大学物理：第 22 章 量子力学基础

海森堡（W. Heisenberg）在1927年发表了著名的位 置—动量不确定关系
x px ~ h
以电子的单缝衍射为例说明。电子的单缝衍射 “中央亮纹”半角宽度满足：
x
如果把单缝看成对电 子坐标的测量仪器， x— 相当于对电子坐 标测量的不确定度。 单缝存在使电子在x方向的动量分量出现不确定性
的概率为：
对N 个粒子， N Ψ
给出粒子数的分布密度。
* ( r , t )dV r , t r , t dV * dN NΨ r , t Ψ r , t dV
对N 粒子系，在体积元 dV 中发现的粒子数为
[例22-2] 用几率波说明弱电子流单缝衍射 让入射电子几乎一个一个地通过单缝 底片上出现一个一个的点子，开始时 点子无规则分布 —— 说明电子具有 “粒子性”，但不满足经典的决定论。 随着电子数增大，逐渐形成衍射图 样——衍射图样来源于“单个电子” 所具有的波动性——统计规律。 一个电子重复许多次相同实验表现 出的统计结果。 德布洛意波（物质波）也称为概率波。
Einstein-Bohr 争论（1927-1955） 在1927年Solvey会议上： Einstein: 按照电子的衍射，某一电子落在何处与前 一个电子落在何处有关，这是不可能的。 Bohr: 不是前后电子之间相互影响，而是单个电 子的运动具有不确定性。
Einstein: 不相信单个电子的运动是不确定的，可以 设计更精确的实验仪器解决。
说明：
1. Ψ ( r , t ) 不同于经典波的波函数，它无直接的物理意义。
有意义的是
2 * r , t r , t r , t r , t
2
对单个粒子， Ψ
给出粒子的概率分布密度；
2
在时刻 t、空间 r 点处，体积元 dV 中发现微观粒子
第 22 章 量子力学基础
第 22 章 量子力学基础
§22.1 实物粒子的波动性 §22.2 波函数及统计解释 §22.3 不确定性关系 §22.4 薛定谔方程 §22.5 力学量算符的本征值问题 §22.6 薛定谔方程的应用 §22.7 氢原子量子理论 §22.8 电子的自旋 泡利不相容原理
§22.1 实物粒子的波动性、微观粒子波动性的应用• 1933 年，德国的 E.Ruska 和 Knoll 等人研制成功第 一台电子显微镜。 鲁斯卡：电子物理领域的基础 研究工作，设计出世界上第一 台电子显微镜，1986诺贝尔物 理学奖
• 1982年，IBM的G.Binnig和H.Rohrer研制成功第 一台隧道扫描显微镜（STM）。
I
此时电表中应出现最 大的电流。
12.25 2d sin k U
k 1,2,3,
d
若固定 角，改变加速电压，会多次出现电流极大
I
实验结果:
若固定 角，改变加速电压，会多次出现电流极大
2. G.P.汤姆逊实验 1927年英国物理学家G.P.汤姆逊做了电子通过金 多晶薄膜的衍射实验
少数几个电子
数百个电子
数万个电子
2. 如何理解微观粒子的波粒二象性 （1）粒子性 指它与物质相互作用的 “整体性”。但不是 经典的粒子，因为微观粒子没有确定的轨道。 (2) 波动性
“弥散性”、“可叠加性”、“干涉”、“衍 射”。不 是经典的波，并不对应某真实物 理量的波动。 (3) 在一些情况下，实物粒子突出显示出其粒子特 性；而在另一些情况下，则突出显示出波动特 性—即波粒二象性。
“波动性”与“粒子性”的联系——玻恩统计解 释。
3. 关于量子力学的争论 • 以玻耳为首，包括海森堡、狄拉克、玻恩的哥本 哈根学派：宇宙中事物偶然性是根本的，必然性是 偶然性的平均表现。 • 以爱因斯坦为首，包括薛定 谔、德布罗意学派：自然规律 根本上是决定论的。“上帝肯 定不是用掷骰子来决定电子应 如何运动的！” “God does not play dice”
1107 eV
谱线宽度：

与实验测量结果吻合！
E 1108 Hz h
原子基态寿命无穷长，基态有确定的能量值。
说明： •不确定性与测量没有关系，是微观粒子 波—粒二象性的体现。
•不确定性的物理根源是粒子的波动性。
•不确定性关系限定了使用经典语言的范围和度 [例22-4] 氢原子中的电子的轨道运动速度为106m/s， 速度的不确定度： p 1 v 106m/s ，v~v 可见波动性十分明显，不能用轨道概念描述! 但威尔逊云室可看到一条白亮的粒子径迹～10-4 cm ， 由此可得：
对坐标 x 测量得越精确（x 越小），动量不确定性 px 就越大(衍射越厉害)。 电子的坐标和动量不能同时确定。 不限制电子坐标时，动量可以取确定值。 严格的不确定性关系应该是：
x p x 2 y p y 2 z p z 2
[例22-2] 氦氖激光器发光波长 632.8nm ， 谱线宽度 109 nm ， 求即相干长度，
1986 诺贝尔物理学奖 宾尼：设计出扫描式 隧道效应显微镜
END
1986 诺贝尔物理学奖 罗雷尔：设计出扫描 式隧道效应显微镜
§22.2 波函数及统计解释
一、波函数
既然粒子具有波动性，应该有描述波动性的函数— —波函数。
奥地利物理学家薛定谔（E．Schrö dinger）1925 年提出用波函数Ψ(r, t)描述粒子运动状态。
——玻尔量子化条件
德布罗意用物质波的概念成功地解释了玻尔提出的 轨道量子化条件 。
二、物质波的实验验证
1. 戴维逊—革末实验（ C．J．Davisson，1881－ 1958； L．H．Germer，1895－1971 ） 贝耳电话公司实验室 的戴维逊和革末研究 探测器 电子枪 电子在镍单晶上的衍 射（1927）。 实验装置示意图 假如电子具有波动性， 应满足布喇格公式
粒子对应的波长太小，波动性无法表现出来！
对于电子， m= 9.110-31 kg，设加速电压为U
12.25 A U
相当于晶格常数量级，通过类似于晶体对X射线的衍 射，可以实现晶体对电子的衍射。
[例22-2] 德布罗意把物质波假设用于氢原子认为：如 果电子在经典的圆轨道上运动，它对应于一个环形驻 波，满足
( x , t ) i p x ( x, t ) x
按德布罗意假设：能量E、动量 p 的“自由粒子” 沿x方向运动对应的物质波应为“单色平面波”：
( x, t ) 0e
i (t kx)
或由关系数
E ,
可将波函数改写为
p k
i ( Et px )
( x, t ) 0e
——0为待定常数
若粒子为三维自由运动，波函数可表示为
(r , t ) 0 e
i ( pr E t)
波函数的物理意义是什么？粒子的什么性质在波动？
二、波函数的统计解释
对应粒子波动性的波函数做为一个重要的新概念登 上量子力学舞台后，其本身的物理意义却模糊不清， 使许多物理学家感到迷惑不解而大伤脑筋。 爱因斯坦为了解释光粒子（光量子或光子）和波的二 象性，把光波的强度解释为光子出现的几率密度。 玻恩(M．Born，1882－1970)在这个观 念的启发下，马上将其推广到Ψ函数上： |Ψ|2必须是电子（或其它粒子）的几率 密度” 。 （ r ,t）的物理意义在于： 波函数的模的平方（波的强度）代 表时刻 t、在空间 r 点处，单位体 积元中微观粒子出现的概率。 1954年，玻恩获诺贝尔物理奖。
m
2m x
p ~ 1028 kg m/s 但
END
p ~ 1023 kg m/s
p>>p，波动性不是很明显，轨道概念仍适用。
§22.4 薛定谔方程
按照经典波动理论，波动的物理量满足如下形 式的波动方程：
y 2 y V 2 2 t x
2 2
V为波速
物质波的波动方程是什么？ 德布洛意关于电子波动性的假设传到苏黎士后， 德 拜 (P.Debye ， The Nobel Prize in Chemistry 1936) 说，“一个没有波动方程的波动理论太肤 浅了！”。当时年轻的薛定谔在场。在一周后聚 会时薛定谔说：“我找到了一个波动方 程！”。——量子力学中的基本动力学方程。
具有能量 E 和动量 p的实物粒子所联系的波的频率 和波长有关系：
E h h p
这种波既不是机械波也不是电磁波，称为物质波或德 布罗意波。 在答辩会上有人问： “这种波怎样用实验来证实呢？”
德布罗意答：“可以从电子在晶体上散射这样的实 验 中检查到这样的波。”
朗之万把德布罗意的文章寄给爱因斯坦，爱因斯坦说： “揭开了自然界巨大帷幕的一角” “瞧瞧吧，看来疯狂，可真是站得住脚呢” 尽管此假说的有待实验检验，但爱因斯坦还是推荐德 布罗意取得了博士学位。 虽然后来的实验验证由戴维孙和革末完成了，但当 时纯粹是理论推测。 [例22-1] 估算: m=1g，v=1 cm/s的实物粒子的波长
Bohr:
所有粒子的不确定性是原则的、本性的。
Einstein: 我不相信上帝会玩骰子（色子）。 Bohr: 不要指挥上帝去做什么。
三、波函数应满足的条件
1. 自然条件：单值、有限和连续
2. 归一化条件
粒子出现在dV 体积内的几率为：
2 ( r , t ) d V ( r , t ) dV
x p x 2
变为
h ct 2 c
同样可得粒子处于某状态的能量和时间的不确定性 关系
E t 2
[例22-3] 原子在激发态的寿命为10-8 s，由不确定关系
E t 2
可以解释为什么原子谱线自然宽度
E 2t
光具有波粒二象性，那么实物粒子是否也应具有 波粒二象性？或实物粒子具有波动性吗？
一、 德布罗意物质波假设
德布罗意（L.V. de Broglie 1892-1986，法国 ）从光具有 波粒二象性出发，认为实物 粒子也应具有波动性。
1924年11月在巴黎大学提交的博士论文中提出：
“我们因而倾向于假定，任何运动物体都伴随着一个 波动，而且不可能把物体的运动跟波的传播拆开。”
粒子在空间各点的概率总和应为 l，

Ψ (r , t )Ψ (r , t )dV 1
*
— ( 全空间 )
END
§22.3 不确定性关系
一、位置—动量不确定关系
按照经典波动理论，约束在空间某区域内的波不可 能是单色的——不可能具有唯一的波长。 这一结论对物质波同样正确：被束缚在某区域的粒 子不可能具有确定的动量，即粒子的坐标和动量不 能同时取确定值，存在一个不确定关系。
解：当这种光子沿 x 方向传播时，它的 x坐标的不确 定就是即相干长度，也就是波列长度 谱线展宽导致光子动量的不确定
2 2 x 2px 4π 2 x 400km
2
p x
h

h p
二、能量和时间的不确定关系
将上例激光光子位置-动量不确定性关系
一、薛定谔方程的建立
自由粒子波函数 对波函数微分得
( x, t ) 0e
i ( p x x Et )
( x , t ) i － E ( x , t ) t ( x , t ) i E ( x, t ) t
ˆ E i t
—能量算符
px ( x , t ) i ( x, t ) x
1929年 德布洛意获诺贝尔物理奖。 1937年 戴维逊 与 G.P.汤姆逊获诺贝尔物理奖。
3. 约恩逊实验 1961年C. Jö nsson运用铜箔中形成的2-5条细缝 得到了电子的多缝干涉图样。
4. 其它实验 1930 年艾斯特曼 (Estermann) 、斯特恩 (Stern) 、 和他们的同事们证实了普通原子具有波动性。 后来实验又验证了质子、中子等实物粒子都具有 波动性。