初中数学自招系列(16)：排列组合拓展

自主招生：排列组合
【知识梳理】
一、分类计数原理和分步计数原理 （1）分类计数原理（加法原理）：
做一件事情，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有m 1种不同的方法，在第二类办法中有m 2种不同的方法，……，在第n 类办法中有m n 种不同的方法。

那么完成这件事共有N=m 1+m 2+…+m n 种不同的方法。

(2) 分步计数原理（乘法原理）：
做一件事情，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有m 1种不同的方法，做第二步有m 2种不同的方法，……，做第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事有N=m 1×m 2×…×m n 种不同的方法。

二、 排列的概念
一般地，从n 个不同的元素中取出m 个（m≤n ）元素，按照一定的次序排成一列，叫做从n 个不同的元素中取出m 个元素的一个排列。

根据排列的定义，两个排列相同，当且仅当两个排列的元素完全相同，且元素的排列次序也完全相同。

从n 个不同的元素中取出m 个（m≤n ）元素的所有排列的个数叫做从n 个不同的元素中取出m 个元素的排列数，用符号m n P 表示。

三、 组合数
一般地，从n 个不同的元素取出m 个（m≤n ）元素组成一组，叫做从n 个不同的元素中取出m 个元素的一个组合。

从排列组合的定义可以知道，排列与元素的次序有关，而组合与元素的次序无关，如果两个组合中的元素完全相同，那么不管元素的次序如何，都是相同的组合，只有当两个组合中的元素不完全相同是，才是不同的组合。

从n 个不同的元素中取出m （m≤n ）个元素的所以组合的个数，叫做从n 个不同的元素取出m 个元素的组合数，
用符号m
n C 表示。

四、 排列组合公式
一般地，排列数m n P 可以按照从n 个不同的元素中选m 个元素依次填入m 个空位来考虑：显然第一个空位有n 中方法，第二个空位有n-1中方法……，最后一个空位有n-m+1种方法，于是我们可以得到：
n n P =(1)(2)
321n n n −−，即正整数1到n 的连乘积，这个叫做n 的阶乘，用!n 表示，于是全排列数公式
可以写成!n n P n =。

根据全排列公式，我们很容易推导出排列公式的另一种表示方法：!
()!
m n n P n m =−。

为了使这个公式在m=n
时也成立，我们规定0！=1。

一般地，对于从n 个不同的元素取出m 个元素的排列数m n P ，可以看作是由以下两部得到的：
第一步，先取出m 个不同元素的组合，也就是m
n C 种；第二步，求这个组合中的m 个元素的全排列数m n P ，于是
根据乘法原理，可以得到m
m m
n n
m
P C
P =。

所以我们可以得到(1)(2)(1)
!
m m n n
m m P n n n n m C P m −−−+==，这里m≤n ，
这个公式叫做组合数公式。

根据组合数公式和排列数公式的定义，我们很容易推导出组合数公式的另一种表示方法，即!
!()!
m n
n C m n m =−。

组合数的两个性质：
（1）C m n =C m n n −；（2）C m n 1+=C m n +C 1
−m n
.
【例题精讲】
例1某铁路线上，在起点和终点之间原有7个车站，现在新增加了3个车站，这样需要增加多少种不同的车票？
例2在6名内科医生和4名内科医生中，内科主任和外科主任各一名，现要组成5人医疗小组送医下乡，按照下列条件各有多少中选派方法？
（1）有3名内科医生和2名外科医生；
（2）既有内科医生，又有外科医生；
（3）至少有一名主任参加；
（4）既有主任，又有外科医生。

（5）
例3如图，中国象棋的棋子“车”按象棋中走法规则沿着棋盘路线的最短路径从左下角走到右上角，一共有多少种不同的走法？（注：中国象棋中，“车”每一步可以沿直线移动任意多格）
例4 a、b、c、d、e排成一排，依下列条件各有多少种排法？
（1）a必须排在首位或末位；
（2）a排在首位但b不排在末位；
（3）a、b、c相邻；
（4）a、b不相邻。

【同步练习】
1. 如图为25个小正方形组成的5×5棋盘，其中含有符号“#”的各种正方形共有 个。

2.平面上有n 个点，其中任意三点都是直角三角形的顶点，则n 的最大值为 。

3. 一青蛙在如图88⨯的正方形（每个小正方形的边长为1）网格的格点（小正方形的顶点）上跳跃，青蛙每次所跳的最远距离为5A 开始连续跳六次正好跳回到点A ，则所构成的封闭图形的面积的最大值是 。

4. 在∠AOB 的OA 边上取m 个点，在OB 边上取n 个点(均除O 点外)，连同O 点共m +n +1个点，现任取其中三个点为顶点作三角形，可作的三角形有( )
12121212
11A. C C C C B. C C C C m n n m m n n m ++++
121211122111C. C C C C C C D. C C C C m n n m m n m n m n +++++
A
5. 6个人站成一行：
（1）某甲不能站在排头，有多少种站法？
（2）某甲既不能站在排头，也不能站在排尾，有多少种站法？
（3）某甲不能站在排头，某乙不能站在排尾，有多少种站法？
（4）甲乙两人要站在相邻位置，有多少种站法？
（5）甲乙两人不能相邻而站，有多少种站法？
6. 班级有50名学生，现选派6名学牛参加社区活动，在下列情况中，各有多少种不同选法？
（1）班长与冈支部书记都须入选；
（2）班长与团支部书记只有1人入选；
（3）班长与团支部书记都不人选；
（4）班长与团支部书记至少1人入选；
7. 一次国际会议，从某大学外语系选出11名学生做翻译，两人既会英语，又会日语，5人只会英语，4人只会日语。

现从这11人中选出4名当英语翻译，4名当日语翻译，求所有选法种数．
8. 平面内有11个点，每两点连成一条直线，共连得48条不同的直线．
（1）这11个点中，有没有三点共线或多于三点共线的情况，若有的话则请说明情况．
（2）以这11个点为顶点可以构成多少个三角形？。