黑龙江省大兴安岭地区(4校联考)2021届新高考模拟化学试题含解析

黑龙江省大兴安岭地区(4校联考）2021届新高考模拟化学试题
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{|4},{|2,}A x N y x B x x n n Z =∈=-==∈,则A B =I （ ）
A ．[0,4]
B ．{0,2,4}
C ．{2,4}
D ．[2,4]
【答案】B 【解析】 【分析】
计算{}0,1,2,3,4A =，再计算交集得到答案 【详解】
{}{|4}0,1,2,3,4A x N y x =∈=-=,{|2,}B x x n n Z ==∈表示偶数，
故{0,2,4}A B =I . 故选：B . 【点睛】
本题考查了集合的交集，意在考查学生的计算能力.
2．已知水平放置的△ABC 是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝3，那么原△ABC 的面积是( )
A 3
B ．2
C 3
D ．
34
【答案】A 【解析】 【分析】
先根据已知求出原△ABC 的高为AO 3△ABC 的面积. 【详解】
由题图可知原△ABC 的高为AO 3 ∴S △ABC ＝
12×BC×OA ＝12
×2×33 A
【点睛】
本题主要考查斜二测画法的定义和三角形面积的计算，意在考察学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
3．已知集合{}|0A x x =<，{}
2
|120B x x mx =+-=，若{}2A B =-I ，则m =（ ）
A ．4
B ．－4
C ．8
D ．－8
【答案】B 【解析】 【分析】
根据交集的定义，{}2A B =-I ，可知2B -∈，代入计算即可求出m . 【详解】
由{}2A B =-I ，可知2B -∈， 又因为{
}
2
|120B x x mx =+-=， 所以2x =-时，2
(2)2120m ---=， 解得4m =-. 故选：B. 【点睛】
本题考查交集的概念，属于基础题.
4．如图，四边形ABCD 为正方形，延长CD 至E ，使得DE CD =，点P 在线段CD 上运动.设
AP x AB y AE =+u u u r u u u r u u u r
，则x y +的取值范围是（ ）
A ．[]1,2
B ．[]1,3
C ．[]2,3
D ．[]
2,4
【答案】C 【解析】 【分析】
以A 为坐标原点，以,AB AD 分别为x 轴，y 轴建立直角坐标系，利用向量的坐标运算计算即可解决. 【详解】
以A 为坐标原点建立如图所示的直角坐标系，不妨设正方形ABCD 的边长为1，
则(1,0)B ，(1,1)E -，设(,1)(01)P t t ≤≤，则(,1)(1,0)(1,1)t x y =+-，所以t x y =-，且1y =， 故2x y t +=+[]2,3∈. 故选：C. 【点睛】
本题考查利用向量的坐标运算求变量的取值范围，考查学生的基本计算能力，本题的关键是建立适当的直角坐标系，是一道基础题.
5．已知定义在R 上的偶函数()f x ，当0x ≥时，22()2
x
x x
f x e +=-，设
2
(ln 2),(2),(ln
2
a f
b f
c f ===，则（ ） A ．b a c >> B ．b a c >=
C ．a c b =>
D ．c a b >>
【答案】B 【解析】 【分析】
根据偶函数性质，可判断,a c 关系；由0x ≥时，22()2
x
x x
f x e +=-，求得导函数，并构造函数
()1x g x e x =--，由()g x '进而判断函数()f x 在0x ≥时的单调性，即可比较大小.
【详解】
()f x 为定义在R 上的偶函数，
所以(22ln ln 222c f f f ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭ 所以a c =;
当0x ≥时，22()2
x
x x f x e +=-，
则)1(x
f x e x =--'， 令()1x
g x e x =--
则1()x
g x e '=-，当0x ≥时，)0(1x
g x e =-≥'，
则()1x g x e x =--在0x ≥时单调递增，
因为0
00)10(g e =--=，所以1(0)x g x e x --=≥， 即)0(1x x f x e =--≥'，
则22()2
x
x x
f x e +=-在0x ≥时单调递增，
而0<<
(
f f
<，
综上可知，(
ln 2f f f ⎛⎫
=< ⎪ ⎪⎝
⎭
即a c b =<， 故选：B. 【点睛】
本题考查了偶函数的性质应用，由导函数性质判断函数单调性的应用，根据单调性比较大小，属于中档题.
6．已知函数()()2,2
11,2
2x
a x x f x x ⎧-≥⎪=⎨⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭
⎩，满足对任意的实数12x x ≠，都有
()()12120f x f x x x -<-成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．()1,+∞ B ．13,
8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦
C ．13,
8⎛
⎫-∞ ⎪⎝⎭
D ．13,8⎛⎫
+∞
⎪⎝⎭
【答案】B 【解析】 【分析】
由题意可知函数()y f x =为R 上为减函数，可知函数()2y a x =-为减函数，且()2
12212a ⎛⎫-≤- ⎪⎝⎭
，
由此可解得实数a 的取值范围. 【详解】
由题意知函数()y f x =是R 上的减函数，于是有()2
201221
2a a -<⎧⎪⎨⎛⎫
-≤- ⎪⎪⎝⎭⎩
，解得138a ≤， 因此，实数a 的取值范围是13,8⎛
⎤-∞ ⎥⎝
⎦． 故选：B.
本题考查利用分段函数的单调性求参数，一般要分析每支函数的单调性，同时还要考虑分段点处函数值的大小关系，考查运算求解能力，属于中等题.
7．观察下列各式：2x y ⊗=，224x y ⊗=，33
9x y ⊗=，4417x y ⊗=，5531x y ⊗=，6654x y ⊗=，
7792x y ⊗=，L ，根据以上规律，则1010x y ⊗=（ ）
A ．255
B ．419
C ．414
D ．253
【答案】B 【解析】 【分析】
每个式子的值依次构成一个数列{}n a ，然后归纳出数列的递推关系12n n n a a a n --=++后再计算． 【详解】
以及数列的应用根据题设条件，设数字2，4，9，17，31，54，92，L 构成一个数列{}n a ，可得数
列{}n a 满足12n n n a a a n --=++()
*
3,n n ≥∈N ，
则876854928154a a a =++=++=，
9879154929255a a a =++=++=，10981025515410419a a a =++=++=．
故选：B ． 【点睛】
本题主要考查归纳推理，解题关键是通过数列的项归纳出递推关系，从而可确定数列的一些项． 8．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺莞生一日，长一尺蒲生日自半，莞生日自倍.问几何日而长倍？”意思是：“今有蒲草第1天长高3尺，芜草第1天长高1尺以后，蒲草每天长高前一天的一半，芜草每天长高前一天的2倍.问第几天莞草是蒲草的二倍？”你认为莞草是蒲草的二倍长所需要的天数是（ ）
（结果采取“只入不舍”的原则取整数，相关数据：lg30.4771≈，lg 20.3010≈） A ．2 B ．3
C ．4
D ．5
【答案】C 【解析】 【分析】
由题意可利用等比数列的求和公式得莞草与蒲草n 天后长度，进而可得：131212212112
n
n ⎛
⎫- ⎪-⎝⎭⨯=--，解出
【详解】
由题意可得莞草与蒲草第n 天的长度分别为1
113,122n n n n a b --⎛⎫=⨯=⨯ ⎪⎝⎭
据题意得：131212212112
n
n ⎛
⎫- ⎪-⎝⎭⨯=--， 解得2n ＝12， ∴n 122
lg lg =
=23
2lg lg +≈1． 故选：C ． 【点睛】
本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 9．若复数z 满足(2)(1)z i i =+-（i 是虚数单位），则||z =（ ）
A ．
102
B ．10
C ．
5 D ．5
【答案】B 【解析】 【分析】
利用复数乘法运算化简z ，由此求得z . 【详解】
依题意2223z i i i i =+--=-，所以()2
23110z =+-=.
故选：B 【点睛】
本小题主要考查复数的乘法运算，考查复数模的计算，属于基础题. 10．
中，如果
，则
的形状是（ ） A ．等边三角形 B ．直角三角形
C ．等腰三角形
D ．等腰直角三角形
【答案】B 【解析】 【分析】 化简得lgcosA ＝lg
＝﹣lg2，即，结合， 可求，得代入sinC
＝sinB，从而可求C，B，进而可判断.
【详解】
由，可得lgcosA＝＝﹣lg2，∴，
∵，∴，，∴sinC＝sinB＝＝，∴tanC＝，C ＝，B＝.
故选：B
【点睛】
本题主要考查了对数的运算性质的应用，两角差的正弦公式的应用，解题的关键是灵活利用基本公式，属于基础题．
11．已知集合A＝{y|y21
x
=-}，B＝{x|y＝lg（x﹣2x2）}，则∁R（A∩B）＝（）
A．[0，1
2
）B．（﹣∞，0）∪[
1
2
，+∞）
C．（0，1
2
）D．（﹣∞，0]∪[
1
2
，+∞）
【答案】D
【解析】
【分析】
求函数的值域得集合A，求定义域得集合B，根据交集和补集的定义写出运算结果. 【详解】
集合A＝{y|y21
x
=-}＝{y|y≥0}＝[0，+∞）；
B＝{x|y＝lg（x﹣2x2）}＝{x|x﹣2x2＞0}＝{x|0＜x
1
2
＜}＝（0，
1
2
），
∴A∩B＝（0，1
2），
∴∁R（A∩B）＝（﹣∞，0]∪[1
2
，+∞）.
故选：D.
【点睛】
该题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有函数的定义域，函数的值域，集合的运算，属于基础题目.
12．已知α，β是两平面，l，m，n是三条不同的直线，则不正确命题是（）
A ．若m ⊥α，n//α，则m ⊥n
B ．若m//α，n//α，则m//n
C ．若l ⊥α，l//β，则α⊥β
D ．若α//β，l ⊄β，且l//α，则l//β
【答案】B 【解析】 【分析】
根据线面平行、线面垂直和空间角的知识，判断A 选项的正确性.由线面平行有关知识判断B 选项的正确性.根据面面垂直的判定定理，判断C 选项的正确性.根据面面平行的性质判断D 选项的正确性. 【详解】
A ．若//n α，则在α中存在一条直线l ，使得//,,l n m l αα⊥⊂，则m l ⊥，又//l n ，那么m n ⊥，
故正确； B ．若//,
//m n αα，则//m n 或相交或异面，故不正确；
C ．若l β//，则存在a β⊂，使//l α，又,l a αα⊥∴⊥，则αβ⊥，故正确．
D ．若//αβ，且//l α，则l β⊂或l β//，又由,//l l ββ⊄∴，故正确． 故选：B 【点睛】
本小题主要考查空间线线、线面和面面有关命题真假性的判断，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知平面向量a r 与b r
的夹角为3
π
，1)a =-r ，1b r ||=，则|2|a b -=r r ________.
【解析】 【分析】
根据已知求出||b r ，利用向量的运算律，求出2|2|a b -r r
即可. 【详解】
由1)a =-r 可得||2a ==r
，
则||||cos 13
a b a b π
⋅=⋅=r r r r ，
所以|2|a b -===r r
故答案为【点睛】
本题考查向量的模、向量的数量积运算，考查计算求解能力，属于基础题. 14．数列{}n a 满足递推公式21++=+n n n a a a ，且12201920202020a a a a =⋅=，，则
222
122019a a a ++⋯+=___________.
【答案】2020 【解析】 【分析】
可对12n n n a a a ++=-左右两端同乘以1n a +得12
121n n n n n a a a a a ++++=-，
依次写出211n n n n n a a a a a +-=-，21121n n n n n a a a a a ----=-，
⋅⋅⋅，2
22312a a a a a =-，累加可得22223112n n n a a a a a a a +++⋅⋅⋅+=-，再由12a a =得2222
1231n n n a a a a a a ++++⋅⋅⋅+=，代入2019n =即可求解
【详解】
12n n n a a a ++=-左右两端同乘以1n a +有1
2121n n n n n a a a a a ++++=-，从而211n n n n n a a a a a +-=-，
21121n n n n n a a a a a ----=-，
⋅⋅⋅，222312a a a a a =-，将以上式子累加得222
23112n n n a a a a a a a +++⋅⋅⋅+=-. 由12a a =得222212
31n n n a a a a a a ++++⋅⋅⋅+=.令2019n =，有222122019201920202020a a a a a ++⋯+=⋅=. 故答案为：2020 【点睛】
本题考查数列递推式和累加法的应用，属于基础题
15．在平面直角坐标系xOy 中，A ，B 为x 轴正半轴上的两个动点，P （异于原点O ）为y 轴上的一个定点．若以AB 为直径的圆与圆x 2＋(y －2)2＝1相外切，且∠APB 的大小恒为定值，则线段OP 的长为_____．
【解析】
分析：设O 2（a ，0），圆O 2的半径为r （变量），OP=t （常数），利用差角的正切公式，结合以AB 为直径的圆与圆x 2+（y-2）2=1相外切．且∠APB 的大小恒为定值，即可求出线段OP 的长． 详解：设O 2（a ，0），圆O 2的半径为r （变量），OP=t （常数），则
222222
21)22
2tan ,tan ,2tan 11,(4,
22tan 3
232r a r a r OPA OPB t t a r a r
rt t t APB a r t a r t r a rt t
APB t t r r +-+∠=
∠=+--
∴∠=
=-+-+
=+∴=-∴∠==-+-+n Q
∵∠APB 的大小恒为定值，
∴t ＝3，∴|OP|=3． 故答案为3
点睛：本题考查圆与圆的位置关系，考查差角的正切公式，考查学生的计算能力，属于中档题． 16．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2, MN 是它的内切球的一条弦(我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦), P 为正方体表面上的动点,当弦MN 的长度最大时, PM PN ⋅u u u u r u u u r
的取值范围是______.
【答案】[0,2] 【解析】 【分析】
由弦MN 的长度最大可知MN 为球的直径.由向量的线性运用PO uuu r 表示出PM PN ⋅u u u u r u u u r
，即可由PO u u u r 范围求得PM PN ⋅u u u u r u u u r
的取值范围.
【详解】
连接PO ，如下图所示：
设球心为O ,则当弦MN 的长度最大时，MN 为球的直径， 由向量线性运算可知
()()
OM PM PN PO PO ON ⋅=++u u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r
2PO PO O OM O N PO M ON =+⋅+⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r
()
2PO PO ON OM ON OM =+⋅++⋅u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u r
正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，则球的半径为1，0,1OM O ON O M N +=⋅=-u u u r u u u u r r u u u u r u u u r
，
所以()
2OM PO PO ON ON OM +⋅++⋅u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u r
2
1PO =-u u u r ， 而1,3PO ⎡⎤∈⎣⎦u u u r
所以[]2
10,2PO -∈u u u r ，
即[]0,2PM PN ⋅∈u u u u r u u u r
故答案为：[]0,2. 【点睛】
本题考查了空间向量线性运算与数量积的运算，正方体内切球性质应用，属于中档题. 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点F 在直线10x y +-=上，平行于x 轴的两条直线1l ，2l 分别交抛物线C 于A ，B 两点，交该抛物线的准线于D ，E 两点.
（1）求抛物线C 的方程；
（2）若F 在线段AB 上，P 是DE 的中点，证明：AP EF P . 【答案】（1）2
4y x =；（2）见解析 【解析】 【分析】
（1）根据抛物线的焦点在直线10x y +-=上，可求得p 的值，从而求得抛物线的方程；
（2）法一：设直线1l ，2l 的方程分别为y a =和y b =且0a ≠，0b ≠，a b ¹，可得A ，B ，D ，E 的坐标，进而可得直线AB 的方程，根据F 在直线AB 上，可得4ab =-，再分别求得AP k ，EF k ，即可得证；法二：设()11,A x y ，()22,B x y ，则121,
2y y P +⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，根据直线AB 的斜率不为0，设出直线AB 的方程为1x my -=，联立直线AB 和抛物线C 的方程，结合韦达定理，分别求出AP k ，EF k ，化简AP EF k k -，即可得证. 【详解】
（1）抛物线C 的焦点F 坐标为,02p ⎛⎫
⎪⎝⎭
，且该点在直线10x y +-=上， 所以
102
p
-=，解得2p =，故所求抛物线C 的方程为24y x = （2）法一：由点F 在线段AB 上，可设直线1l ，2l 的方程分别为y a =和y b =且0a ≠，0b ≠，a b ¹，
则2,4a A a ⎛⎫
⎪⎝⎭，2,4b B b ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，()1,D a -，()1,E b -.
∴直线AB 的方程为22
2
444
b a
a y a x
b a ⎛⎫
--=- ⎪⎝
⎭-，即()40x a b y ab -++=.
又点()1,0F 在线段AB 上，∴4ab =-. ∵P 是DE 的中点，∴1,
2a b P +⎛
⎫
- ⎪⎝⎭
∴2
24224142AP
a b
a a a k a a a ++-
===++，4222EF
AP b a k k a -====--. 由于AP ，EF 不重合，所以//AP EF 法二：设()11,A x y ，()22,B x y ，则121,
2y y P +⎛
⎫
- ⎪⎝⎭
当直线AB 的斜率为0时，不符合题意，故可设直线AB 的方程为1x my -= 联立直线AB 和抛物线C 的方程2
14x my y x
-=⎧⎨
=⎩，得2
440y my --= 又1y ，2y 为该方程两根，所以124y y m +=，124y y =-，()()
11212111
2121AP
y y y y y k
x x -
+-=
=++，2
2EF y k =-.
()()
()()()
211
1211221121
11114144021111AP EF
y y y y y y y y x y y x k k x x x x -++-+++-====
=++++，EF AP k k = 由于AP ，EF 不重合，所以//AP EF 【点睛】
本题考查抛物线的标准方程，考查抛物线的定义，考查直线与抛物线的位置关系，属于中档题． 18．如图，在底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱1111ABCD A B C D -中，P 是侧棱1CC 上的一点，CP m =.
（1）若6
3
m =
，求直线AP 与平面11BDD B 所成角； （2）在线段11A C 上是否存在一个定点Q ，使得对任意的实数m ，都有1D Q AP ⊥，并证明你的结论. 【答案】（1）3
π
；（2）存在， Q 为线段11A C 中点 【解析】 【分析】
解法一：（1）作出平面APC 与平面11BDD B 的交线OM ，可证AO ⊥平面11BDD B ，计算OM ，AO ，得出tan AMO ∠，从而得出AMO ∠的大小；（2）证明11B D ⊥平面11ACC A ，故而可得当Q 为线段11A C 的中点时1D Q AP ⊥.
解法二，以D 为原点，以1,,DA DC DD 为,,x y z 建立空间直角坐标系：（1）由
sin cos 2AP AC
AP AC
πθθ⋅⎛⎫=-= ⎪⎝⎭⋅u u u r u u u r
u u u r u u u r ，利用空间向量的数量积可求线面角；（2）设11A C 上存在一定点Q ，设
此点的横坐标为x ，可得(),1,2Q x x -，由向量垂直，数量积等于零即可求解. 【详解】
（1）解法一：连接AC 交BD 于O ，
设AP 与平面11BDD B 的公共点为M ，连接OM ， 则平面APC I 平面11BDD B OM =，
Q 四边形ABCD 是正方形，AC BD ∴⊥，
1BB ⊥Q 平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， 1AC BB ⊥∴，又1BB BD B ⋂=， ∴AC ⊥平面11BDD B ，
∴AMO ∠为直线AP 与平面11BDD B 所成角，
//CP Q 平面11BDD B ，CP ⊂平面APC ，平面APC I 平面11BDD B OM =， //M CP O ∴，又O 为AC 的中点，
1612
222
OM PC AO AC ∴=
===
， tan 3AO AMO OM ∴∠=
=3
AMO π
∴∠=， ∴直线AP 与平面11BDD B 所成角为
3
π
. （2）Q 四边形1111D C B A 正方形，
1111A C B D ∴⊥，
1AA ⊥Q 平面1111D C B A ，11B D ⊂平面1111D C B A ， 111AA B D ∴⊥，又1111A C AA A =I ,
11B D ∴⊥平面11AC CA ，又AP ⊂平面11AC CA ，
11B D AP ∴⊥，
∴当Q 为线段11A C 中点时，对于任意的实数m ，都有1D Q AP ⊥.
解法二：（1）建立如图所示的空间直角坐标系，
则()()()1,0,0,1,1,0,0,1,A B P m ，
()()()()110,1,0,0,0,0,1,1,1,0,0,2C D B D ，
所以()1,1,0BD =--u u u r ，()10,0,2BB =uuu r
，()1,1,AP m =-u u u r ，()1,1,0AC =-u u u r
又由0AC BD ⋅=u u u r u u u r
，1
0AC BB ⋅=u u u r u u u r ，则AC u u u r
为平面11BB D D 的一个法向量，
设直线AP 与平面11BDD B 所成角为θ，
则23sin cos 2222AP AC
AP AC m
πθθ⋅⎛⎫=-=== ⎪⎝⎭⋅⋅+u u u r u u u r
u u u r u u u r ， 故当6
3
m =
时，直线AP 与平面11BDD B 所成角为3π.
（2）若在11A C 上存在一定点Q ，设此点的横坐标为x ，
则(),1,2Q x x -，()1,1,0D Q x x =-u u u u r
，
依题意，对于任意的实数m 要使1D Q AP ⊥，
等价于0DQ AP DQ AP ⊥⇔⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r
，
即10x x -+-=，解得12
x =
， 即当Q 为线段11A C 中点时，对于任意的实数m ，都有1D Q AP ⊥. 【点睛】
本题考查了线面垂直的判定定理、线面角的计算，考查了空间向量在立体几何中的应用，属于中档题. 19．已知ABC ∆的内角、、A B C 的对边分别为a b c 、、，且()2
2sin sin sin sin sin A B C A B -=-. （Ⅰ）求C ；
（Ⅱ）若1,c ABC =∆的周长是否有最大值？如果有，求出这个最大值，如果没有，请说明理由. 【答案】（Ⅰ）3
C π
=；（Ⅱ）有最大值，最大值为3.
【解析】 【分析】
（Ⅰ）利用正弦定理将角化边，再由余弦定理计算可得；
（Ⅱ）由正弦定理可得,a A b B ==，则2sin 6a b A π⎛
⎫+=+ ⎪⎝
⎭，再根据正弦函数的性质计
算可得； 【详解】
（Ⅰ）由()2
2sin sin sin sin sin A B C A B -=-得
222sin sin sin sin sin A B C A B +-=
再由正弦定理得222a b c ab +-=
因此2221
cos 222
a b c ab C ab ab +-===，
又因为()0,C π∈，所以3
C π
=
.
（Ⅱ）当1c =时，ABC ∆的周长有最大值，且最大值为3， 理由如下：
由正弦定理得1sin sin sin sin 3
a b c A B C ====
π
所以,a A b B =
=，
所以22sin 36a b A B A A A ππ⎛⎫⎛
⎫+=
+=-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭.
因为203A π<<，所以5666A πππ
<+<， 所以当6
2
A π
π
+
=
即3
A π
=
时，+a b 取到最大值2，
所以ABC ∆的周长有最大值，最大值为3. 【点睛】
本题考查正弦定理、余弦定理解三角形，以及三角函数的性质的应用，属于中档题. 20．设函数()ln f x x ax =-，a R ∈，0a ≠. （1）求函数()f x 的单调区间；
（2）若函数()0f x =有两个零点1x ，2x (12x x <). （i ）求a 的取值范围； （ii ）求证:12x x ⋅随着
2
1
x x 的增大而增大. 【答案】（1）见解析；（2）（i ）10,a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
（ii ）证明见解析
【解析】 【分析】
（1）求出导函数11(),(0,)ax f x a x x x
-'=
-=∈+∞，分类讨论即可求解； （2）（i ）结合（1）的单调性分析函数有两个零点求解参数取值范围；（ii ）设2
1
1x t x =
>，通过转化()1212(1)ln ln ln ln 1
t t
x x x x t +=+=
-，讨论函数的单调性得证.
【详解】
（1）因为()ln f x x ax =-，所以11(),(0,)ax f x a x x x
-'=
-=∈+∞ 当0a <时，()0f x '>在(0,)+∞上恒成立，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增， 当0a >时，()0f x '>的解集为10,
a ⎛
⎫ ⎪⎝⎭，()0f x '<的解集为1,a ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
，
所以()f x 的单调增区间为10,
a ⎛
⎫ ⎪⎝⎭，()f x 的单调减区间为1,a ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
； （2）（i ）由（1）可知，当0a <时，()f x 在(0,)+∞上单调递增，至多一个零点，不符题意，当0a >时，因为()f x 有两个零点，所以max 11()ln 10f x f a a ⎛⎫
==->
⎪
⎝⎭
，解得10a e <<，因为(1)0f a =-<，且11a <
，所以存在111,x a ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，使得()10f x =，又因为221111ln 2ln f a a a a a ⎛⎫
=-=-- ⎪⎝⎭
，设
11()2ln 0,g a a a a e ⎛⎫
⎛⎫=--∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，则22
2112()0a g a a a a --'=+=>，所以()g a 单调递增，所以1()20g a g e e ⎛⎫
<=-< ⎪⎝⎭
，即
210f a ⎛⎫< ⎪⎝⎭
，因为211a a >，所以存在2211,x a a ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭，使得()20f x =，综
上，10,a e ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭；（ii ）因为1122ln ln 0x ax x ax -=-=，所以1212ln ln x x x x =，因为21x x >，所以21
1x
x >，设211x t x =
>，则21x tx =，所以()112121ln ln ln tx x x x x tx ==，解得1ln ln 1
t x t =-，所以21ln ln ln ln 1t t x x t t =+=-，
所以()1212(1)ln ln ln ln 1t t x x x x t +=+=
-，设(1)ln ()(1)1
t t
h t t t +=
>-，则2
2
11ln (1)(1)ln 2ln ()(1)(1)t t t t t t t t t h t t t +⎛⎫+--+-- ⎪⎝⎭'==--，设1()2ln (1)H t t t t t =-->，则
2
22
12(1)()10t H t t t t
-'=+-=>，所以()H t 单调递增，所以()(1)0H t H >=，所以()0H t >，即()0h t '>，所以()h t 单调递增，即()12ln x x 随着2
1
x t x =的增大而增大，所以12x x 随着21x x 的增大而增大，命题得证.
【点睛】
此题考查利用导函数处理函数的单调性，根据函数的零点个数求参数的取值范围，通过等价转化证明与零点相关的命题.
21．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C
的参数方程是12x y θ
θ
⎧=⎪⎨=+⎪⎩（θ
为参数，常数5a <），曲线2C 的极坐标方程是2
sin
4sin ρθθρ+=.
（1）写出1C 的普通方程及2C 的直角坐标方程，并指出是什么曲线；
（2）若直线l 与曲线1C ，2C 均相切且相切于同一点P ，求直线l 的极坐标方程. 【答案】（1）()()2
2
125x y a -+-=-，2
sin
4sin ρθθρ+=，1C 表示以()12，
为半径的圆；2C 为抛物线；（2）sin cos 10ρθρθ-+= 【解析】 【分析】
（1）消去参数1C θ即得的直角坐标方程，利用sin x ρθ=，cos y ρθ=即得2C 的直角坐标方程； （2）由直线与抛物线相切，求导可得切线斜率，再由直线与圆相切，故切线与圆心与切点连线垂直，可求解得到切点坐标，即得解. 【详解】
（1）消去参数1C θ即得的直角坐标方程为：
()
2
21(2)5x y a -+-=-.
2C 的极坐标方程2sin 4sin ρθθρ+=. 222sin 4sin ρθθρ⇒+=
∵sin x ρθ=，cos y ρθ=
24x y ⇒=.
当5a <时1C 表示以()1
2，
2C 为抛物线. （2）设切点为2
004x x ⎛⎫ ⎪⎝
⎭，，2
4x y =
由于'2x
y =
，则切线斜率为02
x ， 由于直线与圆相切，故切线与圆心与切点连线垂直，
故有2
00
124121x x x -
⨯=--
()022,1x P ⇒=⇒，
直线l 的直角坐标方程为1y x =-，
所以l 的极坐标方程为sin cos 10ρθρθ-+=. 【点睛】
本题考查了极坐标，参数方程综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题. 22．设k ∈R ，函数()()g x k x e =-，其中e 为自然对数的底数. （1）设函数()1ln x
f x x
=
-.
①若1k =-，试判断函数()f x 与()g x
的图像在区间上是否有交点； ②求证：对任意的k ∈R ，直线()y g x =都不是()y f x =的切线；
（2）设函数()2ln ()h x x x x xg x ekx =-+-，试判断函数()h x 是否存在极小值，若存在，求出k 的取值范围；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）①函数()f x 与()g x
的图象在区间上有交点；②证明见解析；（2）0k >且1
2k e
≠； 【解析】 【分析】
（1）①令()()()F x f x g x =-，结合函数零点的判定定理判断即可；②设切点横坐标为0x ，求出切线方
程，得到002x e elnx =-，根据函数的单调性判断即可；
（2）求出()h x 的解析式，通过讨论k 的范围，求出函数的单调区间，确定k 的范围即可． 【详解】
解：（1）①当1k =-时，函数()g x x e =-+， 令()()()1x
F x f x g x x e lnx
=-=
+--
，x ∈， 则()120F e =-<
，0F e =>， 故(
)10F F
<g ，
又函数()F x
在区间上的图象是不间断曲线， 故函数()F x
在区间上有零点，
故函数()f x 与()g x
的图象在区间上有交点；
②证明：假设存在k ∈R ，使得直线()y k x e =-是曲线()y f x =的切线， 切点横坐标为0x ，且()()00,,x e e ∈+∞U ，
则切线()y f x =在点0x x =切线方程为000()()()y f x x x f x ='-+， 即00000
22000
22(1)(1)1lnx x x lnx x y x lnx lnx lnx --=
-+---，
从而0202(1)lnx k lnx -=
-，且
0000
200
2(1)1x x lnx x ke lnx lnx --+=---， 消去k ，得002x e elnx =-，故0x e =满足等式， 令000()2s x x e elnx =-+，所以00
()1e
s x x '=+
， 故函数0()s x 在(0,)e 和(,)e +∞上单调递增， 又函数0()s x 在0x e =时()0s e =， 故方程002x e elnx =-有唯一解0x e =， 又()()00,,x e e ∈+∞U ， 故0x 不存在，即证；
（2）由2()2()22h x x xlnx xg x ekx x xlnx kx kex =-+-=-+-得，
0x >，()12()h x lnx k x e '=-+-，
令()12()m x lnx k x e =-+-， 则121()2kx m x k x x
-'=-
=，
()()0m e h e '==，
()i 当0k „时，()h x '递减，
故当(0,)x e ∈时，()0h x '>，()h x 递增，
当(,)x e ∈+∞时，()0h x '<，()h x 递减，
故()h x 在x e =处取得极大值，不合题意；
()0ii k >时，则()m x 在1(0,)2k 递减，在1(2k ，)+∞递增， ①当102k e <<时，12e k
>， 故()m x 在1(0,
)2k 递减， 可得当(0,)x e ∈时，()0h x '>， 当1(,
)2x e k ∈时，()0h x '<， 1
11
()(12)2k k k e e m ke e ln k k
=-+-Q ， 易证1
12k e k k >，令11
()2k k e m k e ln k
=-，1(,)2k e e ∈， 令12t e k
=>， 故()2n t et lnt t =--，则1()210n t e t
'=-->， 故()n t 在(2,)e +∞递增，
则()()()210n t n e n >>>， 即102k e
<<时，0m >， 故在1(2k ，1)k e k
内存在0x ，使得0()0m x =， 故()h x 在1(2k
，0)x 上递减，在0(x ，)+∞递增， 故()h x 在0x x =处取得极小值．
②由（1）知12k e =，12e k
=， 故()h x '在(0,)e 递减，在(,)e +∞递增，
故(0,)x ∈+∞时，()0h x '…
，()f x 递增，不合题意；
③当12k e >时，102e k <<， 当1(2x k
∈，)e 时，()0h x '<，()f x 递减， 当(,)x e ∈+∞时，()0h x '>，()f x 递增，
故()h x 在x e =处取极小值，符合题意，
综上，实数k 的范围是0k >且12k e ≠
． 【点睛】
本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，属于难题． 23．已知a ，b ，c 分别为ABC ∆内角A ，B ，C 的对边，若ABC ∆同时满足下列四个条件中的三个：
①b a c -=2cos 22cos 12A A +=；③a =b =（1）满足有解三角形的序号组合有哪些？
（2）在（1）所有组合中任选一组，并求对应ABC ∆的面积.
（若所选条件出现多种可能，则按计算的第一种可能计分）
【答案】（1）①，③，④或②，③，④；（2【解析】
【分析】
（1）由①可求得cos B 的值，由②可求出角A 的值，结合题意得出A B π+>，推出矛盾，可得出①②不能同时成为ABC ∆的条件，由此可得出结论；
（2）在符合条件的两组三角形中利用余弦定理和正弦定理求出对应的边和角，然后利用三角形的面积公式可求出ABC ∆的面积.
【详解】
（1）由①b a c -=()2223a c b +-=-，
所以222cos 2a c b B ac +-== 由②2cos 22cos
12A A +=得，22cos cos 10A A +-=， 解得1cos 2A =或cos 1A =-（舍），所以3
A π=，
因为1cos 2B =<-，且()0,B π∈，所以23B π>，所以A B π+>，矛盾. 所以ABC ∆不能同时满足①，②.
故ABC ∆满足①，③，④或②，③，④；
（2）若ABC ∆满足①，③，④，
因为2222cos b a c ac B =+-，所以28623c c =++⨯
，即2420c c +-=.
解得2c =.
所以ABC ∆的面积1sin 2
S ac B ==
若ABC ∆满足②，③，④由正弦定理sin sin a b A B =sin B =，解得sin 1B =，
所以c =
ABC ∆的面积1sin 2
S bc A ==【点睛】
本题考查三角形能否成立的判断，同时也考查了利用正弦定理和余弦定理解三角形，以及三角形面积的计算，要结合三角形已知元素类型合理选择正弦定理或余弦定理解三角形，考查运算求解能力，属于中等题.。