东南大学高数习题

于是 x(t ) m0 e
ln 2 t 1600
x Ce kt

C m0
说明镭随时间的增加而 按指数规律衰变 .
4.2.2 一阶线性微分方程
一阶线性微分方程的一般形式为：
y P( x) y Q( x)
其中 P ( x ), Q ( x ) 为连续函数。
若 Q ( x ) 0 ，则称 y P ( x ) y 0 ①
§4.1 微分方程的基本概念
例 1．求过点(1, 3) 且切线斜率为2x 的 曲线方程。
例 2．设自由落体下落的加速度为常数g ( g 0) ，且初
始位置为 0， 初速度为v ，求自由落体的运动规律。
1.微分方程的定义
含有自变量、未知函数及未知函数的导数(或微分)的 等式称为微分方程。
未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程，未 知函数是多元函数的微分方程称为偏微分方程。
f 此类问题的解法是利用对变限求导，化为 (x) 的微分
方程初值问题，然后求解。

dy f ( x)dx g ( y)
G( y) F ( x) C (微分方程的隐式解 )
若g ( y0 ) 0 , 则y y0为常数解。
例1．求微分方程
y y xy 0
的通解。
放射出微 例 2 镭的衰变: 放射性元素镭由于不断 粒子而减少质量 设衰变速度与镭的剩余 , 量成正比, 已知镭的原质量为 0 , 经过1600 m 年后, 只剩下原质量 的一半.求镭的衰变规律 .

ln y P( x)dx C1,

y e P( x)dxC1 ,
即 y eC1 e P( x)dx ，
令 C eC1 ，又 y 0 为特解， 得方程的通解： y Ce
P ( x ) dx
。
例 1．求方程 ( y 2 xy )dx x 2 dy 0 满足初始条件
其中 y C1e x C2e x 是通解， 但 y C1e x C2e x 3 (C1 C2e3 )e x Ce x
(C C1 C2e3 ) 不是通解。
5.微分方程的初始条件
称附加条件
y ( x ) y , y( x ) y1, y( x ) y2 , , y ( n1) ( x ) yn1
a1 b1 a1k b1h c1 0, (1) 0, 有唯一一组解. a2 b2 a2 k b2 h c2 0,
a1v b1u du f( ), 得通解回代 代 dv a2v b2 u
v x k , u y h，
a1 (2) a2
为一阶线性齐次方程；
若 Q ( x ) 0 ，则称 y P ( x ) y Q ( x ) ②
为一阶线性非齐次方程。
通常称方程①为方程②所对应的线性齐次方程。
（一）一阶线性齐次方程的解法
y P( x) y 0 ,
dy P( x)dx, y

dy P( x)dx, y
dy 例如：在例 1 中 y x 、 y x 2 都是微分方程 2 x dx
2 2
y x 2 C 是方程的通解。 的解，而
又如： y1 e x ，y2 e x ， y C1e x C2e x 和
y C1e x C2e x 3 都是微分方程 y y 0 的解。
du 即 a bf (u ) ，这是可分离变量方程。 dx
三、 y f (
a1 x b1 y c1 ) 型的方程 a2 x b2 y c2
dy 令 y u h, x v k， du,
dx dv ,
a1v b1u a1k b1h c1 du f( ) dv a2v b2 u a2 k b2 h c2
y e
P ( x ) dx
P ( x ) dxdx C ] [ Q ( x )e
பைடு நூலகம்
P ( x ) dx Ce 此通解是由两项组成的，第一项 是
对应的一阶线性齐次方程 y P( x) y 0 的通解，
P ( x ) dx P ( x ) dx e Q ( x )e dx 是原方程①的特解。 第二项
方程①的通解：
y e
P( x)dx
P( x)dxdx C ] [ Q( x)e

⑤
常数 C 变易 这种将对应的线性齐次方程通解中的任意
为待定函数C (x) ，再通过确定 C ( x) 来求得线性非齐次 方程通解的方法，称为常数变易法。
2．通解公式的结构
一阶线性非齐次方程 y P( x) y Q( x) 的通解公式为
dx(t ) 解 : 设t时刻镭的质量为 (t ),则 x kx(t ) (k 0), dt m0 ) , 初始条件为 x(0) m0 . 又已知 x(1600
dx kdt , 分离变量并积分得 x
2 dx x kdt ,
x ( 0 ) m0
ln x kt C1
y x 1 e 的特解。
（二）一阶线性非齐次方程的解法
y P( x) y Q( x)
①
所对应的齐次微分方程为
y P( x) y 0 1．常数变易法
②
P ( x ) dx y Ce 是方程②的通解，将 C 变易为 x 的 P ( x ) dx C (x) ，猜想 y C ( x)e 待定函数 是①的解。
一般地，微分方程的每一个解都是一个一元函数
y y (x) ，其图形是一条平面曲线，我们称它为微分
方程的积分曲线，通解的图形是平面上的一族曲线， 称为积分曲线族，特解的图形是积分曲线族中的一条
确定的曲线。这就是微分方程的通解与特解的几何意义。
例4．试求以下列函数为通解的微分方程：
（1） y Cearcsinx .

例 2．求方程 xy y sin x 的通解。
例3.求( x y )dy ydx 0的通解。
4
4.2.3 可用变量代换求解的几类一阶方程
一、齐次型方程
dy y ( ) 1．齐次微分方程的一般形式： dx x
若当 t 0 时，有 f (tx,ty ) f ( x, y )
求出通解后，再用 y
1n
代替 z ，便得伯努利方程的解。
dy y 例 8．求方程 a(ln x) y 2 的通解。 dx x
例 5．设可导函数f (x) 满足方程
0
x
f (t )dt x
0
x
t f ( x t )dt ，求f (x ) 。
分析：积分式中含有未知函数的方程，称为积分方程。
（2） y C1 cos 3 x C2 sin 3 x 。
注：这类问题的解法是先求导，再消去任意常数，若通解中 含有两个或三个任意常数，则需求二阶或三阶导数。
§4.2 一阶微分方程
一阶微分方程的一般形式为 F ( x, y , y ) 0
4．2．1 可分离变量的方程 dy f ( x) g ( y ) dx dy 若g ( y ) 0 f ( x)dx g ( y)
b1 0, b2
a1 b1 令 , a2 b2
dy (a2 x b2 y ) c1 方程可化为 f( ), dx a2 x b2 y c2
令 v a2 x b2 y,
dv dy 则 a2 b2 ， dx dx
1 dv v c1 ( a2 ) f ( ). b2 dx v c2
3.n 阶微分方程的一般形式：
F ( x, y, y, y, y,y (n) ) 0.
4.微分方程的解
能使微分方程成为恒等式的函数称为微分方程的解。若该 函数是显式的，则称为显式解；若是隐式的，则称为隐式解。
若微分方程的解中含有任意常数，而且独立的任意常数的 个数与方程的阶数相等，则称这个解为微分方程的通解。
解： y Ce
arcsinx

1 1 x 2
，
1 1 x 2 ，即 y 1 x 2 y 0 。
消去常数C ，得 y y
显然，将 y Ce arcsinx 代入 y 1 x 2 y 0 中，等式 成立，且方程的阶数与任意常数的个数相等，故此方 程符合题意。
为初值问题。
微分方程不含任何常数的解称为特解。
例 3．验证函数 y C1 coskx C2 sin kx d2y 2 k y 0(k 0) 是微分方程 2 dx
dy x0 0 的特解。 dx
①
②
的通解，并求方程②满足初始条件 y x 0 A ，
6.微分方程的解的几何意义
注意：用变量代换求解时，必须换回原变量。 dy y y y (1 ln y ln x) (1 ln ) 都是齐次型方程。 dx x x x
2．齐次型微分方程的解法
dy y y 在 ( ) 中，令 u ， 则 y xu ， dy u x du ， dx x x dx dx du 代入原方程得: u x (u ) ， dx du 即 x (u ) u ，为可分离变量方程。 dx
可分离变量.
x y 5 例 6．解微分方程 y x y 1
（三）伯努利 (Bernoulli ) 方程的解法
形如
dy P( x) y Q( x) y n (n 0, 1) dx
n dy
的方程
P 称为伯努利方程，其中 (x) 、 Q ( x )为 x 的连续函数。
用 y 除 方程两端，得到 y
例 4．求方程 y 2dx ( x 2 xy)dy 0 的通解。
x y 例 5．求 y 的通解。 x y
二、 y f (ax by) 型的方程
1 1 令 u ax by ， y (u ax ) ， y (u a) ， b b 代入原方程得： u a bf (u) ，
①
dy 则称方程 f ( x, y ) 为齐次方程。 dx
1 y y 在①中令 t ，得 f ( x, y ) f (1, ) ( ) ，故 x x x
齐次方程的形式为
dy y ( ) dx x
②
y y 2 ( ) 2 dy xy y x x , 例如： 2 dx x 2 xy 1 2( y ) x
F ( x, y , y , y , , y ( n ) ) 0 的初始条件。 为 n 阶 微分方程
F ( x, y, y, y, , y (n) ) 0, 称问题 y ( x ) y , y( x ) y1, , y ( n1) ( x ) yn1.
2.微分方程的阶
微分方程中所含未知函数的导数的最高阶数称为微
为 分方程的阶。未知函数的最高阶导数 n 的 微分方程
称为 n 阶 微分方程。
dy 例如： xy 0 ； dx
x
d2y
dx2 x 2 y xy 4 y 3x 4 ；
xy 2 sin x ；
y (4) 4 y 10y 12y 5 y sin 2 x 。
n
1n ∵ dz (1 n) y n z y dx 1 dz P( x) y1n Q( x) ， ∴有
1 n dx
dz (1 n ) P ( x ) z (1 n )Q ( x ) ， 得 dx
dx dy ， dx
P( x) y
1n
Q( x) ，