山西省怀仁县第一中学2016-2017学年高二下学期期中考试文数试题湖南省

怀仁一中2016-2017学年度第二学期高一年级期中考试
数学试题（文科）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.复数43i -虚部为（ ）
A ．-3i
B ．-3
C ．3i
D ．3
2. 用反证法证明命题“设,a b 为实数，则方程20x ax b ++=至少有一个实根”时，要做的假设是（ ）
A ．方程20x ax b ++=没有实根
B ．方程20x ax b ++=至多有一个实根
C ．方程20x ax b ++=至多有两个实根
D ．方程20x ax b ++=恰好有两个实根
3. 函数ln y x x =的导数为 （ ）
A ．x
B ．1ln x +
C ．1ln x x +
D ． 1
4. 在下列各图中，两个变量具有较强正相关关系的散点图是（ ）
A ．
B ． C. D ．
5. 下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是（ ）
①()cos y x x R =∈是三角函数；②三角函数的周期函数；③()cos y x x R =∈是周期函数
A ．①②③
B ．②①③ C.②③① D ．③②①
6. 已知直线20ax by --=与曲线2y x =在点()1,1P 处的切线互相垂直，则a b 为（ ） A ． 23 B ．-23 C. 13 D ．-13
7. 以下是解决数学问题的思维过程的流程图：
在此流程图中，①②两条流程线与“推理与证明”中的思维方法匹配正确的是（ ）
A ．①-综合法，②-分析法
B ．①-分析法，②-综合法
C. ①-综合法，②-反证法 D ．①-分析法，②-反证法
8. 如图是某同学为求50个偶数：2,4,6，…，100的平均数而设计的程序框图的部分内容，则在该程序框图中的空白判断框和处理框中应填入的内容依次是（ ）
A ．50,50x i x >=
B ．50,100
x i x ≥= C. 50,50x i x <= D ．50,100x i x ≤= 9. 已知()()2
31f x x xf '=+，则()'2f =（ ） A ．1 B ．2 C. 4 D ．8
10. 以下判断正确的个数是（ ） ①相关系数,r r 值越小，变量之间的相关性越强.
②命题“存在2,10x R x x ∈+-<”的否定是“不存在2,10x R x x ∈+-≥”.
③“p q ∨”为真是“p ⌝”为假的必要不充分条件.
④若回归直线的斜率估计值是1.23，样本点的中心为（4,5），则回归直线方程是 1.230.08y x =+.
A ．4
B ． 2 C. 3 D ．1
11. 已知如下等式：246+=；810121416++=+；18202224262830+++=++；……以此类推，则2018会出现在第（ ）个等式中.
A ．33
B ．30 C. 31 D ．32
12. 已知函数()()f x x R ∈满足()11f =，且()f x 的导函数()13f x '<
，则()233
x f x <+的解集为（ ）
A ．{}|11x x -<<
B ．{}
|11x x x <->或 C.{}|1x x <- D ．{}|1x x > 第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.若复数z 满足()243i z i -=+（i 为虚数单位），则z = ． 14.具有线性相关关系的变量,x y ，满足一组数据如下表所示：
x 0
1 2 3 y -1 1 m
8 若y 与x 的回归直线方程为32y x =-
，则m 的值是 ． 15.()()2f x x x c =-在2x =处有极大值，则常数c 的值为 ．
16.函数()2
2ln f x x x =-的单调减区间为 ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 复数()()2
132z i a a i a R =--++∈. （1）若z z =，求z ；
（2）若在复平面内复数z 对应的点在第一象限，求a 的范围.
18. 某学校研究性学习小组对该校高二学生视力情况进行调查，在高二的全体1000名学生中随机抽取了100名学生的体检表，并得到如图的频率分布直方图：
（Ⅰ）若直方图中后四组的频数成等差数列，试估计全年级视力在5.0以下的人数；
（Ⅱ）学习小组成员发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系，对年级名次在1~50名和951~1000名的学生进行了调查，得到表中数据，根据表中的数据，能否在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系？
附：
2
2
()
()()()()
n ad bc
k
a b c d
a c
b d
-
=
++++
19. 观察下面的解答过程：已知正实数,a b满足1
a b
+=
.
2
3
=
22
a
≤+
2
3
22
b
+
≤=+，
34
a
b
=≤++=，
，等号在
1
2
a b
==
. 请类比以上解题法，使用综合法证明下题：
已知正实数,,
x y z满足3
x y z
++=
20. 某种产品的广告费支出x与销售额y（单位：百万元）之间有如下对应数据：
（1）求回归直线方程；
（2）试预测广告费支出为10万元时，销售额多大？
（3）在已有的五组数据中任意抽取两组，求至少有一组数据其预测值与实际值之差的绝对值不超过5的概率.
（
^1
2
1
()()
()
n
i i
i
n
i
i
x x y y
b
x x
=
=
--
=
-
∑
∑
，
^1
22
1
()
n
i i
i
n
i
i
x y nx y
b
x n x
=
=
-
=
-
∑
∑
，a y bx
=-）
21. 已知函数()1
x
f x e ax
=--，（a为实数），()ln
g x x x
=-
（1）讨论函数()f x 的单调区间；
（2）求函数()g x 的极值；
22.已知函数()()2
2ln f x ax a x x =-++，其中a R ∈. （Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =的点()()
1,1f 处的切线方程；
（Ⅱ）当0a >时，若()f x 在区间[]1,e 上的最小值为-2，求a 的取值范围.
试卷答案
一、选择题
1-5: BABBB 6-10: DAAAB 11、12：CD
二、填空题
13.12i + 14. 4 15. 6 16.10,2⎛
⎫ ⎪⎝⎭
三、解答题
17. 解：()()
222132321z i a a i a a a i =--++=-++-.
（1）由z z =知，210a -=，故1a =±.
当1a =时，0z =；
当1a =-时，6z =.
（2）由已知得，复数的实部和虚部皆大于0， 即2232010
a a a ⎧-+>⎨->⎩， 即2111
a a a ><⎧⎨-<<⎩或，
所以11a -<<.
18.解：（Ⅰ）设各组的频率为()1,2,3,4,5,6i f i =.
有图可知，第一组有3人，第二组7人，第三组27人，
因为后四组的频数成等差数列，所以后四组频数依次为27，24，21，18.
所以视力在5.0以下的频率为3727242182++++=人.
故全年级视力在5.0以下的人数约为821000820100⨯
=. （Ⅱ）()221004118329300 4.110 3.8415050732773
K ⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯. 因此在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系.
19.
()21322
x x ++≤=+
. ()21322
y y ++=+.
()
213
2
2
z
z
++
=+.
≤()()()
222
x y z
+++++
因为3
x y z
++=
≤=
当且仅当等号在1
x y z
===时取得.
20.解：（1）
2456825
5
55
x
++++
===，
3040605070250
50
55
y
++++
===，
∴
5
1
5
22
1
5
13805550
6.5
145555
5
i i
i
i
i
x y x y
b
x x
=
=
-
-⨯⨯
===
-⨯⨯
-
∑
∑
，
50 6.5517.5
a y bx
=-=-⨯=.
因此，所求回归直线方程为 6.517.5
y x
=+.
（2）根据上面求得的回归直线方程，当广告费支出为10万元时， 6.51017.582.5
y=⨯+=（万元），即这种产品的销售收入大约为82.5万元.
（3）
基本事件：（30,40）（30,60）（30,50）（30,70）（40,60）（40，50）（40，70）（60，50）（60，70）（60，70）共10种，两组数据其预测值与实际值之差的绝对值都超过5有（60，50），所以至少有一组数据其预测值与实际值之差的绝对值不超过5的概率为
19
1
1010
-=.
21.解：（1）由题意得()x
f x e a
'=-
当0
a≤时，()0
f x
'>恒成立，函数()
f x在R上单调递增，
当0
a>时，由()0
f x
'>可得ln
x a
>，由()0
f x
'<可得ln
x a
<.
故函数()f x 在()ln ,a +∞上单调递增，在(),ln a -∞上单调递减.
（2）函数()g x 的定义域为()()10,,1g x x
'+∞=-. 由()0g x '>可得01x <<；由()0g x '<可得1x >.
所以函数()g x 在（0,1）上单调递增，在()1,+∞上单调递减.
故函数()g x 在1x =取得极大值，其极大值为ln111-=-.
22.
解：（1）当1a =时，()()2
3ln 0f x x x x x =-+>， ∴()2123123x x f x x x x
-+'=-+=，∴()()12,10f f '=-=. ∴切线方程为2y =-.
（2）函数()()2
2ln f x ax a x x =-++的定义域为()0,+∞， 当0a >时，()()()2221122ax a x f x ax a x x -++'=-++=()()211x ax x
--=， 令()0f x '=得12x =或1x a =. ①当101a
<≤，即1a ≥时，()f x 在[]1,e 上递增. ∴()f x 在[]1,e 上的最小值为()12f =-，符合题意； ②当11e a <<，即11a e <<时，()f x 在11,a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减，在1,e a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增， ∴()f x 在[]1,e 上的最小值为()112f f a ⎛⎫<=-
⎪⎝⎭，不合题意； ③当1e a ≥，即10a e
<≤时，()f x 在[]1,e 上递减， ∴()f x 在[]1,e 上的最小值为()()12f e f <=-，不合题意；
综上，a 的取值范围是[1,)+∞.。