湖南省衡阳县2018届高三上学期期末考试数学(文)试题含答案

衡阳县2017年下学期期未未质量检测试
高三数学(文科
第I 卷(共60分)
一、选择题;本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的
设集合{}{
}220,13A x x x B x x =-≥=<<:则A B =I （ ）
{}.23A x x ≤< {}.12B x x <≤ {}.03C x x ≤< {}.02B x x ≤≤
2.已知复数Z 满足(34)5i z -=,则复数Z 的虚部为( )
4.5A 4.5B i 4.5C - 4.5
D i - 3.把函数sin 23cos 2y x x =-的图象向左平移
12
π
个单位,所得图象的函数表达式是（ ） .2sin(2)4A x π- 5.2sin(2)12B y x π=- .2sin(2)6C y x π=- .2sin(2)2
D y x π
=-
4抛物线2
2y x =-的焦点坐标为( )
1.(,0)2A - 1.(,0)8B - 1.(0,)2C - 1
.(0,)8
D -
5.执行如图所示的程序框图输出的n 为( )
.1A .2B .3C .4D
6,在平行四边形ABCD 中,已知AB=2,AD=1,∠BAD=60°,E 为CD 的中点,则AE BD ⋅=u u u r u u u r
（ ）
1
.
2
A-
1
.
2
B
3
.
2
C-
3
.
2
D
7.在如图所示的勾股圆方图”中,四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边
长为2的大正方形,直角三角形中较小的锐角为
6
π
现在向该大正方形区域内随机地投掷一枚飞镖,则飞镖落在小正方形内的概率是( )
A.
3
1-
3
.B
3
.1
C-
3
.D
8.已知实数x、y满足
310
x y
x y
x
-+≤
⎧
⎪
+≥
⎨
⎪≥
⎩
，则22
x y
+的最小值是( )
32
.A
9
.
2
B
1
.
3
C
1
.
9
D
9.一个几何体的三视图如图2所示其表面积为62
ππ
+,则该几何体的体积为( ) .4
Aπ.2
Bπ11
.
3
C
π
.3
Dπ
10.△ABC中,∠B=45°°,D是BC边上一点,AD=5,AC=7,DC=3,则AB的长为( )
A
B
C
D 11.在各项均为正数的等比数列{}n a 中,若22a =,则132a a +的最小值是( )
.7A .8B .4C
D
12.对于定义在D 上的函数()y f x =,若同时满足:①存在区间[,]a b D ⊆,使得1[,]x a b ∀∈,
都有1()f x c = (c 是常数);②对于D 内2[,]x a b ∀∉时,总有2()f x c >.则称函数()y f x =是“平底型”
函数若函数()[ 2.)F x mx x =∈-+∞是“平底型”函数,则mn =( )
.1A .2B .3C .4D
第Ⅱ卷(共90分)
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上
13.双曲线2
2
2(0)x y m m -=≠的渐近线方程为________________。

14.若3,sin ,2
25π
π
αα-
<<
=则sin(2)____________6
π
α+=。

15.已知三棱锥A-BCD 的三条棱AB 、BC 、BD 所在的直线两两垂直且长度分别为4、2、3,顶点A 、B 、C 、D 都在球O 的表面上则球O 的表面积为___________。

16.设a >0,函数2
(),()ln a f x x g x x x x
=+=-,若对任意12,[1,]x x e ∈,都有12()()f x g x ≥,则实数a 的取值范围是__________________。

三、解答题(共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17.已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b ,若1122331,1,3,7a b a b a b =-=+=+=. (1)求{}n a 和{}n b 的通项公式 (2)求数列21n n a a +⎧
⎫
⎨⎬⎩⎭
的前n 项和T n
18.如图,在四棱锥中P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD⊥AB,AD∥BC,CD=2,AB+AD=3,∠CDA=45°,
(1)求证:平面PAC⊥平面PCD
(2)若四棱锥 p-ABCD的体积为3
,求点A到平面PCD的距离
19.某校对高三年级学生参加社区服务的次数进行统计,随机抽取M名学生作为样本,得
到这M名学生参加社区服务的次数根据此份数据作出的频数、频率统计表如下
(1)求出表中M、p、n的值
(2)若该校高三共有1200人,试估计该校高三学生中参加社区服务的次数在区间[10,15)内的人数
(3)从所取样本中参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人,求参加社区服务次数在区间[25,30)
内至多只有1人的概率
20.已知椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的两个焦点分别为F 1()
2,F ,点M(1,0)与椭圆短轴
的两个端点的连线相互垂直 (1)求椭圆C 的方程;
(2)过点M(1,0)的直线与椭圆C 相交于A 、B 两点,设点N(3,2),记直线AN 、BN 的斜率分别 为k 1、k 2,求证:k 1+k 2为定值
21.设函数2
()2ln 1f x x mx =-+ (1)讨论函数f (x )的单调性;
(2)当f (x )有极值时,若存在x 0使得0()1f x m >-成立,求实数m 的取值范围
请考生在22~23题中任选一题作答,如果多选,则按所选的题中第一题计分
22在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为(2sin x y α
αα
⎧=⎪⎨
=⎪⎩为参数),在以坐标原
点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 1:2
4cos 2sin 40ρρθρθ+-+= (1)写出曲线C 1、C 2的普通方程 (2过曲线C 1的左焦点且倾斜角为4
π
的直线l 交曲线C 2于A 、B 两点,求AB
23,设函数()23f x x =-
(1)求不等式()52f x x >-+的解集
(2)若()()()g x f x m f x m =++-的最小值为4,求实数m 的值
2017年下学期期末考试高三文科数学参考答案
一．选择题：
1-6：B A C D C C 7-12：A B D C D A 二．填空题： 13.x y 2±= 14.50
3
247+ 15.29π 16.2e a -≥ 三．解答题：
17.(1)32-=n a n 1
2-=n n b ………………6分
(2)
)1
21
321(41)12)(32(112+--=+-=+n n n n a a n n , ………………8分
)121321121521713151113111(41+--+---++-+-+--=
∴n n n n T n Λ………10分 =14)121121(412
--=+---n n n n ……………12分
18.(1)证明：过点C 作CE 垂直AD 于E,
.1DE CE ,45CDA ,2CD ==∴︒=∠=Θ ΘA D A B ⊥,AD ∥BC ,ABCD 是矩形∴
，
1AB =∴ 又，3AD AB =+ .1AE BC 2AD ===∴， .2AC =∴
在ACD ∆中，.AC CD AD CD AC 2
2
2
⊥∴=+，
又,PA CD ,ABCD PA ⊥∴⊥平面 ,A PA AC =I ;PAC CD 平面⊥∴
.PAC PCD ,PCD CD 平面平面平面⊥∴⊂……………6分
(2)由（1）知平面⊥PAC 平面,PCD 过点A 在平面PAC 内作AF 垂直PC 于F,
则AF ⊥平面PCD, AF ∴的长就是点A 到平面PCD 的距离. …………8分 四边形ABCD 的面积,2
3
21)21(S =+=
,23PA 2331V ABCD P =
⨯⨯=-.3PA =∴ ∴,5PC = .530
5
23PC AC PA AF =⋅=⋅=
∴ 即点A 到平面PCD 的距离为.5
30
………………12分
19(1)由分组[)15,10内的频数是10，频率是0.25，所以M=40, m=4. 于是;10.0404===
M m p .60.040
24==n …………4分 （2）因为该校高三学生共有1200人，分组区间[)15,10内的频率是0.25，所以估计 该校高三学生中参加社区服务的次数在此区间内的人数为1200⨯0.25=300. …………6分
(3)样本中参加社区服务的次数不少于20次的学生共有m+2=6人，设在区间[)25,20内的4人为
,a ,a ,a ,a 4321在区间[)30,25内的2人为.b ,b 21…………8分
则任选2人共有()()()()()()()(),b ,a ,b ,a ,a ,a ,a ,a ,a ,a ,a ,a ,a ,a ,a ,a 2111434232413121
()()()()()()()21241423132212b ,b ,b ,a ,b ,a ,b ,a ,b ,a ,b ,a ,b ,a 这15种情况，而两人都在
[)30,25内的只有()21b ,b 一种情况，所以所求概率为.15
14
1511P =-
=…………12分
20.(1)依题意， ,2b a ,2c 22=-=
由已知得b=OM=1,解得,3a =
所以椭圆的方程为.1y 3
x 22
=+ …………3分 （2）①当直线l 的斜率不存在时，由⎪⎩⎪
⎨⎧=+=,1y 3
x ,1x 2
2解得.36y ,1x ±== 设22
36
22362k k ),3
6
,1(B ),36,
1(A 21=++-
=+-则为定值；…………6分
②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为),1x (k y -=代入,1y 3
x 22
=+ 化简整理得.03k 3x k 6x )1k 3(2
2
2
2
=-+-+
依题意，直线l 与椭圆C 必相交于两点，设()),y ,x (B ,y ,x A 2211则
.1
k 33
k 3x x ,1k 3k 6x x 22212221+-=+=+ …………8分
又),1x (k y ),1x (k y 2211-=-= 故)
x 3)(x 3()
x 3)(y 2()x 3)(y 2(x 3y 2x 3y 2k k 211221221121----+--=--+--=
+
=
[]()[]2
1211221x x )x x (39)
x 3()1x (k 2x 3)1x (k (2++----+---
=
[]
2
121212121x x )x x (396)x x (4x x 2k )x x (212++-++-++-
=
1
k 33
k 31k 3k 63961k 3k 641k 33k 32k 1k 3k 621222
22
22
2222+-+
+⨯
-⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡++⨯-+-⨯++⨯-
=2)
1k 2(6)
1k 2(1222=++为定值.
综上，21k k +为定值2. …………12分
21.（1）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，222(1)
()2mx f x mx x x
--'=-=，
当0m ≤时，()0f x '>， ∴()f x 在(0,)+∞上单调递增； 当0m >时，解()0f x '>
得0x <<
∴()f x
在(0,
m
上单调递增，在)m
+∞上单调递减. ………………6分 （2）由（1）知，当()f x 有极值时，0m >，且()f x
在
上单调递增，在)+∞上单调递减.
∴max 1
()2ln 1ln f x f m m m
==-⋅+=-，
若存在0x ，使得0()1f x m >-成立，则max ()1f x m >-成立. 即ln 1m m ->-成立， 令()ln 1g x x x =+-，
∵()g x 在(0,)+∞上单调递增，且(1)0g =， ∴01m <<. ∴实数m 的取值范围是(0,1).………………12分
22. （1）222225cos ,
()()cos sin 12252sin ,
y x y αααα⎧=⎪⇒+=+=⎨=⎪⎩
即1C 的普通方程为2
2
1.204
x y
+=
222,cos ,sin ,x y x y ρρθρθ=+==Q
2C 可化化为 224240x y x y ++-+=， 1)1()2(:222=-++y x C . ……4分
（2）曲线1C 左焦点为（- 4，0）， 直线l 的斜率为tan 14
k π
==,
直线l 的普通方程为4y x =+. 即40x y -+=
由(Ⅰ)知圆2C 圆心为(2，1)，半径1r =. 到直线l 的距离.2
2
11412d 2
2=
++--=
故2
2
1
122
AB r d =-=-= ………………10分
23.（1）∵()5|2|f x x >-+可化为|23||2|5x x -++>，
∴当3
2x ≥
时，原不等式化为(23)(2)5x x -++>，解得2x >，∴2x >； 当3
22
x -<<时，原不等式化为(32)(2)5x x -++>，解得0x <，∴20x -<<；
当2x ≤-时，原不等式化为(32)(2)5x x --+>，解得4
3
x <-，∴2x ≤-.
综上，不等式()5|2|f x x >-+的解集为(,0)(2,)-∞+∞U .………………5分
（2）∵()|23|f x x =-，∴()()()|223||223|g x f x m f x m x m x m =++-=+-+-- |(223)(223)||4|x m x m m ≥+----=， ∴依题设有4||4m =，解得1m =±.………………10分。