镇江市B卷-2021年中考数学金榜预测卷(江苏地区专用)(解析版)

2020—2021学年镇江市中考金榜预测卷B
一．选择题（共6小题，满分18分，每小题3分）
1．（3分）下列计算中，正确的是（）
A．（2a）3＝2a3B．a3+a2＝a5C．a8÷a4＝a2D．（a2）3＝a6
【分析】根据积的乘方、合并同类项、同底数幂的除法以及幂的乘方进行计算即可．
【解答】解：A、（2a）3＝8a3，故本选项错误；
B、a3+a2不能合并，故本选项错误；
C、a8÷a4＝a4，故本选项错误；
D、（a2）3＝a6，故本选项正确；
故选：D．
【点评】本题考查了积的乘方、合并同类项、同底数幂的除法以及幂的乘方，掌握运算法则是解题的关键．
2．（3分）如图，是由四个完全相同的小正方体组合而成的几何体，从正面看它得到的平面图形是（）
A．B．
C．D．
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【解答】解：从正面看，如图所示，
，
故选：A．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．
3．（3分）某校足球队有16名队员，队员的年龄情况统计如下：
年龄/岁13141516
人数3562则这16名队员年龄的中位数和众数分别是（）
A．14，15B．15，15C．14.5，14D．14.5，15
【分析】根据中位数、众数的定义分别进行解答，即可得出答案．
【解答】解：共有16个数，最中间两个数的平均数是（14+15）÷2＝14.5，则中位数是14.5；
15出现了6次，出现的次数最多，则众数是15；
故选：D．
【点评】此题考查了中位数、众数，掌握中位数、众数的定义是本题的关键；中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数；
众数是一组数据中出现次数最多的数．
4．（3分）一辆客车和一辆卡车同时从A地出发沿同一公路同方向行驶，客车的行驶速度是70km/h，卡车的行驶速度是60km/h，客车比卡车早1h经过B地．设A、B两地间的路程是xkm，由题意可得方程（）
A．70x﹣60x＝1B．60x﹣70x＝1C．x
60−
x
70
=1D．
x
70
−
x
60
=1
【分析】设A、B两地间的路程为xkm，根据题意分别求出客车所用时间和卡车所用时间，根据两车时间差为1小时即可列出方程，求出x的值．
【解答】解：设A、B两地间的路程为xkm，
根据题意得x
60−
x
70
=1，
故选：C．
【点评】本题主要考查了一元一次方程的应用的知识，解答本题的关键是根据两车所用时间之差为1小时列出方程，此题难度不大．
5．（3分）如图，两个三角形是以点P为位似中心的位似图形，则点P的坐标是（）
A ．（﹣3，2）
B ．（﹣3，1）
C ．（2，﹣3）
D ．（﹣2，3）
【分析】根据位似变换的概念找出位似中心，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可． 【解答】解：如图点P 为位似中心， ∴
PB PA
=12
，即
PB
PB+3
=1
2
，
解得，PB ＝3，
∴点P 的坐标为（﹣3，2）， 故选：A ．
【点评】本题考查的是位似变换的概念和性质，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
6．（3分）如图，在坐标系中放置一菱形OABC ，已知∠ABC ＝60°，点B 在y 轴上，OA ＝1．将菱形OABC 沿x 轴的正方向无滑动翻转，每次翻转60°，连续翻转2020次，点B 的落点依次为B 1，B 2，B 3，…，则B 2020的坐标为（ ）
A ．（1345，0）
B ．（1345.5，
√3
2） C ．（1346，0）
D ．（1346.5，
√32
） 【分析】连接AC ，根据条件可以求出AC ，画出第5次、第6次、第7次翻转后的图形，容易发现规律：每翻转6次，图形向右平移4．由于2020＝336×6+4，因此点B 4向右平移1344（即336×4）即可到达点B 2020，根据点B 4的坐标就可求出点B 2020的坐标． 【解答】解：连接AC ，如图所示． ∵四边形OABC 是菱形， ∴OA ＝AB ＝BC ＝OC ． ∵∠ABC ＝60°， ∴△ABC 是等边三角形． ∴AC ＝AB ． ∴AC ＝OA ． ∵OA ＝1， ∴AC ＝1．
画出第5次、第6次、第7次翻转后的图形，如图所示． 由图可知：每翻转6次，图形向右平移4． ∵2020＝336×6+4，
∴点B 4向右平移1344（即336×4）到点B 2020． ∵B 4的坐标为（2，0）， ∴B 2020的坐标为（2+1344，0）， ∴B 2020的坐标为（1346，0）． 故选：C ．
【点评】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质等知识，考查了操作、探究、发现规律的能力．发现“每翻转6次，图形向右平移4”是解决本题的关键． 二．填空题（共12小题，满分24分，每小题2分）
7．（2分）已知|a ﹣b |＝2，当b ＝1时，a ＝ 3或﹣1 ． 【分析】将b ＝1代入|a ﹣b |＝2解答即可． 【解答】解：当b ＝1时，|a ﹣b |＝|a ﹣1|＝2， 可得a ﹣1＝±2， 解得a ＝3或﹣1， 故答案为：3或﹣1．
【点评】本题主要考查了绝对值的定义，熟练掌握定义是解答此题的关键． 8．（2分）把多项式ax 2﹣4ax +4a 因式分解的结果是 a （x ﹣2）2 ． 【分析】直接提取公因式a ，进而利用完全平方公式分解因式得出答案． 【解答】解：ax 2﹣4ax +4a ＝a （x 2﹣4x +4） ＝a （x ﹣2）2． 故答案为：a （x ﹣2）2．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
9．（2分）自然界中，花粉的质量很小，一粒某种植物花粉的质量约为0.000042毫克，0.000042用科学记数法表示为 4.2×10﹣
5 ．
【分析】绝对值小于1的负数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a ×10﹣
n ，与较大数的科学记数
法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n 由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.000042＝4.2×10﹣
5．
故答案为：4.2×10﹣
5．
【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a ×10﹣
n ，其中1≤|a |＜10，n 为由原
数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
10．（2分）已知a ，b 都是实数，b =√1−2a +√4a −2−2，则a b 的值为 4 ．
【分析】利用二次根式有意义的条件得到得{1−2a ≥04a −2≥0
，解得a =12，则可得到对应b 的值，然后利用负
整数指数幂的意义计算．
【解答】解：根据题意得{1−2a ≥0
4a −2≥0
，解得a =12，
当a =1
2时，b ＝﹣2，
所以ab ＝（12
）﹣
2＝4．
故答案为4．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件：二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数．二次根式具有非负性． √a （a ≥0）是一个非负数．
11．（2分）学校足球队5名队员的年龄分别是17，15，17，16，15，其方差为 45
．
【分析】首先计算出平均数，再利用方差公式计算方差即可． 【解答】解：x =
17+15+17+16+15
5
=16，
s 2=1
5
[（17﹣16）2+（15﹣16）2+（17﹣16）2+（16﹣16）2+（15﹣16）2]， =
1
5×（1+1+1+0+1）， =4
5， 故答案为：4
5．
【点评】此题主要考查了方差，关键是掌握方差S 2=1
n [（x 1−x ）2+（x 2−x ）2+…+（x n −x ）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
12．（2分）欢欢观察“抖空竹”时发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：如图，已知AB ∥CD ，∠BAE ＝92°，∠DCE ＝115°，则∠E 的度数是 23 °．
【分析】延长DC 交AE 于F ，依据AB ∥CD ，∠BAE ＝92°，可得∠CFE ＝92°，再根据三角形外角性质，即可得到∠E ＝∠DCE ﹣∠CFE ． 【解答】解：如图，延长DC 交AE 于F ， ∵AB ∥CD ，∠BAE ＝92°， ∴∠CFE ＝92°， 又∵∠DCE ＝115°，
∴∠E ＝∠DCE ﹣∠CFE ＝115°﹣92°＝23°． 故答案为：23．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，解决问题的关键是掌握：两直线平行，同位角相等． 13．（2分）如图，飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成，小东向游戏板随机投掷一枚飞镖，击中白色区域的概率是
23
．
【分析】利用白色区域的面积除以游戏板的面积即可． 【解答】解：∵游戏板的面积为3×3＝9，其中白色区域为6， ∴小东向游戏板随机投掷一枚飞镖，击中白色区域的概率是6
9
=2
3，
故答案是：2
3
．
【点评】本题考查了几何概率：求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是长度比，面积比，体积比等．
14．（2分）如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，∠A ＝115°，则∠BOD 等于 130 °．
【分析】先根据圆内接四边形的性质求出∠C 的度数，再由圆周角定理即可得出结论． 【解答】解：∵四边形ABCD 内接于⊙O ，∠A ＝115°， ∴∠C ＝180°﹣∠A ＝180°﹣115°＝65°， ∴∠BOD ＝2∠C ＝130°． 故答案为：130．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键． 15．（2分）一个圆锥和一个圆柱的底面积相等，已知圆柱的体积是圆锥的9倍，圆锥的高是8.1cm ，则这个
圆柱的高是24.3cm．
【分析】设这个圆柱的高是xcm，圆锥和圆柱的底面积都为S，根据圆柱和圆锥的体积公式得到S•x＝
9×1
3
×S×8.1，然后解方程即可．
【解答】解：设这个圆柱的高是xcm，圆锥和圆柱的底面积都为S，
根据题意得S•x＝9×1
3
×S×8.1，
解得x＝24.3（cm），
即这个圆柱的高是24.3cm．
故答案为24.3．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了圆柱．
16．（2分）已知在菱形ABCD中，∠A＝60°，DE∥BF，sin E=4
5，DE＝6，EF＝BF＝5，则菱形ABCD的
边长＝4√5．
【分析】连接BD，过B作BG∥EF交DE的延长线于G，根据菱形的判定和性质以及解直角三角形求得BD，判断△ABD是等边三角形，根据等边三角形的性质即可得出菱形ABCD的长．
【解答】解：连接BD，过B作BG∥EF交DE的延长线于G，
∵∠DEF＝∠F，
∴EG∥BF，
∴四边形BFEG是平行四边形，
∵EF＝BF，
∴四边形BFEG是菱形，
∴EG＝BG＝EF＝BF＝5，
∴DG＝6+5＝11，
∵EF∥BG，
∴∠G＝∠DEF，
过D作DH⊥GB交GB的延长线于H，∴∠DHG＝90°，
∵sin∠DEF＝sin G=DH
DG
=45，
∴DH=44 5，
∴GH=33 5，
∴BH＝GH﹣BG=8 5，
∴BD=√BH2+DH2=√(8
5
)2+(445)2=4√5，
∵在菱形ABCD中，∠A＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AB＝BD＝4√5，
故答案为：4√5．
【点评】本题考查了菱形的性质及勾股定理的知识，解答本题的关键是作出辅助线，构造直角三角形．17．（2分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，下列结论：①4a+b＝0；②9a+c＞3b；③，3a+c＞0；④当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大；⑤4a+2b ≥am2﹣bm（m为任意实数）．其中正确的结论有①③⑤．（填序号）
【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性以及过特殊点时系数a、b、c满足的关系进行综合判断即可．
【解答】解：抛物线过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，
因此可得，抛物线与x轴的另一个交点为（5，0），a﹣b+c＝0，x=−b
2a
=2，即4a+b＝0，因此①正确；
当x＝﹣3时，y＝9a﹣3b+c＜0，即9a+c＜3b，因此②不正确；
当x＝5时，y＝25a+5b+c＝0，又b＝﹣4a，所以5a+c＝0，而a＜0，因此有3a+c＞0，故③正确；
在对称轴的左侧，即当x＜2时，y随x的增大而增大，因此④不正确；
当x＝2时，y最大＝4a+2b+c，当x＝m时，y＝am2+bm+c，因此有4a+2b≥am2+bm，故⑤正确；
综上所述，正确的结论有：①③⑤，
故答案为：①③⑤．
【点评】本题考查二次函数的图象和性质，掌握抛物线的位置与系数a、b、c的关系是解决问题的关键．18．（2分）如图，将直线OA向上平移2个单位长度，则平移后的直线的表达式为y＝2x+2．
【分析】利用待定系数法确定直线OA解析式，然后根据平移规律填空．
【解答】解：设直线OA的解析式为：y＝kx，
把（1，2）代入，得k＝2，
则直线OA解析式是：y＝2x．
将其上平移2个单位长度，则平移后的直线的表达式为：y＝2x+2．
故答案是：y＝2x+2．
【点评】本题考查了函数图象的几何变换，待定系数法求一次函数的解析式，熟练掌握平移的规律是解题的关键．
三．解答题（共10小题，满分78分）
19．（8分）（1）计算：﹣32+2tan60°−√12+（3﹣π）0；
（2）化简：a2
a−1÷（
a2+2a+1
a2−1
−
1
a−1
）．
【分析】（1）根据实数的运算法则即可求出答案．（2）根据分式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：（1）原式＝﹣9+2√3−2√3+1
＝﹣8．
（2）原式=
a2
a−1•
a−1
a
=a．
【点评】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
20．（8分）（1）解方程：x
x−1−1=3x 2−1
． （2）解不等式组：{x ≤3x +23x −2(x −1)＜4
． 【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解；
（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．
【解答】解：（1）分式方程整理得：x
x−1−1=3
(x+1)(x−1)， 去分母得：x （x +1）﹣（x +1）（x ﹣1）＝3，
整理得：x 2+x ﹣x 2+1＝3，
解得：x ＝2，
经检验x ＝2是分式方程的解；
（2）{x ≤3x +2①3x −2(x −1)＜4②
， 由①得：x ≥﹣1，
由②得：x ＜2，
则不等式组的解集为﹣1≤x ＜2．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
21．（6分）如图，△ABC 中，AB ＝AC ，点E ，F 在边BC 上，AE ＝AF ，点D 在AF 的延长线上，AD ＝AC ．
（1）求证：△ABE ≌△ACF ；
（2）若∠BAE ＝30°，求∠ADC 的度数．
【分析】（1）要证明△ABE ≌△ACF ，由题意可得AB ＝AC ，∠B ＝∠ACF ，∠AEB ＝∠AFC ，从而可以证明结论成立；
（2）根据（1）中的结论和等腰三角形的性质可以求得∠ADC 的度数．
【解答】证明：（1）∵AB ＝AC ，
∴∠B ＝∠ACF ，
∵AE ＝AF ，
∴∠AEF ＝∠AFE ，
∴∠AEF +∠AEB ＝∠AFE +∠AFC ＝180°，
∴∠AEB ＝∠AFC ，
在△ABE 和△ACF 中，
{∠AEB =∠AFC ∠B =∠ACF AB =AC ，
∴△ABE ≌△ACF （AAS ）；
（2）解：∵△ABE ≌△ACF ，∠BAE ＝30°，
∴∠BAE ＝∠CAF ＝30
°，
∵AD ＝AC ，
∴∠ADC ＝∠ACD ，
∴∠ADC =180°−30°2=75°． 答：∠ADC 的度数为75°．
【点评】本题考查全等三角形的判定与性质及三角形内角和定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
22．（6分）在一个纸箱中装有3个标号为1，2，3的小球，它们的材质、形状、大小完全相同，从纸箱里
随机取出一个小球，记下数字为x ，然后把小球放回，继续从纸箱中再随机取出一个小球，记下数字为y ，这样确定了点P 的坐标（x ，y ）．
（1）请你运用画树状图写出点P 所有可能的坐标；
（2）求点P （x ，y ）在函数y ＝﹣x +4图象上的概率．
【分析】（1）根据题意画出树状图，然后即可得到所有的可能情况；
（2）根据一次函数图象上点的坐标特征，把x 的值代入直线解析式计算求出y 的值，即可进行判断，然后再根据概率公式进行计算即可得解．
【解答】解：（1）根据题意画树状图如下：
所有可能出现的结果有：（1，1）、（1，2）、（1，3）、（2，1）、（2，2）、（2，3）、（3，1）、（3，2）、（3，3）；
（2）∵点P 所有可能共有9个，其中在y ＝﹣x +4图象上的点有（1，3）、（2，2）、（3，1）这3个， ∴点（x ，y ）在y ＝﹣x +4图象上的概率为：39=1
3． 【点评】本题考查了列表法或画树状图法以及一次函数图象上点的坐标特征，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
23．（6分）为了解全校六年级学生对数学知识的掌握情况，在一次数学检测中，从全校900名六年级考生
中随机抽取部分学生的数学成绩进行调查，并将调查结果绘制成如图表，请根据以下图表提供的信息，解答下列问题：
（1）表中a ＝ 30 ；
（2）补全频数分布直方图；
（3）如果把成绩在80分以上（含80分）定为优秀，那么估计全校900名六年级考生中数学成绩为优秀的学生约有多少名？
分数段
频数 x ＜60
10 60≤x ＜80
60 80≤x ≤100
a 合计（名） 100
【分析】（1）从总数100减去第1组、第2组的人数即可求出a的值；（2）求出第3组的频数，补全条形统计图；
（3）样本中优秀率为30
100
，于是估计总体900人的30%是优秀的．【解答】解：（1）a＝100﹣10﹣60＝30（人），
故答案为：30；
（2）第3组的频数为30，补全统计图如图所示：
（3）900×30
100
=270（人），
答：数学成绩优秀的有270人．
【点评】考查频数分布表、频数分布直方图的意义和制作方法，理解和掌握频率、频数、总数之间的关系是正确计算的前提．
24．（6分）如图，小亮在大楼AD的观光电梯中的E点测得大楼BC楼底C点的俯角为60°，此时他距地
面的高度AE为21米，电梯再上升9米到达D点，此时测得大楼BC楼顶B点的仰角为45°，求大楼BC的高度．（结果保留根号）
【分析】过D作DH⊥BC于H，过E作EG⊥BC于G．求出EG和DH的长，在Rt△BDH中，求出BH，则可得出答案
【解答】解：过D作DH⊥BC于H，过E作EG⊥BC于G．
由已知得，∠BDH＝45°，∠CEG＝60°，AE＝21米，DE＝9米．
在Rt△CEG中，CG＝AE＝21米，tan∠CEG=CG EG，
∴EG=
CG
tan60°
=21
3
=7√3（米）．
∴DH＝EG＝7√3米．
在Rt△BDH中，∵∠BDH＝45°，
∴BH＝DH＝7√3米．
∴BC＝CG+HG+BH＝CG+DE+BH＝21+9+7√3=（30+7√3）米．答：大楼BC的高度是（30+7√3）米．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键．
25．（8分）如图，已知A （﹣3，n ），B （2，﹣3）是一次函数y ＝kx +b 和反比例函数y =m x 的图象的两个交
点．
（1）写出一次函数和反比例函数的解析式 y ＝﹣x ﹣1，y =−6x ；
（2）观察图象，直接写出方程kx +b −
m x =0的解； （3）观察图象，直接写出kx +b −m x ＜0的解集；
（4）求△AOB 的面积．
【分析】（1）根据图象上的点满足函数解析式，可得点的坐标，根据待定系数法，可得一次函数的解析式；
（2）方程kx +b −m
x =0的解就是一次函数与反比例函数交点的横坐标；
（3）根据一次函数图象在反比例函数图象下方的部分是不等式的解集，可得答案；
（4）（2）根据三角形的面积公式，三角形面积的和差，可得答案．
【解答】解：（1）B （2，﹣3）都在反比例函数y =m x 的图象上，
∴m ＝2×（﹣3）＝﹣6，
则反比例函数的解析式是y =−6x ，
当x ＝﹣3时，y ＝n ＝2，
则A 的坐标是（﹣3，2）．
根据题意得{−3k +b =22k +b =−3
， 解得：{k =−1b =−1
， 则一次函数的解析式是y ＝﹣x ﹣1．
故答案是：y＝﹣x﹣1，y=−6 x；
（2）根据题意得方程kx+b−m
x
=0的解是x＝﹣3或2；
（3）kx+b−m
x＜0的解集是：﹣3＜x＜0或x＞2；
（4）在y＝﹣x﹣1中，令y＝0，解得x＝﹣1，则C的坐标是（﹣1，0）
S△AOC=1
2
×1×2＝1，S△BOC=12×1×3=32，
S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝1+3
2
=52．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求解析式，三角形面积公式及三角形面积的和差，利用函数图象与不等式的关系解不等式．
26．（9分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，以AB的中点O为圆心、OA为半径的圆交AC于点D，E 是BC的中点，连接DE，OE．
（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）求证：BC2＝CD•2OE；
（3）若cos∠BAD=3
5，BE＝6，求OE的长．
【分析】（1）连接OD，BD，由AB为圆O的直径，得到∠ADB为直角，可得出三角形BCD为直角三角形，E为斜边BC的中点，利用斜边上的中线等于斜边的一半，得到CE＝DE，利用等边对等角得到一对角相等，再由OA＝OD，利用等边对等角得到一对角相等，由直角三角形ABC中两锐角互余，利用等角的余角相等得到∠ADO与∠CDE互余，可得出∠ODE为直角，即DE垂直于半径OD，可得出DE为圆O的切线；
（2）证明OE是△ABC的中位线，则AC＝2OE，然后证明△ABC∽△BDC，根据相似三角形的对应边
的比相等，即可证得；
（3）在直角△ABC 中，利用勾股定理求得AC 的长，根据三角形中位线定理OE 的长即可求得．
【解答】（1）证明：连接OD ，BD ，
∵AB 为圆O 的直径，
∴∠ADB ＝90°，
在Rt △BDC 中，E 为斜边BC 的中点，
∴CE ＝DE ＝BE =12BC ，
∴∠C ＝∠CDE ，
∵OA ＝OD ，
∴∠A ＝∠ADO ，
∵∠ABC ＝90°，即∠C +∠A ＝90°，
∴∠ADO +∠CDE ＝90°，即∠ODE ＝90°，
∴DE ⊥OD ，又OD 为圆的半径，
∴DE 为⊙O 的切线；
（2）证明：∵E 是BC 的中点，O 点是AB 的中点，
∴OE 是△ABC 的中位线，
∴AC ＝2OE ，
∵∠C ＝∠C ，∠ABC ＝∠BDC ，
∴△ABC ∽△BDC ，
∴BC CD =AC
BC ，即BC 2＝AC •CD ．
∴BC 2＝2CD •OE ；
（3）解：∵cos ∠BAD =3
5，
∴sin ∠BAC =BC AC =45，
又∵BE ＝6，E 是BC 的中点，即BC ＝12，
∴AC ＝15．
又∵AC ＝2OE ，
∴OE=1
2AC=
15
2．
【点评】本题考查了切线的判定，垂径定理以及相似三角形的判定与性质等知识点．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．
27．（10分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图的顶点为点D，与y轴交于点C，与x 轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）若点P是x轴上一动点，当△PCD的周长最小时，求点P的坐标；
（3）如图，若点G（2，m）是该抛物线上一点，E是直线AG下方抛物线上的一动点，点E到直线AG 的距离为d，求d的最大值．
【分析】（1）由二次函数y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，求得其对称轴，从而可得b的值，再将（﹣1，0）代入即可求得c的值，则可得抛物线的解析式；
（2）作点C关于x轴的对称点F，则F的坐标为（0，3），连接DF交x轴于顶点P，此时△PCD的周长最小，用待定系数法求得直线DF的解析式，令y＝0，可得点P的横坐标，则问题得解；
（3）先求得点G的坐标，再用待定系数法求得直线AG的解析式；作AG的平行线MN，交x轴于点M，交y轴于点N，过点A作AH⊥MN于点H当直线MN与抛物线相切时，点E到直线AG的距离d＝EK 最大，设直线MN的解析式为y＝﹣x+n，将其与抛物线解析式联立，得出关于x的一元二次方程，由交点个数与方程的判别式的关系可得△＝0，从而可得n的值，最后由三角函数求得AH的值，即为所求的d的最大值．
【解答】解：（1）∵二次函数y ＝x 2+bx +c 与x 轴交于A （﹣1，0），B （3，0）两点，
∴对称轴为x ＝1， ∴−b
2=1，
∴b ＝﹣2，
∴y ＝x 2﹣2x +c ，
将（﹣1，0）代入得：
0＝1+2+c ，
∴c ＝﹣3，
∴这个二次函数的解析式为y ＝x 2﹣2x ﹣3；
（2）∵抛物线y ＝x 2﹣2x ﹣3的对称轴为x ＝1，
∴顶点D 的坐标为（1，﹣4），点C 的坐标为（0，﹣3）．
作点C 关于x 轴的对称点F ，则F 的坐标为（0，3），连接DF 交x 轴于顶点P ，此时△PCD 的周长最小，如图：
设直线DF 的解析式为y ＝kx +b （k ≠0），将D （1，﹣4），F （0，3）分别代入得：
{k +b =−4b =3
， ∴y ＝﹣7x +3，
当y ＝0时，x =3
7，
∴点P 的坐标为（37，0）； （3）∵抛物线y ＝x 2﹣2x ﹣3，点G （2，m ）是该抛物线上一点，
∴m ＝22﹣2×2﹣3＝﹣3，
∴点G （2，﹣3），
设直线AG 的解析式为：y ＝px +q （p ≠0），
将A （﹣1，0），G （2，﹣3）分别代入得：
{−p +q =02p +q =−3
， 解得{p =−1q =−1
， ∴直线AG 的解析式为：y ＝﹣x ﹣1，
作AG 的平行线MN ，交x 轴于点M ，交y 轴于点N ，过点A 作AH ⊥MN 于点H ，如图：
当直线MN 与抛物线相切时，点E 到直线AG 的距离d ＝EK 最大，
∵AG ∥MN ，
∴AH ＝EK ＝d ．
设直线MN 的解析式为y ＝﹣x +n ，将其与抛物线解析式联立得：
{y =x 2−2x −3y =−x +n
， ∴x 2﹣2x ﹣3＝﹣x +n ，
整理得：x 2﹣x ﹣3﹣n ＝0，
当MN 与抛物线相切时，△＝0，
∴（﹣1）2﹣4（﹣3﹣n ）＝0，
解得：n =−134
， ∴直线MN 的解析式为y ＝﹣x −134
， ∴点M 的坐标为（−134，0），点N 坐标为（0，−134），
∴AM ＝﹣1﹣（−134）=9
4，
∵OM ＝ON =134，
∴∠AMN ＝45°，
∴AH ＝AM •sin45°
=
94×√22 =9√28
， ∴d 的最大值为9√2
8．
【点评】本题属于二次函数综合题，综合考查二楼待定系数法求函数的解析式、轴对称问题及最值问题等知识点，数形结合并灵活运用转化思想是解题的关键．
28．（11分）在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CA ＝CB ，点D 是直线AB 上的一点，连接CD ，将线段CD
绕点C 逆时针旋转90°，得到线段CE ，连接EB ．
（1）操作发现
如图1，当点D 在线段AB 上时，请你直接写出AB 与BE 的位置关系为 AB ⊥BE ；线段BD 、AB 、EB 的数量关系为 AB ＝BD +BE ；
（2）猜想论证
当点D 在直线AB 上运动时，如图2，是点D 在射线AB 上，如图3，是点D 在射线BA 上，请你写出这两种情况下，线段BD 、AB 、EB 的数量关系，并对图2的结论进行证明；
（3）拓展延伸
若AB ＝5，BD ＝7，请你直接写出△ADE 的面积．
【分析】（1）证明△ACD ≌△BCE （SAS ）利用全等三角形的性质可得结论．
（2）分两种情形，在图2和图3中，利用全等三角形的性质证明即可．
（3）分两种情形，在图2和图3中，利用全等三角形的性质以及三角形的面积解决问题即可．
【解答】解：（1）如图1中，
∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACD＝∠BCE，
∵CA＝CB，CD＝CE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE，∠CBE＝∠A，
∵CA＝CB，∠ACB＝90°，
∴∠A＝∠CBA＝45°，
∴∠CBE＝∠A＝45°，
∴∠ABE＝90°，
∴AB⊥BE，
∵AB＝AD+BD，AD＝BE，
∴AB＝BD+BE，
故答案为AB⊥BE，AB＝BD+BE．
（2）①如图2中，结论：BE＝AB+BD．理由：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACD＝∠BCE，
∵CA＝CB，CD＝CE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE，
∵AD＝AB+BD，AD＝BE，
∴BE＝AB+BD．
②如图3中，结论：BD＝AB+BE．
理由：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACD＝∠BCE，
∵CA＝CB，CD＝CE，
∴△ACD≌△BCE（SAS）
∴AD＝BE，
∵BD＝AB+AD，AD＝BE，
∴BD＝AB+BE．
（3）如图2中，∵AB＝5，BD＝7，
∴BE＝AD＝5+7＝12，
∵BE⊥AD，
∴S△AED=1
2•AD•EB=
1
2
×12×12＝72．
如图3中，∵AB＝5，BD＝7，∴BE＝AD＝BD﹣AB＝7﹣5＝2，∵BE⊥AD，
∴S△AED=1
2•AD•EB=
1
2
×2×2＝2．
【点评】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．。