2018版高中人教A版数学必修1课件：第一章 集合与函数概念1-3-1-1 精品

[典例 3] (1)函数 f(x)＝x2－2mx－3 在区间[1,2]上单调，则 m 的取值范围是________．
(2)已知 y＝f(x)在定义域(－1,1)上是减函数，且 f(1－a)＜f(2a －1)，求 a 的取值范围．
(1)[答案] (－∞，1]∪[2，＋∞)
[解析] 二次函数在某区间内是否单调取决于对称轴的位 置，函数 f(x)＝x2－2mx－3 的对称轴为 x＝m，函数在区间[1,2] 上单调，则 m≤1 或 m≥2.
答案：A 解析：结合图象可知，函数 f(x)在[－1,2]上是“上 升”的，故选 A.
2．函数 y＝(2k＋1)x＋b 在(－∞，＋∞)上是减函数，则( )
A．k>12
B．k<12
C．k>－12
D．k<－12
答案：D 解析：当 2k＋1<0，即 k<－12时，函数 y＝(2k＋
1)x＋b 在(－∞，＋∞)上是减函数．
3．函数 y＝f(x)的图象如图所示，则函数 f(x)的单调递增区间 是________．
答案：(－∞，1]和(1，＋∞) 解析：由图象可知，函数 f(x) 的单调递增区间是(－∞，1]和(1，＋∞)．
4 ． 若 函 数 f(x) 是 [ － 2,2] 上 的 减 函 数 ， 则 f( － 1)________f(2)．(填“＞”“＜”或“＝”)
－2ba，＋∞ ________ ________ ________
________
________ ________
增函数
答案：减函数 (－∞，0) 减函数 (0，＋∞) 增函数 (－ ∞，0) 增函数 －∞，－2ba 减函数
－2ba，＋∞ 减函数 －∞，－2ba
[想一想] 1．若函数 y＝f(x)满足 f(2)>f(3)，则函数 f(x)在[2,3]上是单调 递减的吗？
(2)单调性定义法 ①作差，因式分解； ②判断各因式符号； ③如果各因式符号确定，则函数在整个定义域上具有单调 性，如果有一个因式符号不确定，则需确定分界点以确定单调区 间．因式符号必须是在某个区间内恒成立，如：本例因式 x1x2－ 9.
[典例 1] (1)如图所示的两图分别为函数 y＝f(x)和 y＝g(x) 的图象，试写出函数 y＝f(x)和 y＝g(x)的单调递增区间．
[巧归纳] 证明或判断函数单调性的方法主要是定义法(在 解决选择或填空题时有时可用图象法)．
利用定义法证明的过程中要注意 x1，x2 在所给区间上的任意 性，切忌以特殊代替一般．
[练习 2]已知函数 f(x)＝x2＋－1x，求证：函数 f(x)在(－1，＋∞) 上为减函数．
证明：任取 x1，x2∈(－1，＋∞)，且 x1＜x2. 则 f(x1)－f(x2)＝2x1－＋x11－2x2－＋x12 ＝x13＋x12－xx2＋1 1. ∵x2＞x1＞－1， ∴x2－x1＞0，(x1＋1)(x2＋1)＞0， 因此 f(x1)－f(x2)＞0，即 f(x1)＞f(x2)， 所以 f(x)在(－1，＋∞)上为减函数．
完成课时作业（十）
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答案：＞ 解析：∵f(x)在[－2,2]上是减函数，且－1＜2， ∴f(－1)＞f(2)．
5．求证：函数 f(x)＝x12在(0，＋∞)上是减函数．
证明：对于任意的 x1，x2∈(0，＋∞)，且 x1<x2， 有 f(x1)－f(x2)＝x2－xx121xx222＋x1. ∵0<x1<x2， ∴x2－x1>0，x2＋x1>0，x21x22>0， ∴f(x1)－f(x2)>0，即 f(x1)>f(x2)， ∴函数 f(x)＝x12在(0，＋∞)上是减函数．
3．函数 y＝x2 在区间(－∞，0)上是递减的，能否也说在(－ ∞，0]上是递减的？
答案：可以，一般来说只要在区间端点有定义，含不含端点 值不影响单调性．
4．在函数是递增的或递减的定义中，x1－x2 的符号与 f(x1) －f(x2)的符号之间有什么关系？
答案：当函数是递增的时，x1－x2 与 f(x1)－f(x2)是同号的； 当函数是递减的时，x1－x2 与 f(x1)－f(x2)是异号的．
第一章 集合与函数概念Байду номын сангаас
1．3 函数的基本性质
1．3.1 单调性与最大(小)值
第1课时 函数的单调性
[填一填] 一、定义域为 I 的函数 f(x)的增减性
答案：⊆ f(x1)＜f(x2) f(x1)＞f(x2) 增函数 减函数
二、函数的单调性与单调区间 如果函数 y＝f(x)在区间 D 上是________，那么就说函数 y ＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间 D 叫做 y＝f(x)的 ________．
5．是不是所有的函数都具有单调性？
答案：并非所有的函数都具有单调性，例如函数 f(x)＝
1，x是有理数， 0，x是无理数
就不具有单调性．
类型 1 求函数的单调区间 [要点点击] 如何求函数的单调区间 (1)图象法 ①作出函数图象；
②把函数图象向 x 轴作正投影，如图所示； ③上升图象对应增区间，下降图象对应减区间．
[巧归纳] (1)本题逆用函数单调性，将函数值的不等关系， 转化为与之等价的代数不等式组，但一定注意定义域．
(2)设 x1，x2∈D，且 x1＜x2： ①f(x1)＜f(x2)⇔f(x)在 D 上是增函数；
②f(x1)＞f(x2)⇔f(x)在 D 上是减函数．
[练习 3]已知函数 f(x)是定义在 R 上的增函数，且 f(4a－3)>f(5 ＋6a)，则实数 a 的取值范围是________．
[易错误区] 利用函数的单调性求参数的范围因考虑不周致 误
[示例] 若函数 f(x)＝4x2－kx－8 在[5,8]上是单调函数，则 k 的取值范围是________．
[答案] (－∞，40]∪[64，＋∞)
[解析] 由题意可知二次函数的图象开口向上，对称轴是 x
＝
k 8
，
所
以
函
数
的
单
调
增
区
间
是
(2)[思路点拨] 抽象不等式，利用单调性，将函数值的不等 关系转化为自变量取值的不等关系，即化为具体的不等式求解．
[解析] 由题意知，－ －11＜ ＜12－ a－a＜ 1＜1， 1， 解得 0＜a＜1.① 又∵f(x)在(－1,1)上是减函数， 且 f(1－a)＜f(2a－1)， ∴1－a＞2a－1，即 a＜23.② 由①②得 0＜a＜23， ∴a 的取值范围是0，23.
(2)[解析] 因为 f(x)＝－x2＋2|x|＋3 ＝－－xx22＋－22xx＋＋33，，xx≥<00. ，
根据解析式可作出函数的图象如图所示，由图象可知， f(x)的单调增区间是(－∞，－1]，[0,1)，单调减区间是(－1,0)， [1，＋∞)．
[巧归纳] (1)求函数的单调递增区间，即从图象上确定上升 的部分 x 的取值区间，注意区间的端点值，两个区间不连续不能 用“∪”．
(2)准确简捷地作出图象求解是这类问题的关键，作图时应先 去掉“||”，化成分段函数，作出 x≥0 时的图象，根据 f(x)的奇偶 性作出 x<0 时的图象．
(3)记住常见函数的单调性，有利于我们快速判断．
[练习 1]画出函数 y＝|x|(x－2)的图象，并指出函数的单调区 间．
解：y＝|x|(x－2) ＝x－2－x22＋x＝2x＝x－－1x2－－11，2＋x≥1，0，x<0， 函数的图象如图所示．
答案：单调函数 单调区间
三、反比例函数和二次函数的单调区间与单调性
函数 参数 单调区间 单调性
(0，＋∞) ________ k＞0
y＝xk
________ ________ ________ ________
k＜0
________ 增函数
函数 参数 单调区间 单调性
y＝ax2＋bx ＋c
a＞0 a＜0
由函数的图象知：函数的单调递增区间为(－∞，0]和[1，＋ ∞)，单调递减区间为[0,1]．
类型 2 函数的单调性的判断与证明 [要点点击] 利用定义证明函数单调性的步骤
[典例 2] 求证：函数 f(x)＝x＋4x在(2，＋∞)上是增函数． [ 思 路 点 拨 ] 在给定区间上任取x1，x2，且x1＜x2 → 作差 → 变形 → 判断符号 → 得出结论
[证明] 任取 x1，x2∈(2，＋∞)，且 x1＜x2， 则 f(x1)－f(x2)＝x1＋x41－x2－x42 ＝(x1－x2)＋4xx21－x2x1 ＝(x1－x2)x1xx12x－2 4. ∵2＜x1＜x2， ∴x1－x2＜0，x1x2＞4，x1x2－4＞0，
∴f(x1)－f(x2)＜0， 即 f(x1)＜f(x2)． ∴函数 f(x)＝x＋4x在(2，＋∞)上是增函数．
8k，＋∞
，
单
调
减
区
间
是
－∞，8k. 因为函数 f(x)＝4x2－kx－8 在[5,8]上是单凋函数，
所以8k≥8 或8k≤5，即 k≥64 或 k≤40.
[常见误区]
错解
错因剖析
(－∞，40] 阴影处易忽略二次函数有两个
单调区间，只考虑其中一个单 [64，＋∞)
调区间，而漏解
[防范措施] 函数单调性的应用 在利用函数的单调性求参数范围时，尤其出现二次函数和分 段函数时，要画出函数的图象，从而避免在求参数的取值范围时 忽略函数单调区间的个数而漏解，如本例中只说函数在[5,8]上是 单调函数，没说增函数或是减函数，所以两个单调区间都要考虑．
答案：不能确定．由特殊值的大小不能判定函数的单调性．
2．若函数 f(x)在(1,2)和(2,3)两个区间上均是单调递减的，则 函数 f(x)在(1,3)上是单调递减的吗？
答案：函数在定义域内的两个区间 A，B 上都是递增(或递减) 的，一般不能认为函数在 A∪B 上是递增(或递减)的．例如，函 数 f(x)＝1x在(－∞，0)和(0，＋∞)上分别是递减的，但不能说在(－ ∞，0)∪(0，＋∞)上是递减的，不能写成两个区间的并集．
答案：(－∞，－4) 解析：由题意，得 4a－3>5＋6a，即 a<－4.
[当堂达标] 1．函数 f(x)的图象如图所示，则( )
A．函数 f(x)在[－1,2]上是增函数 B．函数 f(x)在[－1,2]上是减函数 C．函数 f(x)在[－1,4]上是减函数 D．函数 f(x)在[2,4]上是增函数
(2)求 f(x)＝－x2＋2|x|＋3 的单调区间．
(1)[解析] 由题图①可知，在区间[1,4]和区间(4,6]内，函数 y＝f(x)是增函数，
由题图②可知，在区间[－1,0]和[1,2]内，y＝g(x)是增函数． y＝f(x)的单调递增区间是[1,4]和(4,6]，函数 y＝g(x)的单调递 增区间是[－1,0]和[1,2]．
类型 3 由函数的单调性求参数的取值范围 [要点点击] “函数的单调区间为 I”与“函数在区间 I 上单 调”的区别 单调区间是一个整体概念，说函数的单调递减区间是 I，指 的是函数递减的最大范围为区间 I，而函数在某一区间上单调．则 指此区间是相应单调区间的子区间，所以我们在解决函数的单调 性问题时，一定要仔细读题，明确条件含义．