高二人教版不等式练习题

高二人教版不等式练习题
一、基本不等式
1. 已知a > b，求证：a + b > 2b。

2. 已知x > 0，求证：x^2 + 1 > x。

3. 已知a, b均为正数，求证：a^2 + b^2 ≥ 2ab。

4. 已知x, y为实数，求证：(x + y)^2 ≥ 0。

5. 已知a, b, c为等差数列，求证：a^2 + b^2 + c^2 ≥ ab + bc + ca。

二、一元二次不等式
1. 解不等式：x^2 5x + 6 > 0。

2. 解不等式：2x^2 3x 2 ≤ 0。

3. 解不等式：x^2 4x + 4 < 0。

4. 解不等式：x^2 6x + 9 > 0。

5. 解不等式：x^2 5x + 6 ≤ 0。

三、分式不等式
1. 解不等式：x / (x 1) > 1。

2. 解不等式：1 / (x 2) < 0。

3. 解不等式：x / (x + 3) + 2 / (x 1) ≥ 0。

4. 解不等式：1 / (x + 1) 1 / (x 1) > 0。

5. 解不等式：x / (x^2 4) ≤ 0。

四、含绝对值不等式
1. 解不等式：|x 2| > 3。

2. 解不等式：|2x 1| ≤ 5。

3. 解不等式：|x + 3| + |x 1| ≥ 4。

4. 解不等式：|x 4| |x + 2| < 0。

5. 解不等式：|x^2 5x + 6| > 0。

五、综合应用题
1. 已知不等式组：2x 3y > 6，x + 4y ≤ 8，求x的取值范围。

2. 已知不等式组：x y < 2，x + y > 4，求x与y的关系。

3. 已知不等式组：x^2 y^2 > 1，x + y = 5，求x与y的值。

4. 已知不等式组：|x 1| + |y + 2| = 3，x y = 2，求x与y
的值。

5. 已知不等式组：a^2 + b^2 ≥ 2ab，a + b = 6，求a与b的
取值范围。

六、不等式的证明与应用
1. 已知a, b为正数，证明：a/b + b/a ≥ 2。

2. 已知x > 0，证明：x + 1/x ≥ 2。

3. 证明：对于任意实数x，不等式x^3 x ≥ 0成立。

4. 已知a, b, c为等比数列，证明：(a + b + c)^2 ≥ 3abc。

5. 证明：若a, b, c均为正数，则(a + b + c)(1/a + 1/b +
1/c) ≥ 9。

七、函数与不等式
1. 已知函数f(x) = x^2 2x + 1，求不等式f(x) > 0的解集。

2. 已知函数g(x) = |x 3|，求不等式g(x) ≤ 2的解集。

3. 已知函数h(x) = 1/x，求不等式h(x) > h(2)的解集。

4. 已知函数p(x) = 2x 3，求不等式p(x) < 0的解集。

5. 已知函数q(x) = x^3 3x，求不等式q(x) ≥ 0的解集。

八、实际应用题
1. 某商品的成本为2000元，售价为x元，若要使利润率不低于10%，求x的取值范围。

2. 一辆汽车以60km/h的速度行驶，行驶t小时后的距离不超过300km，求t的取值范围。

3. 一家公司计划投资两个项目，项目A需投资100万元，预计年收益为20万元；项目B需投资200万元，预计年收益为50万元。

若公司要求总投资不超过300万元，求两个项目的投资比例。

5. 一块长方形土地的长是宽的两倍，若长方形的面积不超过1000平方米，求长方形的长和宽的取值范围。

答案
一、基本不等式
1. a + b > 2b
2. x^2 + 1 > x
3. a^2 + b^2 ≥ 2ab
4. (x + y)^2 ≥ 0
5. a^2 + b^2 + c^2 ≥ ab + bc + ca
二、一元二次不等式
1. x < 2 或 x > 3
2. x ∈ [1, 1]
3. 无解
4. x ≠ 2
5. x ∈ [2, 3]
三、分式不等式
1. x ∈ (∞, 1) ∪ (2, +∞)
2. x ∈ (∞, 2) ∪ (2, +∞)
3. x ∈ (∞, 3) ∪ (1, +∞)
4. x ∈ (∞, 1) ∪ (1, +∞)
5. x ∈ (∞, 2) ∪ (2, 2) ∪ (2, +∞)
四、含绝对值不等式
1. x < 1 或 x > 5
2. x ∈ [3, 3]
3. x ∈ (∞, 1] ∪ [3, +∞)
4. x ∈ (∞, 2) ∪ (1, 2)
5. x ≠ 2 且x ≠ 3
五、综合应用题
1. x > 6
2. x > 2
3. 无解（因为x^2 y^2 > 1与x + y = 5矛盾）
4. x = 3, y = 1 或 x = 1, y = 3
5. a, b为等比数列的两项，且公比q = b/a，则a, b的取值范围为(0, +∞)。

六、不等式的证明与应用
1. a/b + b/a ≥ 2
2. x + 1/x ≥ 2
3. x^3 x ≥ 0
4. (a + b + c)^2 ≥ 3abc
5. (a + b + c)(1/a + 1/b + 1/c) ≥ 9
七、函数与不等式
1. x ∈ (∞, 1) ∪ (1, +∞)
2. x ∈ [1, 5]
3. x ∈ (0, 2) ∪ (2, +∞)
4. x ∈ (∞, 3/2)
5. x ∈ (∞, √3] ∪ [0, √3] ∪ [√3, +∞)
八、实际应用题
1. x ≥ 2200
2. t ∈ (0, 5]
3. 设投资A项目的金额为100万元，投资B项目的金额为200万元，则投资比例为1:2。

4. x + y ≥ 160
5. 长的取值范围为(0, 10√10]，宽的取值范围为(0, 5√10]。