2021年学年度第一学期高三年级检测数学试题

2021年学年度第一学期高三年级检测数学试题
山东省烟台市_—_学年度第一学期高三年级检测
数学试题
本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分150分,考试时间120分钟.
第Ⅰ卷(选择题共60分)
一 .选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1．下列四个函数中,以π为最小正周期,且在区间(,π)上为减函数的是
A.y=cos _
B.y=2sin _
C.y=cos
D.y=tan _
2．过点P(-1,2)且方向向量为a=(-1,2)的直线方程为
A．2_+y=0
B._-2y+5=0
C._-2y=0
D._+2y-5=0
3．已知集合M={0,1,2},N={__=2a,a∈M},则集合M∩N等于
A．{0}
B.{0,1}
C.{1,2}
D.{0,2}
4．不等式＜0的解集为t_jy
A.{__＜0,或_＞3}
B.{_-2＜_＜0,或_＞3}
C.{__＜-2,或_＞0}
D.{__＜-2,或0＜_＜3}
5．已知a⊥b,a=2,b=3,且3a+2b与λa-b垂直,则λ等于t_jy
A.
B.-
C.±
D.1
6．设S是等差数列{a}的前n项和,若=,则等于t_jy
A．-1
B. C.1 D.2
7．直线_+ay+1=0与直线(a+1)_-by+3=0互相垂直,a,b∈R,则ab的最小值是 A．5
B.4
C.2
D.1
8．为了得到函数y=sin(2_-)+1的图象,只需将函数y=sin 2_的图象( )平移得到
A．按向量a=(-,1)
B. 按向量a=(,1)
C.按向量a=(-,1)
D.按向量a=(,1)
9．已知p:不等式_+_-1＞m的解集为R:q:f(_)=-(5-2m)是减函数,则p是q的
A．充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
10.设b＞0,二次函数y=a_+b_+a-1的图象为下列之一: 则a的值为
A．1
B.-1
C.
D.
11.(文科做)已知f(_)是定义在R上的奇函数,且当_＜0时,f(_)=2,则f(-)的值为
A.-2
B.-
C. D.2
(理科做)若f(_)=-_+2a_与g(_)=,在区间［1,2］上都是减函数,则a的取值范围是
A．(-1,0)∪(0,1)
B.(-1,0) ∪(0,1]
C.(0,1)
D.(0,1]
12.在某种新型材料的研制中,实验人员获得了下列一组实验数据:
现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律,其中最接近的一个是
_
1.99
3
4
5.1
6.12
Y
1.5
4.04
7.5
12
18.01
A．y=2_-2
B.y=(_-1)
C.y=log_
D.y=log_
第Ⅱ卷(非选择题)
二.填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分,把答案填在题中横线上.
13.向量a=(n,1)与b=(4,n)共线且方向相同,则n=_____________.
_≥2,
14．若y≥2,则目标函数z=_+3y的最大值是_________________.
_+y≤6,
15.若直线l将圆_+y-2_-4y=0平分,且l不通过第四象限,则l的斜率的取值范围为___ .
16.若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的〝基本量〞.设{a}是公比为q的无穷等
比数列,下列{a}的四组量中,一定能成为该数列〝基本量〞的是第_______组(写出所有符合要求的组号).①S与S; ②a与S; ③a与a; ④q与a.其中n为大于1的整数,S为{a}的前n项和.
三 .解答题:本大题共6小题,共74分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分12分)
已知α为锐角,且sinα-sinαcosα-2cosα=0.
(1)求tanα的值;
(2)求sin(α-)的值.
18.(本小题满分12分)
已知A(3,0),B(0,3),C(cosα,sinα),O为坐标原点.
(1)若;
(2)若, 且α∈(0,π),求角.
19．(本小题满分12分)
等比数列{a}同时满足下列三个条件:
①a②a③三个数4a依次成等差数列.
(1)试求数列{a}的通项公式;
(2)记,求数列{b}的前n项和T;
(2)(理科做)设S是数列{a}的前n项和,证明≤1.
20.(本小题满分12分)
某商场预计全年分批购入每台价值为2000元的电视机共3600台,每批都购入_台(_∈N),且每批均需付运费400元,储存购入的电视机全年所付保管费与每批购入电视机的总价值(不含运费)成正比.若每批购入400台,则全年需用去运费和保管费43600元.现在全年只有24000元资金可以用于支付这笔费用,请问能否恰当安排每批进货的数量,使资金够用?写出你的结论,并说明理由.
21.(本小题满分12分)
已知点P到两个定点A(1,0),B(2,0)的距离的比为.
(1)求点P的轨迹C的方程;
(2)是否存在过点A(1,0)的直线l交轨迹C于M,N两点,使S=(O为坐标原点),若存在,求出l的方程;若不存在,说明理由.
22.(本小题满分14分)
(文科做)已知f(_)是定义在［-1,1］上的奇函数,且f(1)=1,若a,b∈［-1,1］,a+b≠0有＞0.
(1)判断函数f(_)在［-1,1］上是增函数,还是减函数,并证明你的结论;
(2)解不等式f(_+)＜f(
(3)若f(_)≤m-2am+1,对所有_∈［-1,1］,a∈［-1,1］恒成立,求实数m的取值范围.
(理科做)二次函数y=a_+_+1(a＞0)的图象与_轴两个交点的横坐标分别为_._.
(1)证明(1+_)·(1+_)=1;
(2)证明_＜-1,_＜-1;
(3)若_._满足不等式lg≤1,试求a的取值范围.
高三数学参考答案
一. B A D D A C C B A B D B
二. 13. 2 14.14 15.［0,2］16.①④
三. 解答题
17.解:(1)因为α为锐角,所以c osα≠0.因为sinα-sinαcosα-2cosα=0,
所以tanα-t anα-2=0,
解得tanα=2,或tanα=-1(舍去).
即tanα=2.
(2)由得或(舍去)
sin(-
=
18.解:(1)
即 sin+cos=
sin+2sincos+cos=
所以sin2=-
(2)
因为
因为α∈［0,π］,所以α= cos_lt;=,
所以_lt;
即
19．解:(1)由得或
∴a()
当a时,4a+a=16,4a=16,
所以4a,2a,a成等差数列. 当a()时,4a,舍去.
所以数列{a的通项公式为a
(2)因为b
所以T ①
,②
①-②得:
所以T
(3)(理科)由a
所以
≤
所以
20．解:设每批购入电视机_台时,全年费用为y元,保管费与每批购入电视机总价值的比例系数为k,依题意有,
y=
由已知当_=400时,y=43600代入上式,解得:
k=
所以y==24000,
当且仅当,等号成立.
即_=120台时,全年共需要资金24000元.
答:每批购进电视机120台时,全年的资金2400元够用.
21．解:(1)设P(_,y)是所求轨迹上的任意一点,则
=,
即_
(2)
当直线l⊥_轴时,不合题意.
当直线l的斜率存在时,设l的方程为y=k(_-1),则
即(1+k
设l交C于M(_,则
_
MN=
点O到直线MN的距离为d,
则d=,
所以S
即k
解得:k
所以直线l的方程为y=_-1或y=-_+1.
22．(文科)解:(1)任取_∈［-1,1］,且_＜_,则-_∈［-1,1］,又f(_)是奇函数,于是有:
f(_)-f(_)=f(_)+f(-_)=·(_-_),
由已知＞0,_-_＜0,
所以f(_)-f(_)＜0,即f(_)＜f(_).
所以函数f(_)在［-1,1］上是增函数.
(2)
因为函数f(_)在［-1,1］上是增函数,所以不等式f(_+＜f(等价于不等式组:
由①得-由②得_0,或_≥2;由③得_＜-1,或1＜_＜
所以原不等式的解集为{_-＜-1}.
(3)因为函数f(_)在［-1,1］上都是增函数,且f(1)＝1,故对所有的_∈［-1,1］,有f(_)≤1.
由已知,对所有的_∈［-1,1］,a∈［-1,1］,f(_)≤m,有m≥1成立,即m≥0.
记g(a)=-2am+m∈［-1,1］,g(a) ≥0成立,只需g(a)在［-1,1］上的最小值大于等于0.
即
解得:m≤-2,或m=0,或m≥2.
故m的取值范围为m≤-2,或m=0,或m≥2.
(理科)解:(1)由题意知_._是一元二次方程a_的两个实根,所以_+_=-
_+_=-__.
所以(1+_)(1+_)=1.
由方程a_(a＞0)的判别式Δ=1-4a≥0解得0＜a＜
所以y=a_( a＞0)的图象的对称轴-≤-2＜-1,且f(-1)=a＞0.
所以二次函数y=a_( a＞0)的图象与_轴两个交点都在-1点的左侧,即_＜-1,_＜-1.
(3)由lg≤1,可得≤≤10.
又由(1),_=
所以≤≤10,所以≤≤.
所以＝--［-］+
所以当-,a取最大值;当-=, a取最小值.
所以a的取值范围为［,］.。