黑龙江省哈师大附中2013届高三第二次月考数学(文)试题

哈师大附中2013届高三第二次月考数学（文)试题
考试说明:
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题)两部分，考试
时间120分钟．
2．答卷前，考生务必写好姓名、并将考号、考试科目用2B 铅笔涂
写在答题卡上．
3．将第Ⅰ卷选择题的答案涂在答题卡上，第Ⅱ卷每题的答案写在答
题纸的指定位置．
4．考试结束,将答题纸和答题卡一并交回，答案写在试卷上视为无
效答案．
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分，共60分．在每小题给出
的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．下列各组中的两个集合
A
和
B
，表示同一集合的是
（ ）
A ．
{}{}14159
.3,==B A π B ．{}(){}3,2,3,2==B A
C ．{}{}1,,11=∈≤<-=B N x x x A
D ．{}
{}
3,1,,,3,1-==ππB A
2．已知函数
)
(x f 的定义域为[]1,0，则
)
(2x f 的定义域为
（ ） A ． ()0,1- B ．[]1,1- C ．()1,0
D ．[]1,0
3
．
2
0.34log 4,log 3,0.3a b c -===，
则
（ ）
A ．a c b <<
B ．c b a <<
C ．a b c <<
D ．b a c <<
4．“为真且q p ”是“为真或q p ”的
（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 5．设函数)(x f 对任意y x ,满足)()()(y f x f y x f +=+，且4)2(=f ,则)1(-f 的值为
（ )
A ．3-
B ．2-
C ．2
D ．3
6．若函数)(x f 的零点与224)(-+=x x g x
的零点之差的绝对值不超过25.0，
则)(x f 可以是
( ） A ． 14)(-=x x f
B ．2
)
1()(-=x x f
C ．1)(-=x
e
x f
D ．)2
1ln()(-=x x f
7
．
函数
]
5,1[,142∈+-=x x x y 的值域是
( ）
A ．
]61[，
B ． ]13[，-
C ．
),3[+∞-
D ． ]63[，- 8．曲线C ：x
y e =在点A 处的切线l 恰好经过坐标原点，则A 点的坐标为
( ）
A ．),1(e
B ．)1,1( C
．
)1,(e
D ．)1,1(e
9．在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇，
现有4辆甲型货车和8辆
乙型货车可供使用．每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20
台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台．若每辆车
至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为 ( )
A ．
2800元
B ．2400元
C ．2200元
D ． 2000元
10．已知()f x 是定义在实数集R 上的增函数,且(1)0f =，函数()g x 在(,1]-∞上
为增函数，在[1,)+∞上为减函数，且(4)(0)0g g ==，则集合
{|()()0}x f x g x ≥=
（ )
A ． {|014}x x x ≤≤≤或
B ．{|04}x x ≤≤
C ．{|4}x x ≤
D ．{|014}x x x ≤≤≥或
11．已知定义在R 上的函数)(x f 满足：)2()(+=x f x f ，当[]5,3∈x 时，
42)(--=x x f ．
下列四个不等关系中正确的是
（ ）
A ． )6
(cos
)6(sin
π
πf f <
B ．)1(cos )1(sin f f >
C ．
)3
2(sin )32(cos ππf f <
D ．)2(sin )2(cos f f >
12．已知函数742)(23
---=x x x
x f ，其导函数为)(x f '．
①)(x f 的单调减区间是⎪⎭
⎫
⎝⎛2,3
2；
②)(x f 的极小值是15-;
③当2>a 时，对任意的2>x 且a x ≠，恒有))(()()(a x a f a f x f -'+> ④函数)(x f 满足0)3
2()3
2(=++-x f x f
其中假命题的个数为
（ ) A ．0个 B ．1个
C ．2个
D ．3个
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．已知集合{}
R x x
y y M ∈+==,12
,{}2
2x y x N -==，则 M （
N R
）=______．
14．命题“R x ∈∀，使得012
>++x x ．”的否定是___________________．
15．函数,1)(x
x
x f +=则函数x x f x g -=)()(的零点是 ．
16．函数
()331f x ax x =-+对于
[]
1,1x ∈-总有()
f x ≥0 成立，则
a =
．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证
明过程或演算步骤）
17．（本题满分12分）
已知c b a ,,是三个连续的自然数，且成等差数列,5,2,1+++c b a 成等比数
列,求c b a ,,的值．
18．(本题满分12分）
已知集合{}0
862
<+-=x x
x A ，()(){}40B x x a x a =--<,
（1) 若0>a 且{}43<<=x x B A ，求a 的值； （2） 若A B A = ，求a 的取值范围． 19．（本题满分12分）
已知函数()||f x x x m n =++，其中,m n R ∈
(1） 若()f x 为R 上的奇函数,求,m n 的值；
（2） 若常数4-=n ，且()0f x <对任意[0,1]x ∈恒成立，求m 的取值范围．
20．（本题满分12分）
如图，在平面直角坐标系中，N 为圆A 16)
1(:22
=++y x 上的一动点，
点
)0,1(B ，点M
是BN
中点，点P 在线段AN 上，且.0=⋅BN MP （1）求动点P 的轨迹方程；
（2）试判断以PB 为直径的圆与圆422
=+y x
的位置关系，
并说明理由．
21．（本题满分12分)
已知函数2
()(ln )x f x k k x e =- （k 为非零常数, 2.71828e =⋅⋅⋅是自然对数的底
数）,曲线
()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与x 轴平行．
（1）判断)(x f 的单调性； （2）若()
(1)ln ,(0)x f x a x e x b a
,
求b a )1(+的最大值．
请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如多选，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．
22．（本题满分10分)选修4-1：几何证明选讲
如图，在正∆
ABC 中,点D ，E 分别在边,BC AC 上,
且11,3
3
BD BC CE CA ==,,AD BE 相交于点P ，
求证：（1) ,,,P D C E 四点共圆；
（2） AP CP ⊥．
23．（本题满分10分）选修4—4:坐标系与参数方程
已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x 轴非负半
轴重合．直线l 的参数方程为：⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=+-=t y t x 2123
1（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为：θρcos 4=．
（1)写出曲线C 的直角坐标方程，并指明C 是什么曲线; （2)设直线l 与曲线C 相交于Q P ,两点，求PQ 的值．
24．（本题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知关于x 的不等式a x x 2
log 112≤--+（其中0>a ）．
（1）当4=a 时，求不等式的解集；
（2）若不等式有解，求实数a 的取值范围．
学必求其心得，业必贵于专精
参考答案
三、解答题
17．（本题满分12分）
解：因为c b a ,,是三个连续的自然数，且成等差数列，故设
1,,1+==-=n c n b n a ,——3
分
则65,22,1+=++=+=+n c n b n a ， 由5,2,1+++c b a 成等比数列, 可得()
()622
+=+n n n ，解得2=n ,—-———9分
所以3,2,1===c b a -—————12分
当0>a 时,{}4B x a x a =<<，需244a a ≤⎧⎨≥⎩
,解得12a ≤≤；--——9
分
当0=a 时，Φ=B ，不合题意；————10分
当0<a 时，{}4B x a x a =<<，需42
4
a a ≤⎧⎨
≥⎩，无解；----11分 综上12a ≤≤．--—-12分 19．(本题满分12分）
解：（Ⅰ) 若()f x 为奇函数，
x R ∈,(0)0f ∴=,即 0n =,---2分
()||f x x x m ∴=+
由(1)(1)f f -=-，有|1||1|m m +=-，0m ∴=--—4分
此时，()||f x x x =是R 上的奇函数，故所求,m n 的值为0m n == (Ⅱ) ① 当0x =时,
40-<恒成立，m R ∴∈---—6
分
对（1）式:
令4()g x x x
=-+,当(0,1]x ∈时，()08
1'2
<--=x x g ，
则()g x 在(0,1]上单调递减,min
()
(1)3m g x g ∴<==
对（2）式：令4()h x x x
=--，当(0,1]x ∈时，24
()10h x x
'=-+>, 则()h x 在(0,1] 上单调递增,max
()
(1)5m h x h ∴>==-——-11分
由①、②可知,所求m 的取值范围是 53m -<<．——-12
分
可知动点P
的轨迹方程为.
1342
2=+y x —-——4
分
（2)设点0
(,),P x y PB
的中点为Q ，则
1(
,)22
x y Q
即以PB 为直径的圆的圆心为)2
,21(0
y x Q +, 半径为,4
1
101
x r
-
=又圆422=+y x 的圆心为O （0,0），半径,22
=r
2
2
2200
0001
1111332
2
42444
x y OQ
x x x 又
121161020++=
x x ,
4110x +=——---8
分
设1()1ln g x x x =--,则'
22111()x
g x x
x x
-=-+
= 于是()g x 在区间)1,0(内为增函数;在),1(+∞内为减函数． 所以()g x 在1x =处取得极大值,且(1)0g =
所以()0g x <,故'
()0f x <所以)(x f 在(0,)+∞上是减函数．—--—4分
设2
2()ln (1)F t t
t t t =->； 则()(12ln )F t t t '=- ————---9分
()01,()0F t t e F t t e ''>⇔<<<⇔>
当t e =时， max ()2
e F t =
，当1,a e b e =-=时,(1)a b +的最大值为
2
e -—-12
分
22．（本题满分10分)选修4-1：几何证明选讲
证明：（I ）在ABC ∆中，由11,,
3
3
BD BC CE CA ==
知：ABD ∆≌BCE ∆,
ADB BEC ∴∠=∠即ADC BEC π
∠+∠=．
所以四点,,,P D C E 共圆；——-5分
（II)如图,连结DE ．在CDE ∆中，2CD CE =，60ACD ∠=，由正弦定理知
90
CED ∠=由四点,,,P D C E 共圆知，DPC DEC ∠=∠，所以.AP CP ⊥—--10分
（2）把⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧=+-=t y t x 2123
1代入x y x 422=+,整理得05332=+-t t ，—-—6分
设其两根分别为,,2
1
t t 则5,332121
==+t t t t
，-——8分
所以721
=-=t t
PQ ．——--10
分
24．（本题满分10分）选修4—5:不等式选讲
解：（1）当4=a 时，2)(≤x f ，
21
-
<x 时，22≤--x ，得2
14-≤≤-x
学必求其心得，业必贵于专精
(1）设⎪⎪⎪⎩
⎪⎪
⎪⎨⎧>+≤≤--<--=--+=1
,2121,32
1,2112)(x x x x x x x x x f ,---7分 （2）故⎪⎭⎫
⎢⎣⎡+∞-∈,23)(x f ,-———8分
（3）即)(x f 的最小值为23
-．所以若使a x f 2log )(≤有解，
只需min 2)(log x f a ≥，
即。