
将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入2
2
280x y y +--=中
得到曲线C 的极坐标方程为2
2sin 80ρρθ--=
（2）在极坐标系中，由已知可设1,6M πρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2,6A πρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，3,6B πρ⎛
⎫ ⎪⎝
⎭
联立26
2sin 80
πθρρθ⎧
=⎪⎨⎪--=⎩，可得280ρ-ρ-= 所以231ρ+ρ=
因为点M 恰好为AB 的中点，所以112ρ=
，即1,26M π⎛⎫
⎪⎝⎭
把1,26M π⎛⎫
⎪⎝⎭
cos sin 0a θρθ++=，得31044a ++=
所以1a =-
23．（1）当5m =时，()()
()()521311521x x f x x x x ⎧+<-⎪
=-≤≤⎨⎪->⎩，
由()2f x >得不等式的解集为3322x x ⎧⎫
-<<⎨
⎬⎩
⎭
. （2）由二次函数()2
22312y x x x =++=++， 知函数在1x =-取得最小值2，
因为()()()()2121121m x x f x m x m x x ⎧+<-⎪
=--≤≤⎨⎪->⎩
，在1x =-处取得最大值2m -，
所以要是二次函数2
23y x x =++与函数()y f x =的图象恒有公共点.
只需22m -≥，即4m ≥.。