高三数学一轮复习课时作业19三角函数=ω+φ的图像与性质及三角函数

课时作业(十九)A
[第19讲 三角函数y ＝A sin ωx ＋φ的图像与性质及三角函数模型的简单应用]
本卷贰O 贰贰年贰月捌日编写； 出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。

[时间是：45分钟 分值：100分]
根底热身
1．函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)的最小正周期为π，那么该函数的图像( ) A ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称 B ．关于直线x ＝π4对称
C ．关于点⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4，0对称 D ．关于直线x ＝π3对称 2．函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像的对称轴方程可以为( )
A ．x ＝π12
B ．x ＝5π
12
C ．x ＝π3
D ．x ＝π6
3．[2021·海淀二模] 假设函数y ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图像上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐
标不变，那么得到的图像所对应的函数解析式为( )
A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6
B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12
x ＋π3
C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3
D ．y ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 4．如图K19－1，单摆的摆线离衡位置的位移S (厘米)和时间是t (秒)的函数关系是S ＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫πx ＋π4，t ∈[0，＋∞)，那么摆球往复摆动一次所需要的时间是是________秒．
才能提升
5．[2021·卷] 对于函数f (x )＝2sin x cos x ，以下选项里面正确的选项是( )
A ．f (x )在⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4，π2上是递增的 B ．f (x )的图像关于原点对称 C ．f (x )的最小正周期为2π D ．f (x )的最大值为2
6．[2021·二模] 函数y ＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2是( ) A ．最小正周期是π的偶函数 B ．最小正周期是π的奇函数 C ．最小正周期是2π的偶函数 D ．最小正周期是2π的奇函数
7．[2021·质检] 用“五点法〞画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的简图时，假设所得五个点的横坐标从小到大依次为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，且x 1＋x 5＝3π
2
，那么x 2＋x 4等于( )
A.π2 B ．π C.3π
2
D ．2π 8．函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，ω>0,0≤φ≤2π)的局部图像如图K19－2所示，那么( )
A ．ω＝π2，φ＝π4
B ．ω＝π3，φ＝π6
C ．ω＝π4，φ＝π4
D ．ω＝π4，φ＝5π
4
9．[2021·质检] 函数y ＝sin x －cos x 的图像可由y ＝sin x ＋cos x 的图像向右平移( ) A.
3π
2
个单位长度得到 B ．π个单位长度得到 C.π
4个单位长度得到 D.π
2
个单位长度得到 10．[2021·模拟] 将函数y ＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，π2<φ<π的图像，向右最少平移4π3个单位长度，或者向左最少平移2π
3
个单位长度，所得到的函数图像均关于原点中心对称，那么ω＝________.
11．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋n 的最大值为4，最小值是0，最小正周期是π2，直线x ＝π
3是其图像
的一条对称轴，假设A ＞0，ω＞0,0＜φ＜π
2
，那么函数解析式为________．
12．给出下面的3个命题：
①函数y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的最小正周期是π2； ②函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3π2在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫π，3π2上单调递增； ③x ＝5π4是函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π2的图像的一条对称轴．
其中正确命题的序号是________．
13．一个物体相对于某一固定位置的位移y (cm)和时间是x (s)之间的一组对应值如下表所示：
那么其函数解析式为________________．
14．(10分)函数f (x )＝3sin2x ＋2cos 2
x .
(1)将f (x )的图像向右平移π
12个单位长度，再将周期扩大一倍，得到函数g (x )的图像，求g (x )的解
析式；
(2)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间．
15．(13分)直线y ＝2与函数f (x )＝2sin 2
ωx ＋23sin ωx cos ωx －1(ω>0)的图像的两个相邻交点之间的间隔 为π.
(1)求f (x )的解析式，并求出f (x )的单调递增区间；
(2)将函数f (x )的图像向左平移π
4个单位长度得到函数g (x )的图像，求函数g (x )的最大值及g (x )
获得最大值时x 的取值集合．
难点打破
16．(12分)复数z 1＝sin x ＋λi ，z 2＝m ＋(m －3cos x )i(λ，m ，x ∈R )，且z 1＝z 2. (1)假设λ＝0，且0<x <π，求x 的值；
(2)设f (x )＝λcos x ，求f (x )的最小正周期和单调递增区间．
课时作业(十九)A
【根底热身】
1．A [解析] 由，ω＝2，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝0，所以函数图像关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0中心对称，应选A.
2．A [解析] 由2x ＋π3＝k π＋π2(k ∈Z )得x ＝k π2＋π
12(k ∈Z )，
当k ＝0时，x ＝π
12
，应选A.
3．B [解析] 把图像上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，即周期变为原来的2倍，那么ω变为原来的1
2
，应选B.
4．2 [解析] 摆球往复摆动一次所需的时间是即为函数的周期，又函数S 的周期为T ＝2π
π＝2，故
摆球往复摆动一次所需要的时间是是2秒．
【才能提升】
5．B [解析] f (x )＝2sin x cos x ＝sin2x ，那么f (x )在⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4，π2上是递减的，A 错；f (x )的最小正周期为π，最大值为1，C 、D 错，应选B.
6．A [解析] y ＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＝sin 2
x ＝1－cos2x 2，
那么最小正周期是T ＝2π
2
＝π，且是偶函数，应选A.
7．C [解析] 根据“五点法〞的规那么知，x 1，x 2，x 3，x 4，x 5依次成等差数列，所以x 2＋x 4＝x 1＋
x 5＝
3π
2
，应选C. 8．C [解析] 由图像可知函数的最小正周期是8，根据最小正周期T ＝2πω可得ω＝π
4
，排除A 、B ，
再根据0≤φ≤2π且当x ＝1时y ＝1，可知φ＝π
4
，应选C.
9．D [解析] 把函数解析式化为y ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π4，
y ＝sin x －cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝
⎛⎭⎪⎫x －π2＋π4，应选D.
10.1
2 [解析] 因为函数的相邻两对称轴之间间隔 或者相邻两对称点之间间隔 是函数周期的一
半，那么有
T 2＝4π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3＝2π，故T ＝4π，即2πω＝4π，ω＝12
.
11．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6＋2 [解析] 由题设得，A ＝2，n ＝2，ω＝4，且当x ＝π3时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫43π＋φ＝
±1，那么φ＝π
6
，
∴所求解析式为y ＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫4x ＋π6＋2. 12．①② [解析] 因为函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的最小正周期为π，那么函数y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的最
小正周期是π2；因为函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3π2＝cos x ，那么函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3π2在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫π，3π2上单调递
增；
函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π2＝cos2x ，由2x ＝k π，k ∈Z ，得x ＝k π2，k ∈Z ，那么x ＝5π4不是函数y ＝
sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋5π2的图像的一条对称轴，故正确的命题是①②.
13．y ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2
x －π2(答案不唯一) [解析] 由散点图选用函数模型y ＝A sin(ωx ＋φ)，那么A
＝4，T ＝0.8，
∴ω＝2πT ＝5π2，即y ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2x ＋φ， 把最高点坐标(0.4,4)代入解析式，得 4＝4sin ⎝
⎛⎭
⎪
⎫5π2×0.4＋φ，即sin(π＋φ)＝1， ∴π＋φ＝π
2
＋2k π，k ∈Z ，
由五点作图法，可知π＋φ＝π2，即φ＝－π
2
，
∴描绘该物体的位移y 和时间是x 之间的函数解析式为y ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2
x －π2.
14．[解答] (1)依题意f (x )＝3sin2x ＋2·cos2x ＋1
2
＝3sin2x ＋cos2x ＋1 ＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1， 将f (x )的图像向右平移π12个单位长度，得到函数f 1(x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＋π6＋1＝2sin2x ＋1的图
像，该函数的周期为π，假设将其周期变为2π，那么得g (x )＝2sin x ＋1.
(2)函数f (x )的最小正周期为T ＝π，
当2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π
2(k ∈Z )时，函数单调递增，
解得k π－π3≤x ≤k π＋π
6
(k ∈Z )，
∴函数的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )．
15．[解答] (1)f (x )＝2sin 2
ωx ＋23sin ωx cos ωx －1 ＝1－cos2ωx ＋3sin2ωx －1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π6，
由题意可知函数的最小正周期T ＝2π
2ω＝π(ω>0)，
所以ω＝1，
所以f (x )＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π6， 令2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2其中k ∈Z ，解得k π－π6≤x ≤k π＋π
3，其中k ∈Z ，
即f (x )的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3，k ∈Z .
(2)g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π4－π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，
那么g (x )的最大值为2，
此时有2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝2，即sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝1， 即2x ＋π3＝2k π＋π2，其中k ∈Z ，解得x ＝k π＋π
12
，k ∈Z ，
所以当g (x )获得最大值时x 的取值集合为⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪⎪⎪
x ＝k π＋π
12，
k ∈Z .
【难点打破】
16．[解答] (1)当λ＝0时，由z 1＝z 2，得m ＝sin x 且m －3cos x ＝0， ∴sin x －3cos x ＝0，∴tan x ＝3， ∵0<x <π，∴x ＝π
3
.
(2)由z 1＝z 2得⎩⎨
⎧
m ＝sin x ，
λ＝m －3cos x ，
∴λ＝sin x －3cos x ，
f (x )＝λcos x ＝(sin x －3cos x )cos x
＝sin x cos x －3cos x cos x ＝12sin2x －3
2(1＋cos2x ) ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－32，
∴f (x )的最小正周期T ＝π；
由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－π12≤x ≤k π＋5π
12(k ∈Z )，
∴f (x )的单调递增区间是⎣
⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12k ∈Z .
本卷贰O 贰贰年贰月捌日编写； 出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。