第五章 相交线与平行线(数学笔记)

第五章相交线与平行线
5.1 相交线（12.28-12.30）5.1.1 相交线（12.28）
1.当两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，
叫做互为邻补角；也可以说，由一条直线和端点在直线上的射线构成的两个角互为邻补角；还可以说，两条直线相交形成的四个角，有公共顶点且有一条公共边的两个角互为邻补角。

2.当两个角有一个公共顶点，并且其中一个角的两边是另一个角两边的反向
延长线，具有这种关系的两个角，叫做互为对顶角；也可以说，两条直线相交，形成四个角，其中有公共顶点，但没有公共边的角叫做互为对顶角。

3.对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角。

4.两条直线相交，产生2对对顶角，4对邻补角；三条直线相交，产生6对
对顶角，12对邻补角；n条直线相交，产生（n2-n）对对顶角，（2n2-2n）对邻补角。

5.1.2 垂线
（12.29-12.30）
1.两条直线相交形成的四个角中，若有一个角为90°，就称这两条直线互相
垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。

2.两条直线垂直式相交中一种特殊位置关系关系。

3.关系包括数量关系和位置关系。

4.射线、线段相交、垂直，都是指它们所在的直线互相垂直。

5.a⊥b，表示直线a与直线b互相垂直。

6.过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

7.过直线外一点与直线上各点的所有连线段中，垂线段最短。

简单说成：垂
线段最短。

这条线段的长度，叫做点到直线的距离。

一个点到一条直线的距离，即为过这个店作这条直线的垂线段。

5.1.3 同位角、内错角、同旁内角（12.30）
1.三线八角指两条直线被第三条直线所截形成的八个角。

2.两条直线被第三条直线所截，当两个角同在两条直线的上方（或下方），
且同在截断的那条直线（截线）左边（或右边），就称它们为同位角。

3.两条直线被第三条直线所截，当两个角在两条直线的内部，被截线错开（即
分别在截线的左右两边），就称它们为内错角。

4.两条直线被第三条直线所截，当两个角同在两条直线的内部，并且同在截
线的一边，就称它们为同旁内角。

5.2 平行线及其判定（2.16-2.21）5.2.1 平行线（2.16）
1.在同一平面内，永不相交的两条直线叫做平行线，它们互相平行，记作a
∥b。

2.在同一平面内，两条直线要么相交，要么平行。

3.平行线画法：“一落二靠三移四画”。

先将三角板的一个直角边落在已知直
线上，再用直尺靠住它的另一个直角边，将三角板慢慢向上平移，即可画出已知直线的平行线。

4.平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。

5.如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行（平行公
理推论，即平行的传递性）。

也就是说，如果a∥b，b∥c，那么b∥c。

或者说，平行于同一条直线的两条直线互相平行。

5.2.2 平行线的判定（2.17-2.21）
1.判定方法1：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条
直线平行，简单说成：同位角相等，两直线平行。

2.判定方法2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条
直线平行，简单说成：内错角相等，两直线平行。

3.判定方法3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两
条直线平行，简单说成：同旁内角互补，两直线平行。

4.在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。

5.平行线的判定六种方法：
（1）平行线定义
（2）平行公理推论
（3）判定方法1
（4）判定方法2
（5）判定方法3
（6）本页第四条（做题中，不可直接使用本推论）
5.3 平行线的性质（2.22-2.24）5.3.1平行线的性质（2.22-2.23）
1.性质1：两直线平行，同位角相等。

2.性质2：两直线平行，内错角相等。

3.性质3：两直线平行，同旁内角互补。

4.两直线不平行，它们被第三条直线所截，同位角、内错角、同胖内家也存
在。

5.同时垂直于两条平行线并家在这两条平行线间的线段的长度叫做平行线
间的距离。

这样的两条同时夹在两条平行线内的线段平行且相等。

（平行线间的距离处处相等）
5.3.2 命题、定理
（2.24）
1.判断一件事情的语句，叫做命题，命题包括题设和结论。

题设是已知事项，
结论是由已知事项推出的事项。

2.如果题设成立，结论一定成立，叫做真命题；如果题设成立时，结论不一
定成立，就成这个命题为假命题。

3.两条平行线形成的两个同位角的角平分线互相平行；两条平行线形成的两
个内错角的角平分线互相平行；两条平行线形成的两个同旁内角的角平分线互相垂直。

4.经过推论证实的真命题叫做定理。

5.4 平移
（2.25-2.28）
1.一个图形沿着一定的方向平行移动，叫做平移变换，简称平移。

2.平移前后，图形的大小形状完全形同；平移前后，对应点的连线段平行且
相等。

3.决定平移的两个条件：平移的方向、平移的距离。

4.平移的距离就是对应点连线段的长度。

第5单元复习。