浙江省绍兴一中2015届高三数学上学期回头考试试题 文(含解析)

绍兴一中2014学年第一学期回头考试题卷
高三数学（文科）
【试卷综析】本试卷是高三文科试卷，以基础知识和基本技能为载体，以能力测试为主导，在注重考查学科核心知识的同时，突出考查考纲要求的基本能力，重视学生科学素养的考查.知识考查注重基础、注重常规、注重主干知识，兼顾覆盖面.试题重点考查：集合、不等式、向量、三视图、导数、简单的线性规划、直线与圆、圆锥曲线、数列、函数的性质及图象、三角函数的性质、三角恒等变换与解三角形、充要条件等；考查学生解决实际问题的综合能力，是份较好的试卷.
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

） 【题文】1.已知集合
{}
|05A x x =∈≤≤N ，
{}
1,3,5A
B =，则集合=B （ ）
A ．{}4,2
B ．{}4,3,2
C ．{}3,1,0
D ．{}4,2,0 【知识点】集合的补集A1 【答案解析】D 解析：因为
{}
|05A x x =∈≤≤N ={0,1,2,3,4,5}，
{}
1,3,5A
B =，所以
B={0,2,4}，所以选D.
【思路点拨】先把集合A 用列举法表示，再结合集合的补集的含义解答..
【题文】2.已知∈b a ,R ，条件p ：“b a >”，条件q ：“122->b
a ”，则p 是q 的
（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【知识点】充分、必要条件 A2
【答案解析】A 解析：由b a >得2221a b b
>>-，所以充分性满足，当a=b=1时221>-，
但条件b a >不成立，所以必要性不满足，则选A.
【思路点拨】判断充要条件时，应先明确条件和结论，由条件能推出结论，充分性满足，由结论能推出条件，则必要性满足..
【题文】3．已知某四棱锥的三视图（单位：cm ）如图所示，则该四棱锥的体积是（ ）
A
3 B
3
C
3
D
3
【知识点】三视图，棱锥体积G2 G7
【答案解析】A 解析：由三视图可知该四棱锥的底面是长和宽分别为4,2的
正视图
俯视图
所以其体积为
1
42
3
⨯⨯=
，所以选A.
【思路点拨】由三视图求几何体的体积，应先由三视图分析原几何体的特征（注意物体的位
置的放置与三视图的关系），再利用三视图与原几何体的数据对应关系进行解答.
【题文】4.设,,
l m n表示三条不同的直线，,αβ表示两个不同的平面，则下列说法正确的是
（）
A．若l∥m，mα
⊂，则l∥α； B．若,,,
l m l n m nα
⊥⊥⊂，则lα
⊥；
C．若l∥α，l∥β，m
αβ=，则l∥m；D．若,,
l m l m
αβ
⊂⊂⊥，则αβ
⊥．
【知识点】空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系G4 G5
【答案解析】C解析：对于A，直线l还有可能在平面α内，所以错误，对于B，若m∥n，
则直线l与平面α不一定垂直，所以错误，对于D，若,,
l m l m
αβ
⊂⊂⊥，两面可以平行和
相交，不一定垂直，所以错误，则选C.
【思路点拨】判断空间位置关系时，可用相关定理直接判断，也可用反例排除判断.
【题文】5.
已知函数
()sin(0)
f x x x
ωωω
=>的图象与x轴的两个相邻交点的距
离等于2
π
，若将函数
()
y f x
=的图象向左平移6
π
个单位得到函数
()
y g x
=的图象，则()
y g x
=是减函数的区间为 ( ) A．
(,0)
3
π
-
B．
(,)
44
ππ
-
C．
(0,)
3
π
D．
(,)
43
ππ
【知识点】三角函数的图像与性质C3
【答案解析】D解析：因为
(
)sin
f x x x
ωω
=
=
2sin
3
x
π
ω
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭，由图象与x轴的
两个相邻交点的距离等于2
π
，所以其最小正周期为π，则2
ω=，所以()2sin2
g x x
=
，
对于A,B,C,D四个选项对应的2x的范围分别是
222
,0,,,0,,,
322323
ππππππ
⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
--
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，
所以应选D.
【思路点拨】研究与三角相关的函数的性质，一般先化成一个角的三角函数再进行解答.
【题文】6. 若函数
()(01)
x x
f x ka a a a
-
=->≠
且在（-∞，+∞）上既是奇函数又是增
函数，则函数
()log()
a
g x x k
=+
的图象是
（ ）
【知识点】奇函数，指数函数与对数函数的图像与性质B3 B4 B6 B7
【答案解析】C 解析：因为函数
()(01)x x
f x ka a a a -=->≠且在（-∞，+∞）上既是奇函数又是增函数，所以k=1且a ＞1，则函数
()()
log 1a g x x =+在定义域
()1,-+∞上为增
函数，所以选C.
【思路点拨】若奇函数在x=0处有定义，则f(0)=0，即可确定k 值，由指数函数的单调性即可确定a ＞1，结合函数的定义域及单调性判断函数的图像即可. 【题文】7. 设等差数列
{}n a 的前n 项和为n S ,若675S S S >>,则满足01<+n n S S 的正整数
n 的值为（ ）
A.13
B.12
C.11
D. 10 【知识点】等差数列的性质D2 【答案解析】B 解析：因为6767
S S S a >=+，所以
70
a <，又
75675
S S a a S =++> ，所
以
670
a a +>，则
()126713760,130
S a a S a =+>=<，所以n=12，选B.
【思路点拨】利用等差数列的性质可以得到数列的项与和的关系，利用项的符号即可判断前n 项和的符号.
【题文】8.已知O 为原点，双曲线22
2
1x y a -=上有一点P ，过P 作两条渐近线的平行线，
且与两渐近线的交点分别为,A B ，平行四边形OBPA 的面积为1，则双曲线的离心率为 （ ）
A 2
B 3
C 52
D 233
【知识点】双曲线的几何性质H6
【答案解析】C 解析：双曲线的渐近线方程是：x±ay=0，设P （m ，n ）是双曲线上任一点，过P 平行于OB ：x+ay=0的方程是：x+ay-m-an=0与OA 方程：x-ay=0交点是
A ,22m an m an a ++⎛⎫ ⎪⎝⎭ ，2112m an OA a +=+，P 点到OA 的距离是：21m an d a -=+
|OA|•d=1，则有2211121m an m an a a -++⨯=+，而2221m n a -=，解得a=2,c=5，所以双
曲线的离心率为5
2，则选C.
【思路点拨】结合与双曲线的渐近线平行设出平行线方程，利用面积建立等量关系进行解答. 【题文】9．已知正方体1111ABCD A B C D -，过顶点1A 作平面α，使得直线AC 和1BC 与
平面
α
所成的角都为
30
，这样的平面
α
可以有
（ ）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个 【知识点】直线与平面所成的角G11
【答案解析】C 解析：因为AD1∥BC1，所以过A1在空间作平面，使平面与直线AC 和BC1所成的角都等于30°，即过点A 在空间作平面，使平面与直线AC 和AD1所成的角都等于30°．因为直线AC 和AD1与平面ABA1都成45°让平面α在平面ABA1的基础上绕点A 旋转，在转动过程中必存在两个平面与两直线AC 和AD1所成的角都等于30°，又因为∠CAD1=60°，设其角平分线为AE ，所以过AE 与平面ACD1垂直的平面β满足要求．则过A1与平面β平行的平面与直线AC 和BC1所成的角都等于30°，这样的平面只有1个，故符合条件的平面有3个，所以选C
.
【思路点拨】本题抓住正方体特征把与异面直线所成的角问题转化为与两相交直线所成角问题，再结合正方体特征及线面所成角进行解答.
【题文】10．平面向量→
→→e b a ,,满足1||=→
e ，1=⋅→
→e a ，2=⋅→
→e b ，2||=-→
→b a ，则→
→⋅b a 的最小值为（ ）
A. 1
2 B. 45 C. 1 D. 2
【知识点】向量的数量积B5 F3 【答案解析】B
解析：设
()()()
1,0,,,,e a x y b m n ===，则有
x=1,m=2,
()()()2
2
2
14
x m y n y n -+-=+-=,得
3,3y n y n -==±，所以
2
2
55
22
244
a b ny n n
⎛
•=+=±+=±+≥
⎝⎭，所以选B.
【思路点拨】在向量的计算中，若直接计算不方便，可考虑建立坐标系，把向量坐标化，利用向量的坐标运算进行解答.
二、填空题（本大题共7小题，每小题3分，共21分）
【题文】11.数
()
()
()()
1
2
3
12
x
e x
f x
f x x
⎧
≥
⎪
=⎨
⎪+<
⎩ ,则()
ln3
f
=________.
【知识点】分段函数B1
【答案解析】e解析：
()()()
ln31
11
ln3ln313
33
f f e e e
+
=+===
.
【思路点拨】对于分段函数求函数值，要结合自变量对应的范围代入相应的解析式.. 【题文】12
已知
cos sin
6
⎛⎫
-+=
⎪
⎝⎭
π
αα
，则
7
sin
6
⎛⎫
+=
⎪
⎝⎭
π
α
.
【知识点】三角函数的化简与求值C7
【答案解析】
3
5
-
解析：因
为
3
cos sin sin
62
π
αααα
⎛⎫
-+=+=
⎪
⎝⎭，
得
13
cos
25
αα
+=
，所以
713
sin cos
625
π
ααα
⎛⎫
+=-=-
⎪
⎝⎭ .
【思路点拨】可对已知条件展开整理，并注意所求式子与已知条件整理后的式子之间的整体关系，即可解答.
【题文】13．已知实数
,x y满足约束条件
20
x y
y x
y x b
-≥
⎧
⎪
≥
⎨
⎪≥-+
⎩ ,若2
z x y
=+的最小值为3，实数b= .
【知识点】简单的线性规划E5
【答案解析】
9
4解析：实数,x y满足约束条件
20
x y
y x
y x b
-≥
⎧
⎪
≥
⎨
⎪≥-+
⎩表示的平面区域如图为阴影部分对应的区域，显然当动直线2x+y=0经过点B时目标函数
2
z x y
=+得最小值3,联立方程
232x y y x +=⎧⎨=⎩ 解得B 点坐标为33,42⎛⎫
⎪⎝⎭，所以339424b =+=.
.
【思路点拨】解简单的线性规划问题，一般先作出其可行域，再数形结合找其最优解，即可解答.
【题文】14.某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价．该地区的电网销售电价表如下：
高峰时间段用电价格表 低谷时间段用电价格表 高峰月用电量 （单位：千瓦时） 高峰电价
（单位：元/千瓦时） 低谷月用电量 （单位：千瓦时） 低谷电价
（单位：元/千瓦时） 50及以下的部分 0.568 50及以下的部分 0.288 超过50至200的部分 0.598
超过50至200的部分 0.318 超过200的部分
0.668
超过200的部分
0.388
若某家庭5月份的高峰时间段用电量为200千瓦时，低谷时间段用电量为100千瓦时，则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为 元（用数字作答）． 【知识点】函数模型的选择与应用B10
【答案解析】148.4解析：因为高峰电费为50×0.568＋150×0.598=118.1元，低谷电费为50×0.288＋50×0.318=30.3元，所以该家庭本月应付的电费为118.1＋30.3=148.4元. 【思路点拨】准确把握电费的分段计费特点，分别计算高峰电费及低谷电费，再求和即可. 【题文】15. 在△ABC 中，B(10，0)，直线BC 与圆Γ：x2＋(y －5)2＝25相切，切点为线段BC 的中点．若△ABC 的重心恰好为圆Γ的圆心，则点A 的坐标为 ． 【知识点】直线与圆的位置关系H4
【答案解析】(0，15) 或 (－8，－1)解析：由已知得过点B 与圆相切的切线长为10，则以B
为圆心，切线长为半径的圆的方程为
()2
210100
x y -+=与已知圆的方程联立
()()2
22210100525x y x y ⎧-+=⎪⎨+-=⎪⎩ 解得切点坐标为（0,0）或（4,8），所以C 点坐标为（－10,0）或
（－2,16），又已知圆心坐标为（0,5）设A 点坐标为(x,y)，利用三角形重心坐标公式得A 点坐标为(0，15) 或 (－8，－1). 【思路点拨】本题的关键是先求切点坐标，可转化为两圆的交点问题，联立方程求切点坐标.
【题文】16．若
()1(1)f x f x +=
+，当[0,1]x ∈时，()f x x =，若在区间(]1,1-内，
()()g x f x mx m =--有两个零点，则实数m 的取值范围是 ．
【知识点】函数与方程B9
【答案解析】1(0,]
2解析：由于x ∈(0,1]时，f(x)=x ，则x ∈(-1,0]时，(x+1)∈(0,1]，故()()1111
11
f x f x x =
-=-++ ，又函数()()g x f x mx m =--有两个零点，等价于
()()
1f x m x =+有两个实根，即为函数f(x)与直线y=m(x+1)有两个不同的交点，作图观
察得实数m 的取值范围是
1
(0,]2.
【思路点拨】一般判断函数的零点个数时，若直接解答不方便，可转化为两个函数的图像的交点问题，利用数形结合解答.
【题文】17. 若正实数,x y 满足244x y xy ++=，且不等式
2
(2)22340x y a a xy +++-≥恒成立，则实数a 的取值范围是 ．
5
(,3][,)
2-∞-+∞
【知识点】基本不等式E6
【答案解析】5
(,3][,)
2-∞-+∞解析：因为244x y xy ++=，所以
424224
xy x y xy =++≥，得
2,2
xy xy ≥，所以()()2222234442234
x y a a xy xy a a xy +++-=-++-=
()()2
2
2
2
42423424242340a xy a a a a a +-+-≥+-+-≥得5
32a a ≥≤-或，所以实
数a 的取值范围是(,3][,)
2-∞-+∞.
【思路点拨】一般遇到不等式恒成立问题，通常转化为函数的最值问题进行解答，本题通过
替换后可看成关于xy 的一次式恒成立问题.
三、解答题：本大题共5小题，共49分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 【题文】18．（本小题满分8分） 在ABC △中，内角,,A B C 对边的边长分别是,,a b c ．已知
2,3c C π
==
．
（Ⅰ）若ABC △，试判断ABC △的形状，并说明理由； （Ⅱ）若sin sin()2sin 2C B A A +-=，求ABC
△的面积． 【知识点】解三角形C8
【答案解析】（Ⅰ）等边三角形（Ⅱ）
解析：（Ⅰ）由余弦定理及已知条件得，2
2
4a b ab +
-=，
又因为ABC △
，所以1
sin 2ab C =4ab =．……..1分
联立方程组2244a b ab ab ⎧+-=⎨
=⎩，
，
解得2a =，2b =．………….2分
故ABC △为等边三角形。

…………………….3分 （Ⅱ）由题意得sin()sin()4sin cos B A B A A A ++-=， 即sin cos 2sin cos B A A A =， …………4分
若cos 0A =，则
2A π
=
，由
2,3
c C π
==
，得
b =
，
所以ABC △的面积
12S bc ==
．…………………………6分 若cos 0A ≠，可得sin 2sin B A =，由正弦定理知2b a =，
联立方程组2242a b ab b a ⎧+-=
⎨=⎩，，解得
a =
b =．
所以ABC △的面积
123sin 23S ab C =
=．………………………8分.
【思路点拨】在解三角形中，结合已知条件恰当的运用余弦定理和正弦定理及三角形面积公
式进行转化，得到边长的方程组，即可解答.. 【题文】19．（本小题满分8分）
如图，矩形ABCD 中，AB=2BC=4，E 为边AB 的中点，将△ADE 沿直线DE 翻折成△A1DE （1）设M 为线段A1C 的中点，求证： BM// A1DE ；
（2）当平面A1DE⊥平面BCD 时，求直线CD 与平面A1CE 所成角的正弦
值．
【知识点】直线与平面平行、直线与平面所成的角G4 G11
【答案解析】（1）略（2）1
2
解析：(1)证明：取A1D 的中点N ，连接MN ，NE ，因为MN ∥DC ，
1
2MN DC =
，EB ∥DC ，
1
2EB DC =
,则MN ∥EB 且MN=EB ，所以四边形MNEB 为平行四边形，则MB ∥NE ，
1NE A DE
⊂平面，所以BM// A1DE ；3分
(2) 解：(1)略；3分
（2）由矩形ABCD 中，AB=2BC=4，E 为边AB 的中点，可得ED2=22+22=8=CE2，CD2=42=16，∴CE2+ED2=CD2，∴∠∴CE ⊥ED ．
又∵平面A1DE ⊥平面BCD ，∴CE ⊥平面A1DE ，∴CE ⊥DA1．
又∵DA1⊥A1E ，A1E∩EC=E，∴DA1⊥平面A1CE ，∴∠A1CE 即为直线CD 与平面A1CE 所成的角．在Rt △A1CD
A1CD==． …………8分
.
【思路点拨】证明直线与平面平行通常结合直线与平面平行的判定定理，在平面内找到一条直线与已知直线平行；求直线与平面所成角，通常先找出其平面角，再利用三角形求角. 【题文】20. （本小题满分11分） 等差数列
{}n a 的各项均为正数，13a =，前n 项和为n S ，{}n b 为等比数列, 12b =，且
2232,b S = 33120b S =．
（1）求
n a 与n b ；
（2）求数列
{}n n a b 的前n 项和n T 。

（3）若21
2
11
1
1n
x ax S S S +++
≤++对任意正整数n 和任意x ∈R 恒成立，求实数a 的取
值范围．
【知识点】等差数列与等比数列的综合应用D2 D3 D4 【答案解析】（1）32(1)21,2n
n n a n n b =+-=+=（2）
1(21)22
n n T n +=-⋅+（3）
11a -≤≤解析：（1）设
{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，则d 为正整数，
3(1)n a n d =+-，12n n b q -=
依题意有23322(93)2120(6)232S b d q S b d q ⎧=+=⎨=+=⎩，即2(93)60
(6)16
d q d q ⎧+=⎨+=⎩， 解得2
,8d q =⎧⎨
=⎩或者65103d q ⎧
=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（舍去），
故
32(1)21,2n
n n a n n b =+-=+=。

（4分/
（2）
(21)2n
n n a b n =+⋅。

213252(21)2(21)2n n n T n n -=⋅+⋅+
+-⋅++⋅， 231
23252(21)2(21)2n n n T n n +=⋅+⋅++-⋅++⋅，
两式相减得
231
32222222(21)2n n n T n +-=⋅+⋅+⋅++⋅-+ 23112112222(21)222(21)2(12)22n n n n n n n n +++++=++++-+=--+=--，
所以1(21)22n n T n +=-⋅+。

（8分）
（3）35(21)(2)n S n n n =++
++=+ ， ∴121111111132435(2)n S S S n n +++=++++⨯⨯⨯+ 11111111(1)2324352n n =-+-+-++-+
1111(1)2212n n =+--++323342(1)(2)4n n n +=-<++，（10分）
问题等价于
2()1f x x ax =++的最小值大于或等于3
4， 即23144a -≥，即21a ≤，解得11a -≤≤。

（11分）.
【思路点拨】对于等差数列与等比数列综合问题，通常直接利用公式转化求解；对于数列求和问题通常结合通项特征确定求和思路；对于不等式恒成立问题，通常转化为最值问题进行解答.
【题文】21. （本小题满分11分）
如图，已知直线l 与抛物线
y x 42=相切于点P(2，1)，且与x 轴交于点A ，O 为坐标原点，定点B 的坐标为（2，0）.
（I ）若动点M 满足0||2=+⋅AM BM AB ，求点M 的轨迹C ；
（II ）若过点B 的直线l ′（斜率不等于零）与（I ）中的轨迹C 交于不同的两点E 、F （E 在B 、F 之间），试求△OBE 与△OBF 面积之比的取值范围.
【知识点】圆锥曲线综合应用H8 H9
【答案解析】（I ）点M 的轨迹为以原点为中心，焦点在x 轴上，长轴长为22，短轴长为2的椭圆（II ）（3－22，1） 解析：（I ）由22414x y y x ==得，.21x y ='∴∴直线l 的斜率为1|2='=x y ， （用点斜式0∆=）故l 的方程为1-=x y ，∴点A 坐标为（1，0），………….2分
设),(y x M ，则),1(),,2(),0,1(y x AM y x BM AB -=-==，
由0||2=+⋅AM BM AB 得
.0)1(20)2(22=+-⋅+⋅+-y x y x 整理，得.1222
=+y x ∴点M 的轨迹为以原点为中心，焦点在x 轴上，长轴长为22，短轴长为2的椭圆 ……… 5分
（II ）如图，由题意知直线l 的斜率存在且不为零，设l 方程为y=k(x －2)(k ≠0)①
将①代入1
222
=+y x ，整理，得
0)28(8)12(2222=-+⋅-+k x k x k ，
由△>0得0<k2<21
. 设E(x1，y1)，F(x2，y2) 则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=+.1228,128222122
21k k x x k k x x ②…………..8分
令||||,BF BE S S OBF OBE ==
∆∆λλ则，.10,22,21<<--=⋅=λλλ且x x BF BE
由②知()()()12121222222421x x x x x x k --=--+=
+ ，所以()222181k λλ+=+ ，即()2241
21k λ
λ=-+，因为2
102k <<，所以()24110221λλ<-<+，解得322322λ-<<+，又01λ<<，所以3221λ-<<，∴△OBE 与△OBF 面积之比的取值范围是（3－22，1）. …………..11分.
【思路点拨】注意求轨迹方程和求轨迹的区别，求轨迹时，在求出轨迹方程后必须指明轨迹形状特征；对于第二问为直线与圆锥曲线位置关系问题，此类问题通常把要解决的问题转化为直线与圆锥曲线的交点坐标关系，再通过联立方程用韦达定理转化求解.
【题文】22. （本小题满分11分） 已知函数).0()1()21(),()(,3)(21f g g R b a cx bx x g ax x f =--∈+=-=--且
试求,b c 所满足的关系式；
若b=0，试讨论方程()||()0f x x x a g x +-=零点的情况.
【知识点】函数与方程B1 E2
【答案解析】（1）01=--c b (2) 当a=0或a=﹣2时， 一个零点；当a ＞0或﹣2＜a ＜0时，有两个零点；当a ＜﹣2时无零点.
解析：（1）由)0()1()21(f g g =--，得3)()42(-=+-+-c b c b
∴b 、c 所满足的关系式为01=--c b ．
(2)原方程等价于
23||ax x x a -=-根据图像可得：当0=a 时，3||,0x x x -== 一个零点 当0>a 时，两个零点，当20a -<<时，两个零点，当2a =-时，一个零点，当2a <-时，无零点.
【思路点拨】遇到判断方程的根的个数问题，若无法直接求根时，可转化为两个函数的图像的交点问题解答.。