2018-2019学年湖南省娄底市高一下学期期中考试数学试题(含答案)

湖南娄底2018-2019年上学期期中考试试卷
高一数学
时量：120分钟 总分：150分
一、选择题（每小题5分，每小题只有一个正确选项）
4.从6个篮球、2个排球中任选3个球，则 下列事件中，是必然事件的是( )
A.3个都是篮球
B.至少有1个是排球
C.3个都是排球
D.至少有1个是篮球
5．袋中装有白球和黑球各3个，从中任取2个，则至多有一个黑球的概率是( ) A.15 B.45 C.13 D.1
2 6.化简
等于( )
A.cos4-sin 4
B.sin 4-cos 4
C.-sin 4-cos 4
D.sin 4+cos 4
7．执行如右图所示的程序框图，则输出的S 的值是( )
A ．-1
B ．
23 C ．3
2
D ．4 8．若点P （sinα－cosα，tanα）在第一象限，则在[0，2π）内
α的
取值范围是( )
A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫
π4，
π2∪⎝ ⎛⎭
π，5π4 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π，5π4
C ．⎝ ⎛⎭π2，
3π4∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫5π4，3π2 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π 9．某公司10位员工的月工资(单位：元)为x 1，x 2，…，x 10，其均值和方差分别为
x －
和s 2，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的均
值和方差分别为( )
A.x －
，s 2＋1002
B.x －
＋100，s 2＋1002
C.x －
，s 2
D.x －
＋100，s 2
10.如图所示，现有一迷失方向的小青蛙在3处，它每跳动一次可以等可能地进入相邻的任意一格(若它在5处，跳动一次，只能进入3处，若在3处，则跳动一次可以等机会地进入1,2,4,5处)，则它在第三次跳动后，首次进入5处的概率是( )
A.12
B.14
C.316
D.16 11．将函数y ＝3sin （2x ＋π3）的图象向右平移π
2个单位长
度，所得
图象对应的函数( ) A ．在区间[
π127π12]上单调递增 B ．在区间[π127π
12
]上单调递减 C ．在区间[－π6，π3]上单调递减 D ．在区间[－π6，π
3]上单调递增
12.将函数()2sin 26f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向左平移12π 个单位，再向上平移1个单位，
得到()g x 的图像．若()()129g x g x = ，且[]12,2,2x x ππ∈- ，则122x x - 的最大值为( )
A. 174π
B. 256π
C. 356π
D. 4912π
二、填空题（每小题5分）
13．已知5432()5101051f x x x x x x =+++++,当2x =时，用秦九韶算法求
2v =______________．
14．某产品的广告费用x (万元)与销售额y (万元)的统计数据如下表：
根据上表可得回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中的b ^
为7.据此模型预测广告费用为10万元时销售额为________万元．
15.已知α∈(π,),tan α=2,则cos α=_______．
16.关于函数f (x )=4sin(2x +)(x ∈R ),有下列命题:
①y =f (x )的表达式可改写为y =4cos(2x -);②y =f(x )是以2π为最小正周期的周期函数;③y =f (x )的图象关于点(-,0)对称;④y =f (x )的图象关于直线x =-对称.其中正确的命题序号是_____ (注:把你认为正确的命题的序号都填上). 三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)
已知()()()()()
sin sin tan 2.tan sin f πααπαααπα⎛⎫
--- ⎪⎝⎭=
-- （Ⅰ）化简()f α；
（Ⅱ）若α为第四象限角，且32
cos ,23
πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭求()f α的值.
18.(本小题满分12分)一个包装箱内有6件产品，其中4件正品，2件次品.现随机抽出两件产品.
(1)求恰好有一件次品的概率； (2)求都是正品的概率； (3)求抽到次品的概率.
19.(本小题满分12分)已知关于x 的一元二次方程x 2－2(a －2)x －b 2＋16＝0. (1)若a ，b 是一枚骰子掷两次所得到的点数，求方程有两正根的概率； (2)若a ∈[2,6]，b ∈[0,4]，求方程没有实根的概率.
20.(本小题满分12分)交通指数是指交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念性指数值，记交通指数为T ，其范围为[0,10]，分别有五个级别：T ∈[0,2)，畅通；T ∈[2,4)，基本畅通；T ∈[4,6)，轻度拥堵；T ∈[6,8)，中度拥堵；T ∈[8,10]，严重拥堵.在晚高峰时段(T≥2)，从某市
交通指挥中心选取了市区20个交通路段，依据其
交通指数数据绘制的频率分布直方图如图所示. (1)求出轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵的路段的个数；
(2)用分层抽样的方法从轻度拥堵、中度拥堵、
严重拥堵的路段中共抽取6个路段，求依次抽取的三个级别路段的个数； (3)从(2)中抽取的6个路段中任取2个，求至少有1个路段为轻度拥堵的概率.
21．（本小题满分12分）函数f 1（x ）＝A sin （ωx ＋φ）（A>0，ω>0，|φ|<π
2）的一段图象过点（0，1），如图所示．
（1）求函数f 1（x ）的表达式；
（2）将函数y ＝f 1（x ）的图象向右平移π
4个单位，得函数y ＝f 2（x ）的图象，求y ＝f 2（x ）的最大值，并求出此时自变量x 的集合，并写出该函数的增区间．
22．(本小题满分12分)某零售店近5个月的销售额和利润额资料如下表所示：
2
(1)画出散点图．观察散点图，说明两个变量有怎样的相关关系； (2)用最小二乘法计算利润额y 关于销售额x 的回归直线方程；
(3)当销售额为4千万元时，利用(2)的结论估计该零售店的利润额(百万元)．
2019年上学期高一期中考试数学参考答案
给三人打电话的不同顺序有
2 C
3 A
4 D解析从6个篮球、2个排球中任选3个球，A，B是随机事件，C是不可能事件，D是必然事件，故选D.
5 B解析把白球编号为1,3,5，黑球编号为2,4,6.从中任取2个，基本事件为12,13,14,15,16,23,24,25,26,34,35,36,45,46,56，共15个．其中至多一个黑球的事件
有12个．由古典概型公式得P＝12
15＝4 5
.
6. 答案：A
解析:原式==
=|sin 4-cos 4|,
因为π<4<π,
所以cos 4>sin 4.
所以|sin 4-cos 4|=cos 4-sin 4.故选A. 7．D
【解析】
试题分析：第一次循环后S=-1，i=2；第二次循环后S=2
3
，i=3; 第三次循环后
S=3
2
，i=4；第四次循环后S=4，i=5; 第五次循环后S=-1，i=6；第六次循环
后S=2
3
，i=7; 第七次循环后S=
3
2
，i=8；第八次循环后S=4，i=9;由题意此
时要输出，故s=4，故选D 考点：本题考查了循环框图的运用 8 A
9 D 解析：x 1＋x 2＋…＋x 1010＝x －
，y i ＝x i ＋100，所以y 1，y 2，…，y 10的均值为x
－＋100，方差不变，故选D. 10 答案 C
解析 按规则，小青蛙跳动一次，可能的结果共有4种，跳动三次，可能的结果共有16种，而三次跳动后首次跳到5的只有3－1－3－5,3－2－3－5,3－4－3－5,3种可能，所以，它在第三次跳动后，首次进入5处的概率是316
.
11．y ＝3sin[2（x －π2）＋π3]＝3sin （2x ＋π3－π）＝－3sin （2x ＋π
3），由2kπ－π2≤2x ＋π3≤2kπ＋π2，得2kπ－5π6≤2x ≤2kπ＋π6，即kπ－5π12≤x ≤kπ＋π12，所以[kπ－5π12，kπ＋π12]（k ∈Z ）是减区间，[kπ＋π12，kπ＋7π
12]（k ∈Z ）是增区间．结合选项可知选A. 12.D
【解析】由已知可得
()()()122sin 2+1322,332g x x g x g x x k k πππππ⎛
⎫=+⇒==⇒+=+∈⇒ ⎪⎝⎭
x =()1212max
23111349,,,,2121212121212k x x x x π
ππππππ⎧⎫
+⇒∈--⇒-=⎨⎬⎩⎭
，故选D.
13 【解析】
因为5432()5101051((((5)10)10)5)1f x x x x x x x x x x x =+++++=+++++，当2x =时，用秦九韶算法2(25)21024v =+⨯+=,故答案为24．
考点：秦九韶算法．
14解析：由题表可知，x －＝4.5，y －＝35，代入回归方程y ^＝7x ＋a ^，得a ^
＝3.5，所以回归方程为y ^＝7x ＋3.5，所以当x ＝10时，y ^
＝7×10＋3.5＝73.5(万元)．
答案：73.5
15.解析:由tan α==2,sin 2α+cos 2α=1联立得cos 2α=,由α∈(π,)知
cos α<0,
所以cos α=-.
答案:-
16.解析:①y=4sin(2x+)=4cos[-(2x+)]
=4cos(2x-), 因此命题①正确;
②因T==π,故命题②不正确;
③将x=-代入函数解析式中,得y=0,即点(-,0)是函数图象与x 轴的交点,函数图
象关于点(-,0)对称,故命题③正确;
④f(-)=0,不是y=f(x)的最大值或最小值,故④不成立. 综上知①③正确. 答案:①③
17.（Ⅰ）cos ;α-（Ⅱ）
解析：（Ⅰ）()()()()()sin sin tan 2tan sin f πααπαααπα⎛⎫
--- ⎪⎝⎭=-- ()()
()cos sin tan cos .tan sin αααααα
--=
=--
（Ⅱ）由32
cos ,23
πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭得2sin .3α=-
又因为α
为第四象限角，所以cos α==
所以此时(
)f α= 18 解 将6件产品编号，abcd(正品)，ef(次品)，从6件产品中选2件，其包含的基本事件为ab ，ac ，ad ，ae ，af ，bc ，bd ，be ，bf ，cd ，ce ，cf ，de ，df ，ef ，共15种.
(1)设恰好有一件次品为事件A ，事件A 包含的基本事件为ae ，af ，be ，bf ，ce ，cf ，de ，df ，共有8种， 则P(A)＝
815
. (2)设都是正品为事件B ，事件B 包含的基本事件数为6，则P(B)＝
615＝25
. (3)设抽到次品为事件C ，事件C 与事件B 是对立事件，则P(C)＝1－P(B)＝1－2
5＝
35
. 19 解 (1)a ，b 是一枚骰子掷两次所得到的点数，总的基本事件(a ，b)共有36个. 设事件A 表示“方程有两正根”，则 ⎩⎪⎨⎪
⎧
Δ≥0，a －2>0，16－b 2>0，
即⎩⎪⎨⎪
⎧
(a －2)2＋b 2≥16，a>2，－4<b<4，
则事件A 包含的基本事件有(6,1)，(6,2)，
(6,3)，(5,3)，共4个，
故方程有两正根的概率为P(A)＝436＝1
9
.
(2)试验的全部结果构成的区域Ω＝{(a ，b)|2≤a ≤6,0≤b ≤4}，其面积为S Ω＝4×4＝16.
设事件B 表示“方程无实根”，则事件B 的对应区域为⎩⎪⎨⎪
⎧
2≤a ≤6，0≤b ≤4，
Δ<0，即
⎩⎪⎨⎪
⎧
2≤a ≤6，0≤b ≤4，(a －2)2＋b 2<16，
如图所示，
其面积S B ＝1
4×π×42＝4π，
故方程没有实根的概率为P(B)＝
4π16＝π4
. 20解 (1)由频率分布直方图得，这20个交通路段中， 轻度拥堵的路段有(0.1＋0.2)×1×20＝6(个)， 中度拥堵的路段有(0.25＋0.2)×1×20＝9(个)， 严重拥堵的路段有(0.1＋0.05)×1×20＝3(个).
(2)由(1)知，拥堵路段共有6＋9＋3＝18(个)，按分层抽样，从18个路段抽取6个，则抽取的三个级别路段的个数分别为618×6＝2，618×9＝3，6
18×3＝1，即从交通
指数在[4,6)，[6,8)，[8,10]的路段中分别抽取的个数为2,3,1.
(3)记抽取的2个轻度拥堵路段为A 1，A 2，抽取的3个中度拥堵路段为B 1，B 2，B 3，抽取的1个严重拥堵路段为C 1，则从这6个路段中抽取2个路段的所有可能情况为：(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 1，C 1)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(A 2，C 1)，(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 1，C 1)，(B 2，B 3)，(B 2，C 1)，(B 3，C 1)，共15种，其中至少有1个路段为轻度拥堵的情况为：(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 1，C 1)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(A 2，C 1)，共9种.
所以所抽取的2个路段中至少有1个路段为轻度拥堵的概率为915＝35
. 21．解：（1）由题图知，T ＝π，于是ω＝2πT ＝2.
将y ＝Asin2x 的图象向左平移
π12
，得y ＝Asin （2x ＋φ）的图象， 于是φ＝2×π12＝π6
， 将（0，1）代入y ＝Asin ⎝ ⎛⎭2x ＋π6，得A ＝2，故f 1（x ）＝2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x ＋π6； （2）依题意，f 2（x ）＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋π6＝－2cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x ＋π6， 所以y ＝f 2（x ）的最大值为2，
当2x ＋π6＝2kπ＋π（k ∈Z ），即x ＝kπ＋5π12
（k ∈Z ）时，y max ＝2， x 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x ＝kπ＋5π12，k ∈Z ， 因为y ＝cosx 的减区间为x ∈[2kπ，2kπ＋π]，k ∈Z ，
所以f 2（x ）＝－2cos （2x ＋π6）的增区间为{x |2kπ≤2x ＋π6
≤2kπ＋π，k ∈Z}， 解得{x|kπ－π12≤x≤kπ＋5π12
，k ∈Z}， 所以f 2（x ）＝－2cos （2x ＋π6）的增区间为x ∈[kπ－π12，kπ＋5π12]，k ∈Z ．
22 解：(1)散点图如图所示，两个变量有线性相关关系．
(2)设回归直线方程是y ^＝b ^x ＋a ^.
由题中的数据可知y －＝3.4，x －＝6.所以
＝1020
＝0.5.
a ^＝y －－
b ^x －＝3.4－0.5×6＝0.4.
所以利润额y 关于销售额x 的回归直线方程为
y ^＝0.5x ＋0.4.
(3)由(2)知，当x ＝4时，y ^＝0.5×4＋0.4＝2.4，所以当销售额为4千万元时，
可以估计该商场的利润额为2.4百万元．。