2017-2018学年高中数学人教B版选修4-5：阶段质量检测

阶段质量检测(四) 模块综合检测 (时间：90分钟，满分120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分) 1．已知a ，b 为非零实数，且a <b ，则下列命题成立的是( ) A ．a 2<b 2 B ．ab 2<a 2b C.1ab 2<1a 2b
D.b a <a b
2．t ，s ∈R ＋
，A ＝t ＋s 7＋s ＋t ，B ＝s 7＋s ＋t 7＋t ，则A 与B 的关系为( )
A ．A >
B B ．A <B
C ．A ＝B
D ．不确定
3．已知函数f (x )、g (x )，设不等式|f (x )|＋|g (x )|<a (a >0)的解集是M ，不等式|f (x )＋g (x )|<a (a >0)的解集为N ，则集合M 与N 的关系是( )
A ．N M
B ．M ＝N
C ．M ⊆N
D ．M N
4．已知θ∈R ，则42＋sin 2θ＋2cos θ的最大值是( ) A ．23 B ．3 6 C.6
3
D. 6
5．不等式|x －1|＋|x ＋2|≥5的解集为( ) A ．(－∞，－2]∪[2，＋∞) B ．(－∞，－1]∪[2，＋∞) C ．(－∞，－2]∪[3，＋∞) D ．(－∞，－3]∪[2，＋∞)
6．已知θ为锐角，a ，b 均为正实数．则下列不等式成立的是( ) A ．(a ＋b )2
≤a 2cos 2θ＋b 2
sin 2θ
B ．(a ＋b )2
≥a 2cos 2θ＋b 2
sin 2θ
C ．a 2
＋b 2
＝a 2cos 2θ＋b 2
sin 2θ
D ．(a ＋b )2
<a 2cos 2θ＋b 2
sin 2θ
7．(安徽高考)若函数f (x )＝|x ＋1|＋|2x ＋a |的最小值为3，则实数a 的值为( ) A ．5或8 B ．－1或5 C ．－1或－4
D ．－4或8
8．当x >1时，不等式a ≤x ＋1
x －1恒成立，则实数a 的取值范围是( )
A ．(－∞，2)
B ．[2，＋∞)
C ．[3，＋∞)
D ．(－∞，3]
9．若实数x 、y 满足1x 2＋1
y 2＝1，则x 2＋2y 2有( )
A ．最大值3＋22
B ．最小值3＋2 2
C ．最大值6
D ．最小值6
10．若x >1，则函数y ＝x ＋1x ＋16x
x 2＋1的最小值为( )
A ．16
B ．8
C ．4
D ．非上述情况
二、填空题(本大题共有4小题，每小题5分，共20分)
11．若x ，y ，z 是正数，且满足xyz (x ＋y ＋z )＝1，则(x ＋y )·(y ＋z )的最小值为________． 12．(广东高考)不等式|x －1|＋|x ＋2|≥5的解集为________________．
13．若不等式|x －a |＋|x －2|≥1对任意实数x 均成立，则实数a 的取值范围为________________．
14．设正数a ，b ，c 的乘积abc ＝1，1a 2(b ＋c )＋1b 2(c ＋a )＋1c 2(a ＋b )的最小值为________．
三、解答题(本大题共有4小题，共50分)
15．(本小题满分12分)已知a ，b 是不相等的正实数． 求证：(a 2b ＋a ＋b 2)(ab 2＋a 2＋b )>9a 2b 2.
16．(本小题满分12分)若a 1≤a 2≤…≤a n ，b 1≤b 2≤…≤b n ，求证：
a 1
b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n
n ≥a 1＋a 2＋…＋a n n ·b 1＋b 2＋…＋b n n
.
17．(本小题满分12分)(新课标全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪x ＋1
a ＋|x －a |(a >0)． (1)证明：f (x )≥2；
(2)若f (3)<5，求a 的取值范围．
18.(本小题满分14分)数列{a n }满足S n ＝2n －a n (n ∈N ＋)． (1)计算a 1，a 2，a 3，a 4，并由此猜想通项公式a n . (2)用数学归纳法证明(1)中的猜想．
答 案
1．选C A 项中a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )， 由a <b 知a －b <0.
但a ＋b 的符号不确定，故A 项错误． B 项中，ab 2－a 2b ＝ab (b －a )， 由a <b 知b －a >0，
但ab 的符号不确定，故B 项错误． C 项中，1ab 2－1a 2b ＝1ab ⎝⎛⎭⎫1b －1a ＝a －b
a 2
b 2
，
由a <b 知a －b <0，又已知a ，b 为非零实数， ∴
1ab 2－1a 2b <0，即1ab 2<1
a 2b
. D 项中，b a －a b ＝b 2－a 2
ab ＝(b ＋a )(b －a )
ab
，
由于a ＋b
ab
的符号不确定，故D 项错误．
2．选B B ＝s 7＋s ＋t 7＋t >s 7＋s ＋t ＋t
7＋t ＋s ＝s ＋t 7＋s ＋t ＝A .
3．选C 由绝对值不等式的性质知|f (x )＋g (x )|≤|f (x )|＋|g (x )|， ∴集合N 与集合M 成M ⊆N 关系．
4．选B 由42＋sin 2θ＋2cos θ≤42＋(2)2·
()2＋sin 2θ2＋cos 2θ＝3 6.当且仅当
4cos θ＝2(2＋sin 2θ)，即sin θ＝±63，cos θ＝3
3
时，等号成立，故选B.
5．选D 由题意不等式|x －1|＋|x ＋2|≥5的几何意义为数轴上到1，－2两个点的距离
之和大于等于5的点组成的集合，而－2,1两个端点之间的距离为3，由于分布在－2,1以外的点到－2,1的距离要计算两次，而在－2,1内部的距离则只计算一次，因此只要找出－2左边到－2的距离等于5－32＝1的点－3，以及1右边到1的距离等于5－3
2＝1的点2，这样就
得到原不等式的解集为(－∞，－3]∪[2，＋∞)．
6．选A 设m ＝⎝⎛⎭⎫
a cos θ，
b sin θ，n ＝(cos θ，sin θ)， 则|a ＋b |＝⎪⎪⎪⎪a cos θ·cos θ＋b sin θ·sin θ ≤
⎝⎛⎭⎫a cos θ2＋⎝⎛⎭
⎫b sin θ2·1＝
a 2cos 2θ＋
b 2
sin 2θ
， 所以(a ＋b )2
≤a 2cos 2＋b 2
sin 2.
7．选D 当a ≥2时，f (x )＝⎩⎪⎨
⎪⎧
3x ＋a ＋1，x >－1，
x ＋a －1，－a 2≤x ≤－1，
－3x －a －1，x <－a 2
，
如图1可知，当x ＝－a
2时，f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝a 2－1 ＝3，可得a ＝8；
当a <2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
3x ＋a ＋1，x >－a 2
，
－x －a ＋1，－1≤x ≤－a 2
，－3x －a －1，x <－1，
如图2可知，当x ＝－a 2时，f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫－
a 2＝－a
2
＋1＝3，可得a ＝－4.综上可知，答案为D.
8．选D a ≤x ＋1
x －1
，
由x ＋1x －1＝x －1＋1x －1＋1≥3，即x ＋1
x －1
的最小值为3.
9．选B 由题知，x 2
＋2y 2
＝(x 2
＋2y 2
)·⎝⎛⎭⎫1x 2＋1y 2＝3＋2y 2
x 2＋x 2
y 2≥3＋22，当且仅当x 2
y 2＝2y 2
x
2
时，等号成立．
10．选B y ＝x ＋1x ＋16x x 2＋1＝x ＋1x ＋16
x ＋1
x ≥216＝8，当且仅当x ＝2＋3时等号成立．
11．解析：(x ＋y )(y ＋z )＝xy ＋y 2＋yz ＋zx ＝y (x ＋y ＋z )＋zx ≥2y (x ＋y ＋z )zx ＝2. 答案：2
12．解析：当x <－2时，原不等式即1－x －x －2≥5⇒x ≤－3，此时得到x ≤－3；当－2≤x ≤1时，原不等式即1－x ＋x ＋2≥5，此时无解；当x >1时，原不等式即x －1＋x ＋2≥5⇒x ≥2，此时得到x ≥2.于是原不等式的解集为{x ≤－3或x ≥2}．
答案：{x |x ≤－3或x ≥2}
13．解析：由题得|x －a |＋|x －2|≥|(x －a )－(x －2)|＝|a －2|，∴|a －2|≥1，解得a ∈(－∞，1]∪[3，＋∞)．
答案：(－∞，1]∪[3，＋∞)
14．解析：设a ＝1x ，b ＝1y ，c ＝1z ，则xyz ＝1，则1a 2(b ＋c )＋1b 2(c ＋a )＋1c 2(a ＋b )可化为
x
y ＋z ＋
y z ＋x ＋z x ＋y ，不妨设x ≥y ≥z ，则1y ＋z ≥1z ＋x ≥1
x ＋y ， 据排序不等式得
x y ＋z ＋y z ＋x ＋z x ＋y ≥z ·1y ＋z ＋x ·1z ＋x ＋y ·1
x ＋y ， x y ＋z ＋y z ＋x ＋z x ＋y ≥y ·1y ＋z ＋z ·1z ＋x ＋x ·1
x ＋y ， 两式相加并化简可得2⎝⎛⎭⎫x y ＋z ＋y z ＋x ＋z
x ＋y ≥3.
即x y ＋z ＋y z ＋x ＋z x ＋y ≥3
2
. 即
1a 2
(b ＋c )＋1b 2(c ＋a )＋1c 2(a ＋b )≥3
2
.
所以1a 2(b ＋c )＋1b 2(c ＋a )＋1c 2(a ＋b )的最小值为3
2.
答案：3
2
15．证明：因为a ，b 是正实数， 所以a 2b ＋a ＋b 2≥33
a 2
b ·a ·b 2＝3ab >0，
当且仅当a 2b ＝a ＝b 2，即a ＝b ＝1时，等号成立；
同理：ab 2＋a 2＋b ≥33
ab 2·a 2·b ＝3ab >0， 当且仅当a ＝b ＝1时，等号成立． 所以(a 2b ＋a ＋b 2)(ab 2＋a 2＋b )≥9a 2b 2， 当且仅当a ＝b ＝1时，等号成立．
因为a ≠b ，所以(a 2b ＋a ＋b 2)(ab 2＋a 2＋b )>9a 2b 2.
16．证明：由题设和排序不等式，可知有以下n 组式子成立： a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ， a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ≥a 1b 2＋a 2b 3＋…＋a n b 1， ……
a 1
b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ≥a 1b n ＋a 2b 1＋…＋a n b n －1.
将上述n 个不等式叠加后，两边同除以n 2，即得欲证的不等式．
17．解：(1)证明：由a >0，有f (x )＝⎪⎪⎪⎪x ＋1a ＋|x －a |≥⎪⎪⎪⎪x ＋1a －(x －a )＝1
a ＋a ≥2.当且仅当“a ＝1”时等号成立．
所以f (x )≥2.
(2)f (3)＝⎪⎪⎪⎪3＋1
a ＋|3－a |. 当a >3时，f (3)＝a ＋1
a ，
由f (3)<5得3<a <5＋21
2.
当0＜a ≤3时，f (3)＝6－a ＋1
a ，
由f (3)<5得1＋5
2<a ≤3.
综上，a 的取值范围是⎝
⎛⎭
⎪
⎫1＋52，5＋212.
18．解：(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2－a 1，所以a 1＝1； 当n ＝2时，a 1＋a 2＝S 2＝2×2－a 2，所以a 2＝3
2；
当n ＝3时，a 1＋a 2＋a 3＝S 3＝2×3－a 3，所以a 3＝7
4；
当n ＝4时，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝S 4＝2×4－a 4， 所以a 4＝15
8
.
由此猜想a n ＝2n －1
2n －1(n ∈N ＋)．
(2)当n ＝1时，a 1＝1，结论成立．
假设n ＝k (k ≥1且k ∈N ＋)时，结论成立，即a k ＝2k －1
2k －1，
那么n ＝k ＋1(k ≥1且k ∈N ＋)时， a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝2(k ＋1)－a k ＋1－2k ＋a k ＝2＋a k －a k ＋1. 所以2a k ＋1＝2＋a k ，
所以a k ＋1＝2＋a k 2＝2＋2k －12k －12＝2k ＋
1－1
2k ，
这就是说当n ＝k ＋1时，结论也成立， 综上可得a n ＝2n －1
2n －1(n ∈N ＋)．。