用函数图象解决等差、等比数列问题

， ，
若ｓ ５ ， 则 取 与—＋ｍ 最 接近 的正整数 时对应 ＝ ｌ
。
＼１
．
Ｊ
的 Ｓ最 大 ．
若 ｓ （≥２）则 取 与 最 接 近 的正 整 数 时对 ＦＤｚ ， 应 的Ｓ 最大．
二 、 函数 角 度 看 等 比数 列 从
下面讨论一下公差 ｄ 时 ５的单调性 和最值 ． ≠０ ，
问题 一 ：全 国 高考 ） （ 已知 ａ， 一 ａ为 各 项 都 大 ， ａ ，
若 ｄ ， 由 ５ Ｓ 知 点 （ ， 所在 抛物线 对应 ≠０ 则 ｎＳ） 的二 次 函数 ｇ ｘ 的对称 轴为直线 ｘ Ｌ （） ：
０ 因 此 （ ｍ） Ｄ 故 Ｓ ： ． ， ＝， 口 ＋ 显 然 ，＝ 时 ， ＝ 知 必 有 （ －， 有 ＝ ． ｄＯ 由 １ ０亦 ． － Ｄ
，
图象如 图 １ 曲线②所 示 ， 常情况下 其单调性为先 中 通
从 函数 角 度 看 等 差 数 列
、
减后增 ， ｎ取与 最接近 的正整数 时对应 的ｓ最小 则 （ 但是 当 ≤ 即 ｄ≥一 。时例夕 ） ． 若ｓｓ ： 则 取与
的Ｓ ｎ最 小 ．
１ 等 差 数 列 的通 项 公 式 － （ ） ｎ＋ ｎ Ｊ ・ ＝ ． ＿ ｎ ＝ ， （— ） ｄ ／ ｄ ｎ （ ｄ ． 公 差 ｄ ，１ 关 于 ｎ的 一 次 函数 ． ・ ＋ ｎ ）若 ≠０ ９ 。是 『 Ｊ
教 材教 法
用 函数 图象解 决
等差◆ 等比数列问题
● 张 成
我们知道 ， 函数 图象 知识在解决 函数 问题 中地位 十分重 要 ， 而数列 是特殊 的 函数 ， 因此在 解决数列 问 题 中也应注重 函数图象知识 的应用 ． 在数列 问题中利 用 函数 的图象 ， 以起到 化抽象 为直观 ， 繁 为简 的 可 化
示 ， 常情 况 下 其单 调 性 为 先 增 后 减 ， ｎ 与 ｋ 接 通 则 取 最
Ｓ
／ 、
＼～
， ～ ，
上 —— 一 Biblioteka — — — — — 一 ／
近 的正整数时对 应的 ｓ最 大 （ 但是 当 ≤ ３ 即ｄ ≤
时例外 ） ．
一
。
： 一 ～ ， ， ，
一
） 图象所 在抛 物线 的对称轴 ，
ｄ，
：。 ，
三
则 。 厂ｎ：． 。ｇ （）。 ＿ 、为不等于 Ｏ 的常数 ） ＞ ． ， 当 Ｄ
为 直 线 ｎ＝ ．根 据 Ｓ ＝ｇ ｎ 的 网 象 所 在 抛 物 线 过 原 （）
点和具有对称性 的特点 ， 可以得出 ：
效 果 ， 以 拓 宽 解 题 思 路 ， 各 部 分 知 识 形 成 有 机 的 可 使 整体。
一
【１ ）当 ｄ ＞ ０ 时 ：
若 Ｄ 专，于 变 ｎ Ｊ ｎ ， ≤ 由 自量 ≥ ， 为 ≥则 故
关于 ｎ的增 函数 ， 则有 ｓ最小 ； 。＜ ， ， 若 ，Ｄ 则 ＞ １ ５的
当 ｄ＞０ ， 为递增 数列 ， ｄ＜ 时 ， 为递减 数 时 ｏ， 当 Ｏ “， 列， 图象为直线上一些离散的点 ．
２ 等差数列前 ｎ 和５ （）舢， ． 项 ，： ＋
１
最接 近的正整 数时对应
一 ＿ ｄ ：
二
若 ｓ：０（ｆ ， ≥２） 则 取与 最接 近的正整数时 ，
综上 ， Ｓ ＝ 有 ＋
，
又ｇ ｏ＝ （）
于零 的等 比数列 ， 比ｑ ， ） 公 ≠Ｊ 则（
Ａ ． ＋ ＞ ０ ＋ Ｂ． ＋ ＜ ａ ＋ｔ Ｃ． ， ０ ＝ ４ 口ｊ ａ，ｎ８ Ⅱ ａ，Ⅱ ４ｃ ｎ＋ ｓｎ＋
且ｑｌ ＞ 时其 图象如 图 ３ 所示 曲线 ⑤上一些 离散 的点 ；
矗
一
２０． ０ ９ ７期 ｌ ３ ｌ ３， ＿
— — — — — — — — — — — 一
当 ａ＞ Ｈ Ｏ ｑ ｌ ｌｏ ＜＜ 时其图象如图 ３ 所示 曲线⑥上一些离
散 的 点
２ 图象对 称 性 的应 用． 对 于等差 数 列 ， 差 ． 公
１
对 于 等 比数 列 ， 里 只简单 讨论 一 下 。的 图象． 这 ，
等 比数 列 ） 的通 项 公 式 仉 （ ） 。ｒ ： ￣ｎ 令 ｎ：， ！ ｑ 厂，
若公差ｄ 不为０可将Ｓ化为Ｓ＝ ・ — ） ， ， ｎ ｎ－ （ ￣ｄ ｎ ＋
二
的形 式 （ 中 ： 其 — １
分析： ｄ ， 若 ＃Ｏ 由题设知
图３
（） ｎ 的图象所在抛物
三、 巧用函数图象解决等差 、 比数列问题 等
线 的对称轴为直线 ：
二
， 根据对称性可知 ， 图象所
ｚｍ，）则有 Ｓ ｌ＝ ＋ １ 应 用 图象 比较 大 小 ． 对 于 某 些 比较 大 小 的 题 在抛物线 与横轴的另一个交点为（＋ ０ ， ． 解： 设等差数列的前 ｎ 项和 Ｓ （ ）公差为ｄ ｎ， ． 目， 以画 出对 应函数 的图象 ， 用单调性或 根据图 可 利 象的特殊性进行 比较．
对应 的Ｓ最小 ．
（ ） ｄ＜０时 ： ２当
÷ ｄｎ＋Ⅱ — ） ， ≠ ， ｎ ・ （ ＿ 若ｄ ０则Ｓ 是关于ｎ ｒ 的二次
二
数， 且常数项 为 ０。 因此 图象为抛 物线 上一些 离散
的点 ， 在抛物线必过原 点 （ 图 １罔 ２ 示 ） 所 如 、 所
Ｊ
若 。≤０ 则 ≤ ， ， ， ｓ 为关于 的减 函数 ， 则有 ｓ ， 最 大 ； 。＞ ， 若 ，Ｄ 则 ＞ ， ｓ 的图象 如 图 ２中 曲线 ④ 所
ｄ ≠０时 ， ｒ 和 Ｓ （ ） 前ｔ 项 ｎ 的图象为抛 物线上一 些离
散 的点 ， 设对称轴 为直线 ｎ ｋ 由于所在抛物线经过坐 ＝， 标原点 ， 据对 称性知所 在抛物线 与横轴另一个交点 根
坐标 为 （ ， ） ０．
问题二 ： 已知等差数列／ 中，＝ ｚ ， ． ７ Ｓ （ ≠ｍ）求Ｓ