高考数学高三模拟试卷试题压轴押题高三下学期第三次模拟考试

高考数学高三模拟试卷试题压轴押题高三下学期第三次模拟考试
注意事项：
1．本试卷共160分，考试时间为120分钟．
2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、考试号写在答卷题卡上．试题的答案写在答题卡上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡．
参考公式：锥体的体积公式为V ＝1
3Sh ，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高．
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.请把答案写在答题纸的指定位置上. 1．已知集合A ＝{}1,1,3-，B ＝{
}
2,a a +，且B A ⊆，则实数a 的值是▲．
答案:1
2．已知复数z 满足(2)5i z i -=（其中i 为虚数单位），则复数z 的模是▲． 答案:5
3．根据如图所示的流程图，若输入x 的值为 7.5，则输出y 的值为▲ . 答案: 1
4．若将一颗质地均匀的骰子（各面上分别标有1、2、3、4、5、6个点的正方形玩具）先后抛掷两次，向上的点数依次为m 、n ，则方程
220x mx n ++=无实根的概率是▲．
答案:
736
5．为了检测某自动包装流水线的生产情况，在流水线上随机抽取40件产品，分别称出它们的重量（单位:克）作为样本。

下图是样本的频率分布直方图，根据图中各组的组中值估计产品的平均重量是▲ 克. 答案:507
6.已知正△ABC 的边长为1，73CP CA CB =+, 则CP AB ⋅=▲． 答案: 2
7.已知α、β是两个不同的平面，下列四个条件： ①存在一条直线a ，a α⊥，a β⊥； ②存在一个平面γ，,γαγβ⊥⊥；
③存在两条平行直线a 、b ，,a b αβ⊂⊂，a ∥β，b ∥α； ④存在两条异面直线a 、b ，,a b αβ⊂⊂，a ∥β，b ∥α。

其中是平面α∥平面β的充分条件的为=▲．（填上所有符合要求的序号） 答案:①③
8.若函数222,0(),0
x x x f x x ax x ⎧-≥⎪
=⎨-+<⎪⎩是奇函数，则满足()f x a >的x 的取值范围是▲．
答案:(13,)--+∞
9.在直角坐标系xOy 中，记不等式组30
270260y x y x y -≥⎧⎪
+-≤⎨⎪-+≥⎩表示的平面区域为D ．若指数函数
x y a =（a ＞0且1a ≠）的图象与D 有公共点，则a 取值范围是▲．
答案:[3,)+∞
10．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2
4y x =的焦点为F ，点P 在抛物线上，且位于x 轴上方．若点P 到坐标原点O 的距离为42，则过F 、O 、P 三点的圆的方程是▲． 答案:2
2
1725()()2
2
2
x y -+-=
11．已知43sin()sin ,03
2
π
π
ααα+
+=-
-<<，则cos α=▲． 解答：3343sin cos
cos sin
sin sin cos 3sin()3
32265
π
π
παααααα++=+=+=-， 4sin()65πα+=-，又366πππα-<+<，所以3
cos()65πα+=。

3341334
cos cos[()]()66525210
ππαα-=+-=⋅+-⋅=。

12．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(0,2)，直线:40l x y +-=．点B (,)x y 是圆
22:210C x y x +--=的动点，,AD l BE l ⊥⊥，垂足分别为D 、E ，则线段DE 的最大值是
▲．
解答：线段DE 的最大值等于圆心（1，0）到直线AD （xy+2=0）的距离加半径，为52
2。

13．如图，将数列{}n a 中的所有项按每一行比上一行多两项的规则
排成数表.已知表中的第一列125,,,
a a a 构成一个公比为2的等比数列，从第2行
起，每一行都是一个公差为d 的等差数列。

若4865,518a a ==，则d =▲． 解答：第2行成公差为d 的等差数列，可得：24252a a d d =-=-， 第n 行的数的个数为21n -，从第1行到第n 行的所有数的个数总和为
2(121)
2
n n n +-=，
86=92+5，第10行的前几个数为：8283848586,,,,,
a a a a a ，所以
828645184a a d d =-=-。

第一列12510172637506582,,,,,,,,,,
a a a a a a a a a a 构成一个公比为2的等比数列，
故有88
82225184(52)2a a d d =⋅⇒-=-⋅，解得： 1.5d =。

14.若不等式|3
ln ax x -|≥1对任意(0,1]x ∈都成立，则实数a 取值范围是▲． 解答：显然1x =时，有||1,1,,1a a or a ≥≤-≥。

令3
()ln ,g x ax x =-32
131
()3ax g x ax x x
-'=-=
①当1a ≤-时，对任意(0,1]x ∈，331
()0ax g x x
-'=
<，()g x 在(0,1]上递减，min ()(1)1g x g a ==≤-，此时()g x [,)a ∈+∞，|()g x |的最小值为0，不适合题
意。

②当1a ≥时，对任意(0,1]x ∈，331()0ax g x x x -'==⇒=
|()g x |的最小值为11ln(3)33g a =+≥1，解得：2
3
e a ≥。

故所求2
3
e a ≥
二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内. 15．（本小题满分14分）
在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .已知向量(,2)m b a c =-，
(cos 2cos ,cos )n A C B =-，且m n ⊥．
（1）求
sin sin C
A
的值；
（2）若2,||a m ==，求△ABC 的面积S ． 16．（本小题满分14分）
在△ABC 中，90,60,1O
O
BAC B AB ∠=∠==,D 为线段BC 的中点，E 、F 为线段AC 的三等分点（如图1）.将△ABD 沿着AD 折起到△A B 'D 的位置，连结B 'C （如图2）. (1)若平面A B 'D ⊥平面AD C ，求三棱锥B 'AD C 的体积;
(2)记线段B 'C 的中点为H,平面B 'ED 与平面HFD 的交线为l ,求证:HF ∥l ; (3)求证:AD ⊥B 'E. 17．（本小题满分14分）
在某次水下考古活动中,需要潜水员潜入水深为30米的水底进行作业.其用氧量包含3个方面:①下潜时,平均速度为v (米/单位时间),单位时间内用氧量为2
cv (c 为正常数);②在水底作业需5个单位时间,每个单位时间用氧量为0.4;③返回水面时,平均速度为2
v
(米/单位时间),单位时间用氧量为0.2.记该潜水员在此次考古活动中,总用氧量为y . (1)将y 表示为v 的函数;
(2)设0<v ≤5,试确定下潜速度v ,使总的用氧量最少. 18．（本小题满分16分）
在平面直角坐标系xOy 中，过点A(2,1)椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左焦点为F,
短轴端点为1B 、2B ，2122FB FB b ⋅=。

（1）求a 、b 的值；
（2）过点A 的直线l 与椭圆C 的另一交点为Q ，与y 轴的交点为R ．过原点O 且平行于l 的直线与椭圆的一个交点为P ．若AQ ⋅AR=3 OP2，求直线l 的方程。

19．（本小题满分16分）
已知数列{}n a 的奇数行项是公差为1d 的等差数列，偶数项是公差为2d 的等差数列，
n S 是数列{}n a 的前n 项和，121,2a a ==．
（1）若54516,S a a ==，求10a ；
（2）已知15815S a =，且对任意n N *
∈,有1n n a a +<恒成立，求证：数列{}n a 是等差数
列；
（3）若1213(0)d d d =≠，且存在正整数m 、()n m n ≠，使得m n a a =．求当1d 最大时，数列{}n a 的通项公式。

20．（本小题满分16分）已知函数3
2
2
()2,.f x x ax a x a R =+-+∈ (1)若0a <时,试求函数()y f x =的单调递减区间;
(2)若0a =,且曲线()y f x =在点A 、B （A 、B 不重合）处切线的交点位于直线2x =上，证明：A 、B 两点的横坐标之和小于4；
(3)如果对于一切1x 、2x 、3[0,1]x ∈，总存在以1()f x 、2()f x 、3()f x 为三边长的三角形，试求正实数a 的取值范围。

南京市、盐城市高三年级第三次模拟考试
数学附加题部分
（本部分满分40分，考试时间30分钟）
注意事项：
1．附加题供选修物理的考生使用． 2．本试卷共40分，考试时间30分钟．
3．答题前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题卡上．试题的答案写在答题卡上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡．
21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．请在答
题卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A ．选修4—1：几何证明选讲
如图，⊙O 的直径AB 的延长线与弦CD 的延长线相交于点P ，E 为⊙O 上一点，AE AC =,DE 交AB 于点F ．求证：PF·PO ＝PA·PB ．
B ．选修4—2：矩阵与变换
已知曲线2
2
:1C x y +=，对它先作矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 002对应的变换，再作矩阵B=⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
0 b 10对应
的变换，得到曲线2
2:14
x C y +=．求实数b 的值。

C ．选修4—4：坐标系与参数方程
在以O 为极点的极坐标系中，直线l 与曲线C 的极坐标方程分别是cos()324
π
ρθ+
=和
2sin 8cos ρθθ=，直线l 与曲线C 交于点A 、B ，求线段AB 的长。

D ．选修4—5：不等式选讲 解不等式：2|1|x x
->
.
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共20分．请在答题卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22．一个袋中装有大小和质地都相同的10个球，其中黑球4个，白球5个，红球1个。

（1）从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X ，求随机变量X 的概率分布和数学期望E(X);
（2）每次从袋中随机地摸出一球，记下颜色后放回.求3次摸球后，摸到黑球的次数大于摸到白球的次数的概率。

23.已知数列{}n a 的首项为1，
（1）若数列{}n a 是公比为2的等比数列，求(1)p -的值；
（2）若数列{}n a 是公比为2的等差数列，求证：()p x 是关于x 的一次多项式.
高考理科数学试题及答案
（考试时间：120分钟试卷满分：150分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目
要
求
的。

1.
31i
i
+=+（） A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i -
2. 设集合{}1,2,4A =，{}
2
40x x x m B =-+=．若{}1A
B =，则B =（）
A ．{}1,3-
B ．{}1,0
C ．{}1,3
D ．{}1,5
3. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百
八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）
A ．1盏
B ．3盏
C ．5盏
D ．9盏
4. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某
几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部 分所得，则该几何体的体积为（） A ．90π B ．63π C ．42π D ．36π
5. 设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤⎧⎪
-+≥⎨⎪+≥⎩
，则2z x y =+的
最小
值是（）
A ．15-
B ．9-
C ．1
D ．9
6. 安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共
有（）
A ．12种
B ．18种
C ．24种
D ．36种
7. 甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，
2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（）
A ．乙可以知道四人的成绩
B ．丁可以知道四人的成绩
C ．乙、丁可以知道对方的成绩
D ．乙、丁可以知道自己的成绩8. 执行右面的程序框图，如果输入的1a =-，则输出的
S =（）A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
9. 若双曲线C:22
221x y a b
-=（0a >，0b >）的一条渐
近线被圆()2
224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的 离心率为（）
A ．2
B ．3
C ．2
D ．
23
10. 若2x =-是函数2
1`
()(1)x f x x ax e -=+-的极值点，则()f x 的极小值为（）
A.1-
B.32e --
C.35e -
D.1
11. 已知直三棱柱111C C AB -A B 中，C 120∠AB =，2AB =，1C CC 1B ==，则异面直线1AB
与1C B 所成角的余弦值为（）
A ．
32 B ．155 C ．105
D ．33 12. 已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是（）
A.2-
B.32-
C. 4
3
- D.1- 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X 表示抽
到的二等品件数，则D X =． 14. 函数()23sin 3cos 4f x x x =+-
（0,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
）的最大值是．
15. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，410S =，则
1
1
n
k k
S ==∑． 16. 已知F 是抛物线C:2
8y x =的焦点，M 是C 上一点，F M 的延长线交y 轴于点N ．若M 为
F N 的中点，则F N =．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。

第17~21题为必做题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17.（12分）
ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知2
sin()8sin 2
B
A C +=． (1)求cos B
(2)若6a c += , ABC ∆面积为2,求.b
18.（12分）
淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg ）某频率直方图如下：
1.
设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A 表示事件：旧养殖法的箱产量低于50kg, 新养殖法的箱产量不低于50kg,估计A 的概率；
2.
填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：
箱产量＜50kg 箱产量≥50kg 旧养殖法 新养殖法
3.根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）
P （
） 0.050 0.010 0.001 k
3.841 6.635
10.828
2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=
++++
19.（12分）
如图，四棱锥PABCD 中，侧面PAD 为等比三角形且垂直于底面ABCD ，
o 1
,90,2
AB BC AD BAD ABC ==
∠=∠= E 是PD 的中点.
（1）证明：直线//CE 平面PAB
（2）点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所
成锐角为o 45 ，求二面角MABD 的余弦值 20. （12分）
设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2
212
x y +=上，过M 做x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =
.
（1） 求点P 的轨迹方程；
（2）设点Q 在直线x=3上，且1OP PQ ⋅=.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F. 21.（12分）
已知函数3
()ln ,f x ax ax x x =--且()0f x ≥. （1）求a ；
（2）证明：()f x 存在唯一的极大值点0x ，且2
30()2e
f x --<<.
（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，按所做的第一题计分。

22.[选修44：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=．
（1）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足||||16OM OP ⋅=,求点P 的轨迹2
C
的直角坐标方程；
（2）设点A 的极坐标为(2,
)3
π
，点B 在曲线2C 上，求OAB ∆面积的最大值．
23.[选修45：不等式选讲]（10分）
已知3
3
0,0,2a b a b >>+=，证明： （1）3
3()()4a b a b ++≥； （2）2a b +≤．
参考答案
1．D 2．C
【解析】1是方程240x x m -+=的解，1x =代入方程得3m =
∴2430x x -+=的解为1x =或3x =，∴{}13B =， 3．B
【解析】设顶层灯数为1a ，2=q ，()7171238112
-==-a S ，解得13a =．
4．B
【解析】该几何体可视为一个完整的圆柱减去一个高为6的圆柱的一半．
2211
π310π3663π
22=-=⋅⋅-⋅⋅⋅=V V V 总上
5．A
【解析】目标区域如图所示，当直线-2y =x+z 取到点()63--，时，所求z 最小值为15-．
6．D
【解析】只能是一个人完成2份工作，剩下2人各完成一份工作．
由此把4份工作分成3份再全排得23
43C A 36⋅=
7．D
【解析】四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说的话．
甲不知自己成绩→乙、丙中必有一优一良，（若为两优，甲会知道自己成绩；两良亦然）→乙看了丙成绩，知自己成绩→丁看甲，甲、丁中也为一优一良，丁知自己成绩．
8．B
【解析】0S =，1k =，1a =-代入循环得，7k =时停止循环，3S =． 9．A
【解析】取渐近线b
y x a =，化成一般式0bx ay -=，圆心()20，到直线距离为
22
23b a b =+ 得224c a =，24e =，2e =．
10．C
【解析】M ，N ，P 分别为AB ，1BB ，11B C 中点，则1AB ，1BC 夹角为MN 和NP 夹角或其补角
（异面线所成角为π02⎛
⎤ ⎥⎝
⎦，）
可知1152MN AB =
=
，1122NP BC ==， 作BC 中点Q ，则可知PQM △为直角三角形．
1=PQ ，1
2
MQ AC =
ABC △中，2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠
14122172⎛⎫
=+
-⨯⨯⋅-= ⎪⎝⎭
，7=AC
则7MQ =
，则MQP △中，2211MP MQ PQ =+= 则PMN △中，222
cos 2MN NP PM PNM MH NP
+-∠=⋅⋅
222
52111052
2⎛⎫⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=
=-⋅⋅ 又异面线所成角为π02⎛
⎤ ⎥⎝
⎦，，则余弦值为10．
11．A 【解析】()()21
21x f x x a x a e -'⎡⎤=+++-⋅⎣⎦，
则()()3
2422101f a a e a -'-=-++-⋅=⇒=-⎡⎤⎣⎦，
则()()211x f x x x e -=--⋅，()()212x f x x x e -'=+-⋅， 令()0f x '=，得2x =-或1x =， 当2x <-或1x >时，()0f x '>， 当21x -<<时，()0f x '<， 则()f x 极小值为()11f =-．
12．B
【解析】几何法：
如图，2PB PC PD +=（D 为BC 中点）， 则()
2PA PB PC PD PA ⋅+=⋅，
要使PA PD ⋅最小，则PA ，PD 方向相反，即P 点在线段AD 上，
D C
则min 22PD PA PA PD ⋅=-⋅， 即求PD PA ⋅最大值， 又3
23PA PD AD +==⨯
=， 则2
233
24PA PD PA PD ⎛⎫+⎛⎫ ⎪⋅== ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭≤， 则min 332242
PD PA ⋅=-⨯=-． 解析法：
建立如图坐标系，以BC 中点为坐标原点， ∴()
03A ，，()10B -，，()10C ，． 设()P x y ，， ()
3PA x y
=--，，
()
1PB x y =---，，
()1PC x y =--，，
∴()
222222PA PB PC x y y ⋅+=-+
2
23324x y ⎡⎤⎛⎫⎢⎥=+-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
则其最小值为33242⎛⎫
⨯-=- ⎪⎝⎭
，此时0x =，3y =．
13．1.96
【解析】有放回的拿取，是一个二项分布模型，其中0.02=p ，100n =
则()11000.020.98 1.96x D np p =-=⨯⨯= 14．1
【解析】()23πsin 3cos 042f x x x x ⎛⎫⎡
⎤=+-∈ ⎪⎢⎥⎣
⎦⎝⎭，
()231cos 3cos 4
f x x x =-+-
令cos x t =且[]01t ∈， 21
34
y t t =-++
2
31t ⎛⎫
=--+ ⎪ ⎪⎝⎭
则当3
t =时，()f x 取最大值1． 15．
2+1
n n 【解析】设{}n a 首项为1a ，公差为d ．
则3123a a d =+= 414610S a d =+=
求得11a =，1d =，则n a n =，()12
n n n S +=
()()
112222
122311n
k k
S n n n n ==+++
+⨯⨯-+∑
111
111121223
11n n n n ⎛⎫=-+-++-+- ⎪-+⎝⎭
122111n n n ⎛
⎫=-=
⎪++⎝⎭
16．6
【解析】28y x =则4p =，焦点为()20F ，
，准线:2l x =-， 如图，M 为F 、N 中点，
故易知线段BM 为梯形AFMC 中位线， ∵2CN =，4AF =， ∴3ME =
又由定义ME MF =， 且MN NF =， ∴6
NF NM MF =+=
17.
【解析】（1）依题得：2
1cos sin 8sin
84(1cos )22
B B B B -==⋅=-． ∵22sin cos 1B B +=， ∴2216(1cos )cos 1B B -+=，
∴(17cos 15)(cos 1)0B B --=，
l F
N M C B A
O
y
x
∴15cos 17
B =
， （2）由⑴可知8sin 17
B =． ∵2AB
C S =△， ∴1
sin 22ac B ⋅=， ∴18
2217
ac ⋅=， ∴17
2ac =
， ∵15cos 17
B =
， ∴22215217
a c
b a
c +-=，
∴22215a c b +-=， ∴22()215a c ac b +--=， ∴2361715b --=， ∴2b =．
18．
【解析】（1）记：“旧养殖法的箱产量低于50kg ” 为事件B
“新养殖法的箱产量不低于50kg ”为事件C
而()0.04050.03450.02450.01450.0125P B =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯
0.62=
()0.06850.04650.01050.0085P C =⨯+⨯+⨯+⨯
0.66=
()()()0.4092P A P B P C == （2） 箱产量50kg <
箱产量50kg ≥
中/华资*源%库旧养殖法 62 38 新养殖法
34
66
由计算可得2K 的观测值为
()2
2
2006266383415.705
10010096104
k ⨯⨯-⨯=
=⨯⨯⨯
∵15.705 6.635> ∴()2 6.6350.001P K ≈≥
∴有99%以上的把握产量的养殖方法有关．
（3）150.2÷=，()0.20.0040.0200.0440.032-++=
80.0320.06817÷=
，8
5 2.3517
⨯≈ 50 2.3552.35+=，∴中位数为52.35．
19．【解析】
z
y
x
M 'M
O
F
P
A
B
C
D
E
（1）令PA 中点为F ，连结EF ，BF ，CE ．
∵E ，F 为PD ，PA 中点，∴EF 为PAD △的中位线，∴1
2
EF AD ∥．
又∵90BAD ABC ∠=∠=︒，∴BC AD ∥． 又∵12AB BC AD ==
，∴1
2
BC AD ∥，∴EF BC ∥． ∴四边形BCEF 为平行四边形，∴CE BF ∥． 又∵BF PAB ⊂面，∴CE PAB 面∥
（2）以AD 中点O 为原点，如图建立空间直角坐标系．
设1AB BC ==，则(000)O ，，，(010)A -，，，(110)B -，，，(100)C ，
，，(010)D ，，， (00P ，．
M 在底面ABCD 上的投影为M '，∴MM BM ''⊥．∵45MBM '∠=︒，
∴MBM '△为等腰直角三角形．
∵POC △为直角三角形，3
3
OC OP =，∴60PCO ∠=︒． 设MM a '=，3CM a '=
，3
1OM a '=-．∴3100M a ⎛⎫'- ⎪ ⎪⎝⎭
，，． 2
22
231610133BM a a a a ⎛⎫'=++=+=⇒= ⎪ ⎪⎝⎭．∴3211OM a '=-=-． ∴2100M ⎛⎫'- ⎪ ⎪⎝⎭，，，2610M ⎛⎫
- ⎪ ⎪⎝⎭
，， 26112AM ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭
，，，(100)AB =，，．设平面ABM 的法向量11(0)m y z =，，． 116
0y z +
=，∴(062)m =-，， (020)AD =，，，(100)AB =，，．设平面ABD 的法向量为2(00)n z =，，，
(001)n =，，．
∴10
cos ,m n m n m n
⋅<>=
=
⋅． ∴二面角M AB D --的余弦值为10
． 20．
【解析】 ⑴设()P x y ，，易知(0)N x ，
(0)NP y =，又1022NM NP ⎛== ⎪⎝
⎭，
∴1
2M x y ⎛
⎫
⎪⎝
⎭
，，又M 在椭圆上． ∴2
2
122x += ⎪⎝⎭
，即222x y +=． ⑵设点(3)Q Q y -，，()P P P x y ，，(0)Q y ≠，
由已知：()(3)1P P P Q P OP PQ x y y y y ⋅=⋅---=，，， ()
2
1OP OQ OP OP OQ OP ⋅-=⋅-=，
∴2
13OP OQ OP ⋅=+=， ∴33P Q P Q P P Q x x y y x y y ⋅+=-+=．
设直线OQ ：3
Q y y x =
⋅-，
因为直线l 与OQ l 垂直．
∴3l Q
k y =
故直线l 方程为3
()P P Q
y x x y y =
-+， 令0y =，得3()P Q P y y x x -=-， 1
3
P Q P y y x x -⋅=-， ∴1
3
P Q P x y y x =-⋅+，
∵33P Q P y y x =+，
∴1
(33)13
P P x x x =-++=-，
若0Q y =，则33P x -=，1P x =-，1P y =±， 直线OQ 方程为0y =，直线l 方程为1x =-， 直线l 过点(10)-，，为椭圆C 的左焦点．
21．
【解析】 ⑴ 因为()()ln 0f x x ax a x =--≥，0x >，所以ln 0ax a x --≥．
令()ln g x ax a x =--，则()10g =，()11
ax g x a x x
-'=-
=
， 当0a ≤时，()0g x '<，()g x 单调递减，但()10g =，1x >时，()0g x <； 当0a >时，令()0g x '=，得1
x a
=． 当10x a <<
时，()0g x '<，()g x 单调减；当1
x a
>时，()0g x '>，()g x 单调增． 若01a <<，则()g x 在11a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调减，()110g g a ⎛⎫
<= ⎪⎝⎭；
若1a >，则()g x 在11a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调增，()110g g a ⎛⎫
<= ⎪⎝⎭；
若1a =，则()()min 110g x g g a ⎛⎫
=== ⎪⎝⎭
，()0g x ≥．
综上，1a =．
⑵()2ln f x x x x x =--，()22ln f x x x '=--，0x >．
令()22ln h x x x =--，则()121
2x h x x x
-'=-=
，0x >． 令()0h x '=得1
2
x =
， 当102x <<时，()0h x '<，()h x 单调递减；当1
2
x >时，()0h x '>，()h x 单调递增．
所以，()min 112ln 202h x h ⎛⎫
==-+< ⎪⎝⎭
．
因为()
22e 2e 0h --=>，()22ln 20h =->，21e 02-⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，122⎛⎫
∈+∞ ⎪⎝⎭
，，
所以在102⎛⎫ ⎪⎝⎭，和12⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
，上，()h x 即()f x '各有一个零点．
设()f x '在102⎛⎫ ⎪⎝⎭，和12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上的零点分别为02x x ，
，因为()f x '在102⎛⎫
⎪⎝⎭
，上单调减，
所以当00x x <<时，()0f x '>，()f x 单调增；当01
2
x x <<时，()0f x '<，()f x 单调减．因此，0x 是()f x 的极大值点．
因为，()f x '在12⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
，上单调增，所以当212x x <<时，()0f x '<，()f x 单调减，
2x x >时，()f x 单调增，因此2x 是()f x 的极小值点．
所以，()f x 有唯一的极大值点0x ．
由前面的证明可知，201e 2x -⎛
⎫∈ ⎪⎝
⎭，，则()()
24220e e e e f x f ---->=+>．
因为()00022ln 0f x x x '=--=，所以00ln 22x x =-，则 又()()22000000022f x x x x x x x =---=-，因为0102x <<，所以()01
4
f x <． 因此，()201
e 4
f x -<<
． 22．
【解析】⑴设()()00M P ρθρθ，
，， 则0||OM OP ρρ==，． 000016
cos 4ρρρθθθ
=⎧⎪
=⎨⎪=⎩
解得4cos ρθ=，化为直角坐标系方程为
()2224x y -+=．()0x ≠
⑵连接AC ，易知AOC △为正三角形．
||OA 为定值．
∴当高最大时，AOB S △面积最大，
如图，过圆心C 作AO 垂线，交AO 于H 点
交圆C 于B 点，
此时AOB S △最大
max 1||||2
S AO HB =⋅ ()1||||||2
AO HC BC =+
2=
23．
【解析】⑴由柯西不等式得：()()()2255334a b a b a b ++=+=≥
1a b ==时取等号．
⑵∵332a b +=
∴()()
222a b a ab b +-+=
∴()()232a b b ab α⎡⎤++-=⎣⎦ ∴()()3
32a b ab a b +-+= ∴()()3
23a b ab a b +-=+ 由均值不等式可得：()()3
2
232a b a b ab a b +-+⎛⎫= ⎪+⎝⎭
≤ ∴()()32
232a b a b a b +-+⎛⎫ ⎪+⎝⎭
≤ ∴()()33324a b a b ++-≤ ∴()3124
a b +≤ ∴2a b +≤ 当且仅当1a b ==时等号成立．。