河南省洛阳市高考数学考前综合练习试题(五)理(含解析)

河南省洛阳市2016届高考数学考前综合练习试题（五）理（含解析）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项
是符合题目要求的.
1.已知全集{}(){}
2,|20,|y lg 1U R A x x x B x x ==->==-集合，则集合()U C A B =
（ ）
A ．{}
|0,2x x x <>或 B ．{}|12x x << C ．{}|12x x <≤ D ．{}|12x x ≤≤ 【答案】C
考点：集合运算 【方法点睛】
1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合．
2．求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．
3．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn 图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍． 2.如图，复平面上的点1234,Z ,,Z Z Z 到原点的距离都相等，若复数z 所对应的点为1Z ，则复数z i （i 是虚
数单位）的共轭复数所对应的点为（ ）
A ．1Z
B ．2Z
C ．3Z
D ．4Z 【答案】B 【解析】
试题分析：z i 为将复数z 所对应的点逆时针旋转90得2Z ，选B. 考点：复数几何意义
【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运
算
，
要
切
实
掌
握
其
运
算
技
巧
和
常
规
思
路
，
如
()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如
复数(,)+∈a bi a b R 的实部为a 、虚部为b 、模为22+a b 、共轭为.-a bi 3.平面向量a 与b 的夹角为60°，()2,0,1a b ==，则2a b +等于（ ） A ．23 B ．4 C ．12 D ．16 【答案】A
考点：向量的模
4.已知双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的一条渐近线与直线310x y ++=垂直，则双曲线的
离心率等于 （ ） A 23
B 3
C 6
D 10【答案】D 【解析】
试题分析：由题意得
2221
()139103
b b a
c a a e a ⋅-=-⇒=⇒-=⇒=，选D. 考点：双曲线的离心率
【方法点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程或不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式，建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等. 5.将函数sin cos 22y x x ϕϕ⎛⎫
⎛
⎫=+
+ ⎪ ⎪
⎝
⎭⎝
⎭的图象沿x 轴向右平移8π个单位后，得到一个偶函数的
图象，则ϕ的 取值不可能是（ ） A ．54π-
B ．4π-
C ．4
π
D ．34π 【答案】C
考点：三角函数图像与性质
【思路点睛】三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言. 函数y ＝Asin(ωx＋φ)，x∈R 是奇函数⇔φ＝kπ(k∈Z)；函数y ＝Asin(ωx＋φ)，x∈R 是偶函数⇔φ＝kπ＋π2(k∈Z)；函数y ＝Acos(ωx＋φ)，x∈R 是奇函数⇔φ＝k π＋π
2(k∈Z)；
函数y ＝Acos(ωx＋φ)，x∈R 是偶函数⇔φ＝kπ(k∈Z)； 6.已知(){},|1,1x y x y Ω=
≤≤，A 是由直线y x =与曲线3
y x
=围成的封闭区域，用随机
模拟的方法求
A 的面积时，先产生[]0,1上的两组均匀随机数，12,,
,N x x x 和12,,,N y y y ，由此得N 个
点
()(),1,2,3,
,N i i x y i =，据统计满足3(1,2,3,
,)i i i x y x i N ≤≤=的点数是1N ，由此可得
区域A 的面积
的近似值是（ ） A ．
1N N B ．12N N C ．1
4N N
D ．18N N 【答案】B 【解析】
试题分析：根据对称性，落在封闭区域中的点数共有21N 个，再根据频率估计概率得：区域A
的面积的近似值是
1
2N N
，选B. 考点：频率估计概率
7.已知{}n a 为正项等比数列，n S 是它的前n 项和，若116a =，且4a 与7a 的等差中项为98
，则5S 的值（ ）
A ．29
B ．31
C ．33
D ．35 【答案】B
考点：等比数列公比
【思路点睛】等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形. 在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.
8.已知函数()1x f x e =-满足()()()f a f b a b =≠，在区间[],2a b 上的最大值为1e -，则
b 为（ ）
A ．
12 B ．1ln 2 C ．13 D ．1ln 3
【答案】A 【解析】
试题分析：由题意得21
(1)11,02
a
b
e e e a b b --=-=-<<⇒=
，选A. 考点：函数最值
9.已知数列{}n a 中，111,n n a a a n +==+，若利用如图所示的程序框图计算该数列的第10项，则判断框内
的条件是（ ）
A ．6n <？
B ．7?n <
C ．8?n ≤
D ．9?n ≤ 【答案】D 【解析】
试题分析：第一次循环：21=,2m a n ≤=成立，S ，依次类推，第九次循环：
109=,10m a n ≤=成立，S ，第十次循环：10m ≤不成立，输出第10项，因此910m ≤<，
选D.
考点：循环结构流程图
【名师点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.
10.如图，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D - 中，P 为11A D 的中点，Q 为11A B 上任意一点，,E F 为
CD 上任意两点，且EF 的长为定值，则下面的四个值中不为定值的是（ ）
A ．点P 到平面QEF 的距离
B ．三棱锥P QEF -的体积
C ．直线PQ 与平面PEF 所成的角
D ．二面角P EF Q --的大小
【答案】
C
考点：线面关系
11.()10
a b c ++展开并合同类项后的项数是（ ）
A ．11
B ．66
C ．76
D ．134 【答案】B 【解析】
试题分析：()10
10=[()]a b c a b c ++++展开后有11项，再将(),(10,9,
,1,0)m
a b m +=展
开后有11,10,9,,1，故共有11+10+9+
+1=66项，选B.
考点：二项展开式定理
12.已知函数()()2
11,
02ln 1,0x x f x x x ⎧+≥⎪
=⎨⎪--<⎩
，若函数()()F x f x kx =-有且只有两个零点，则k
的取值范围为 （ ）
A ．()0,1
B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
C ．1,12⎛⎫
⎪⎝⎭
D ．()1,+∞ 【答案】C
考点：函数零点
【方法点睛】利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法 (1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解. (2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.
(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解. 二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.若某几何体的三视图如右图所示，则此几何体的体积是______________．
【答案】
223
【解析】
试题分析：几何体为一个正方体截去一个三棱锥，其中正方体棱长为2；三棱锥底面为等腰直角三角形，腰为2，高为1；因此体积为2
2
11
22222132
3
⨯-⨯⨯⨯= 考点：三视图 【名师点睛】
1.解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图． 2．三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据．
14.若曲线2x
y e =在点()0,1处的切线的斜率为k ，则直线y kx =与2
y x =围成的封闭图形的
面积为 ___________． 【答案】
43
考点：定积分
【方法点睛】1.求曲边图形面积的方法与步骤
(1)画图，并将图形分割为若干个曲边梯形；
(2)对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分的上、下限；
(3)确定被积函数；
(4)求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值的和．
2．利用定积分求曲边图形面积时，一定要找准积分上限、下限及被积函数．当图形的边界不同时，要分不同情况讨论．
15.已知实数,x y满足条件
50
30
x y
x y
y
-≤
⎧
⎪
+-≥
⎨
⎪-≤
⎩
，若不等式()()2
22
m x y x y
+≤+恒成立，则实数m
的最大值是____________．
【答案】
25
13
考点：线性规划求最值，不等式恒成立
【名师点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.
16.如图，从点()
,4
M x发出的光线，沿平行于抛物线28
y x
=的对称轴方向射向此抛物线上的点P，经抛
物线反射后，穿过焦点射向抛物线上的点Q，再经抛物线反射后射向直线:100
l x y
--=上
的点N ，经直
线反射后又回到点M ，则0x 等于_____________．
【答案】6 【解析】
试题分析：由题意得(2,4),F(2,0)Q(2,4)P ⇒-，因此(6,4)N -，因为//QN PM ,所以
MN QN ⊥,即0=6.x
考点：抛物线性质
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）
在ABC ∆中，,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2
2
2
22c a b -=． （1）证明：2cos 2cos c A a C b -=； （2）若1
1,tan 3
a A ==
，求ABC ∆的面积． 【答案】（1）详见解析（2）1
（2）由（1）和正弦定理以及()sin sin B A C =+得
2sin cos 2sin cos sin cos cos sinC C A A C A C A -=+，即sin cos 3sin cos C A A C =，
又cos cos 0A C ≠，所以tan 3tan 1C A ==，故045C =．
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 再由正弦定理及10
sin 10
A =得sin 5sin a C c A ==， 于是(
)2
22
28,2
2b c a
b =-==1
sin 12
S ab C ==．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
考点：正余弦定理
【方法点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：
第一步：定条件
即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.
第二步：定工具
即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果. 18.（本小题满分12分）
为了对某班学生的数学、物理成绩进行分析，从该班25位男同学，15位女同学中随机抽取一个容量为8的样本．
（1）如果按性别比例分层抽样，可以得到多少个不同的样本？（只要求写出算式，不必计算出结果）；
（2）若这8人的数学成绩从小到大排序是：65，68，72，79，81，88，92，95．物理成
绩从小到大排序是：72，77，80，84，86，90，93，98．
①求这8人中恰有3人数学、物理成绩均在85分以上的概率（结果用分数表示）； ②已知随机抽取的8人的数学成绩和物理成绩如下表：
若以数学成绩为解释变量x ，物理成绩为预报变量y ，求y 关于x 的线性回归方程（系数精确到0.01）；并求数学成绩对于物理成绩的贡献率（精确到0.01）． 参考公式：相关系数
()()
22n
i
i
x x y y r R r --=
=∑，
回归方程
ˆˆˆy
bx a =+，其中()()
()
1
2
1
ˆ,n
i
i
i n
i
i x x y y b a y bx x x ==--==--∑∑
参考数据：80,85x y ==，
()
()
()(
)2
2
11
1
868,518,
664
86829.5,51822.8
s
s
i
i i i s
i
i
i x x y y
x x y y ===-=-=--=≈≈∑∑∑
【答案】（1）53
2515C C （2）①114
②0.98
试题解析：解：（1）应选男生825540⨯=位，女生8
15340
⨯=位，可以得到不同的样本个数为5
3
2515C C ．．．．．3分
（2）①这8位同学中恰有3位同学的数学和物理分数均在85分以上，则需要先从物理的4个85分以上的成绩中选出3个与数学85分以上的成绩对应，种数是3
4A ，然后将剩下的5个数学成绩和物理成绩任意对应，种数是5
8A ．根据乘法原理，满足条件的种数是35
45A A 这8位同学的数学成绩和物理成绩分别对应的种数共有8
8A ，故所求的概率
35
45
88114
A A P A ==．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分
考点：分层抽样，古典概型的概率，回归方程，相关系数 【方法点睛】古典概型中基本事件数的探求方法 (1)列举法.
(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.
(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.
(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目. 19.（本小题满分12分）
在三棱柱中111ABC A B C -中，侧面11ABB A 为矩形，12,22AB AA D ==，是1AA 的中点，BD 与1AB 交于点O ，且CO ⊥平面11ABB A ．
（1）证明：1BC AB ⊥；
（2）若OC OA =，求直线CD 与平面ABC 所成角的正弦值． 【答案】（1）详见解析（2）
15
5
【解析】
试题分析：（1）证明线线垂直，一般利用线面垂直判定与性质定理，经多次转化得到，而线线垂直的寻找与论证，往往需要结合平几知识进行：如本题就可利用三角形相似得到
1AB BD ⊥，再由线面垂直CO ⊥平面11ABB A 得到线线垂直1AB CO ⊥，因此得到1AB ⊥平
面CBD ，即1AB BC ⊥（2）由（1）中垂直关系可建立空间直角坐标系，利用空间向量求线面角：先求出各点坐标，表示出直线方向向量，再利用方程组解出平面法向量，利用向量数量积求出向量夹角，最后根据线面角与向量夹角互余关系求解
设平面ABC 的法向量为(),,n x y z =，
则
n AB
n AC
⎧=
⎨
=
⎩
，即
2623
33
232
3
33
x y
y z
⎧
-+=
⎪⎪
⎨
⎪+=
⎪⎩
，
考点：线面垂直判定与性质定理，利用空间向量求线面角
【思想点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.
(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.
(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.
(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.
20.（本小题满分12分）
已知椭圆()
22
22
:10
x y
M a b
a b
+=>>的离心率为
3
，,B C分别为M的上、下顶点且()
4,,2
BC T t
<为M外的动点，且(),2
T t到M上点的最近距离为1．
（1）求椭圆M的标准方程；
（2）当0
t≠时，设直线,
TB TC分别与椭圆M交于,F
E两点，若TBC
∆的面积是TEF
∆的面积的k倍，求k的最大值．
【答案】（1）
2
21
4
x
y
+=（2）
4
3
【解析】
试题分析：（1）求椭圆标准方程，关键是列出两个独立条件，解对应方程组即可，本题关键是转化条件：(),2T t 到M 上点的最近距离为21b -=，再结合离心率可得1b =，
2,3a c ==（2
）求最值问题，首先将研究对象转化为一元函数：
1
sin 21sin 2
TBC T C
T B TEF T E T F
TB TC BTC S x x x x TB TC TB TC K S TE TF TE TF x x x x TE TF ETF ∆∆∠--=====--∠，再将直线方程与
椭圆方程联立，解出对应点坐标，284t x t ε-=+，22436
F t
x t =+，代入化简得
()()
()()
222
24361212t t K t
t ++=
++，最后根据导数或基本不等式求最值
所以2222436,3636t t F t t ⎛⎫
- ⎪++⎝⎭
，所以
(2
21236
t TF t +===
+ ，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分
所以()()()
()
()()
2
222222
2
2
2
12921212112236
36494TEF
t t t t t t S TF d t t
t t t ∆++++===
+++++，
所以()()()
22
2236412TBC TEF
t t S k S t ∆∆++==+，．．．．．．．．．
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 令21212t m +=>，则()()2
2
82416192413
m m k m m
m -+=
=+-≤，
当且仅当24m =，即t =±=”，所以k 的最大值为4
3
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
考点：椭圆标准方程，直线与椭圆位置关系，最值问题
【方法点睛】解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决. 21.（本小题满分12分）
已知函数()()
ln x f x e a =+（a 为常数，e 为自然对数的底数）是实数集R 上的奇函数，函数()()sin g x f x x λ=+在区间[]1,1-上是减函数． （1）求实数a 的值；
（2）若()2
1g x t t λ≤++在[]1,1x ∈-上恒成立，求实数t 的取值范围；
（3）讨论关于x 的方程
()
2ln 2x
x ex m f x =-+的根的个数．
【答案】（1）0a =（2）1t ≤-（3）当2
1m e e ->，时，方程无实根；当2
1m e e
-=时，方程有一个根； 当2
1
m e e
-<
时，方程有两个根．
故0a =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分
（3）由（1）知方程
()2ln 2x
x ex m f x =-+，即2ln 2x x ex m x
=-+， 令()()212ln ,2x
f x f x x ex m x =
=-+， ∵()12
1ln x
f x x
-'=， 当(]0,x e ∈时，()10f x '≥，∴()1f x 在(]0,e 上为增函数； 当[),x e ∈+∞时，()10f x '≤，∴()1f x 在[),e +∞上为减函数； 当x e =时，()1max 1f x e
=
， 而()()2
2222f x x ex m x e m e =-+=-+-，
当(]0,x e ∈时，()2f x 是减函数，当[),x e ∈+∞时，()2f x 是增函数， ∵当x e =时，()2
2min f x m e =-．
故当2
1m e e ->
，即2
1m e e >+时，方程无实根； 当21m e e -=，即2
1m e e
=+时，方程有一个根；
当21m e e -<，即21m e e
>+时，方程有两个根．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 考点：奇函数定义,利用导数研究不等式恒成立，利用导数研究函数零点
【方法点睛】利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法
(1)分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，f(x)≥a 恒成立，只需f(x)min≥a 即可；f(x)≤a 恒成立，只需f(x)max≤a 即可.(2)函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值(最值)，然后构建不等式求解.
请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，AB 是O 的直径，弦BD CA 、延长线相交于点,E F 为BA 延长线上一点，且
BD BE BA BF =，求证：
（1）EF FB ⊥；（2）090DFB DBC ∠+∠=．
【答案】（1）详见解析（2）详见解析
试题解析：
解：
考点：三角形相似，四点共圆
【名师点睛】1.解决与圆有关的成比例线段问题的两种思路
(1)直接应用相交弦、切割线定理及其推论；(2)当比例式(等积式)中的线段分别在两个三角形中时，可转化为证明三角形相似，一般思路为“相似三角形→比例式→等积式”．在证明中有时还要借助中间比来代换，解题时应灵活把握．
2．应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等．
23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知平面直角坐标系xOy ，曲线C 的方程为2cos 32sin x y ϕϕ
=⎧⎪⎨=⎪⎩（ϕ为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，P 点的极坐标为23,
6π⎛⎫ ⎪⎝⎭
，直线l 的极坐标方程为cos 2sin 7ρθρθ+=．
（1）写出点P 的直角坐标及曲线C 的普通方程；
（2）若Q 为曲线C 上的动点，求PQ 中点M 到直线l 距离的最小值． 【答案】（1）(3，(223
4x y +=（21151- 【解析】
考点：极坐标方程化为直角坐标方程，参数方程化为普通方程，点到直线距离公式
24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数()1f x x x a =+-+．
（1）若0a =，求不等式()0f x ≥的解集；
（2）若方程()f x x =有三个不同的解，求a 的取值范围．
【答案】（1）1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭
（2）10a -<<
（2）
设()()1,u x x x y u x =+-=的图像和y x =的图像如图所示：
易知()y u x =的图像向下平移1个单位以内（不包括1个单位）与y x =的图像始终有3个交点，从而10a -<<．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 考点：绝对值定义，函数交点
【名师点睛】含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．。