数学建模大赛获奖作品

承诺书
我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。

如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：C题
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所属学校（请填写完整的全名）：山西省运城学院
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2. 生命科学系：张敏
3. 应用化学系：韩海龙
指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：
日期： 2009 年 09 月 14 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
编号专用页
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号
关于卫星或飞船如何合理设置测控点
摘要：随着科学技术的发展，我们的航天事业也在蒸蒸日上。

许多的卫星被发射到太空，如气象卫星，地球资源卫星，通信卫星，侦查卫星等。

为了使这些卫星进行正常运作，我们要对它们进行监测和管理，这就要在地球上选择合适的监测点。

为解决这个问题我们需要建立相应的数学模型。

我们设监测站和卫星的运行轨道为，以O 为圆心的同心圆。

一个监测站监控到的
范围为弧长BC ，运用正弦定理求出弧长BC 所对的角度α，运用n=α
π
2就解决了
当所有测控站与都与卫星运行轨道共面得问题。

地球自转的同时，卫星的运行轨道也随着地球自转的方向转动，由于转动速度不一样，就有一个经度差量，我们设为S 。

我们若还按监测范围相切的那样分布，运行轨道的有些部分就监测不到，我们要求出在一定的经度差S 时,监测不到的部分d 。

由于在立体图中求弧长，不好求，我们把图1中的阴影部分，压扁看做一个圆，进行计算。

运用勾股定理：
2x +2S =2a
a= )(H r +θ d=a －x
最后求的N ，就解决了地球自转时与该卫星在运行时相继两圈的经度有差异时的，所需建的监测站数量问题。

运用我们所建模型对神州七号进行监测，以检验我们所建模型的正确性。

关键字：正弦定理 数学模型 空间想象能力 条件理想化 具体问题数学化 地球的自转 万有引力定律
论文目录
1、问题重述------------------------------------------------------------------------------------5
2、问题分析------------------------------------------------------------------------------------5
3、分析题意，构建模型---------------------------------------------------------------------
4、模型解答过程------------------------------------------------------------------------------
5、模型的优缺点分析------------------------------------------------------------------------
6、参考文献------------------------------------------------------------------------------------
7、附录文件------------------------------------------------------------------------------------
正文：
一、问题重述
卫星和飞船在国民经济和国防建设中起着不可估量的作用，对它们的发射和运行过程的跟踪和测控是一个很重要的任务，特别是载人航天飞船，需要在地面上合理地设立若干个测控站，要求既能对飞船进行全程跟踪测控，又能使数量最少。

而测控设备只能观测到所在点切平面以上的空域，且在与地平面夹角3度的范围内测控效果不好，实际上每个测控站的测控范围只考虑与地平面夹角3度以上的空域。

我们需要解决下面的几个问题：
1. 在所有测控站都与卫星或飞船的运行轨道共面的情况下至少应该建立多少个测控站才能对其进行全程跟踪测控？
2.如果一个卫星或飞船的运行轨道与地球赤道平面有固定的夹角，且在离地面高度为H的球面S上运行。

考虑到地球自转时该卫星或飞船在运行过程中相继两圈的经度有一些差异，问至少应该建立多少个测控站才能对该卫星或飞船可能飞行的区域全部覆盖以达到全程跟踪测控的目的？
3. 收集我国一个卫星或飞船的运行资料和发射时测控站点的分布信息，分析这些测控站点对该卫星所能测控的范围。

二、问题分析
要对卫星或飞船的飞行过程进行全程测控需要从这几方面考虑：
1、从测控站的测控范围考虑：
测控设备只能观测到所在点切平面以上的空域，且在与地平面夹角3度的范围内测控效果不好，实际上每个测控站的测控范围只能在夹角为174度的锥形空域内，因此我们要对这个锥形空域的有关参数进行估算。

2、从卫星或飞船的飞行轨道考虑：
在不考虑地球公转的前提下，卫星或飞船的飞行轨道近似一圆周，对飞船进行全程测控就是要使运行轨道的每一处都必落在某一测控站的范围内。

因此也要根据飞船的飞行高度、运行轨道的有关参数进行估算。

3、综合分析：
分两种情况：一种不考虑地球的自转，当卫星或飞船在离地面一定高度飞行时，一个测控站观测到的飞船轨迹是轨道上的一段孤，计算这个孤长，再根据轨道的总长来确定测控站的最少个数；若考虑到地球自转，卫星或飞船相继两圈的经度有一定的差异，飞船在一定的球面上运行，根据每个测控点所监控到的面积计算所需的测控点个数。

三、模型假设
1、假设地球是一半径为的球体；
2、卫星或飞船的运行轨道也是一圆；
3、在建立模型时不考虑地球的公转，卫星或飞船在绕地球运动过程中
四、符号说明
3、相关说明 ①符号说明：
地球表面到轨道的高度为h.H, 地球半径为r,
监控站的个数为n.N,
监测点所测弧长所对应的角度2θ 监测站测到的运行轨道的最大量为a 有了经度差后，监测站的微偏移量S 可能测不到的区域为d 中间变量：x,α
②可能用到的物理量：
地球平均半径r =6.37×106m. 赤道半径r 1=6.0378×106m 地球M=6.0×103kg 万有引力常量G =6.67×10-11 地球的平均角速度=7.292×10-5弧度/s 地球的自转速度=465m/s
卫星距离地球的高度：h ≈340公里 神舟七号的周期：T=5100s 神奇七号的线速度：V=7703s
m
③可能用到的公式：{1}正弦定理： c
c
b b a a sin sin sin =
= {2}万有引力公式：
()
()22
ωh r m ma h r GMm
+==+
T =ωπ2
五、模型的建立与求解
问题一：在所有测控站都与卫星或飞船的运行轨道共面的情况下至少应该
建立多少个测控站才能对其进行全程跟踪测控？
由题意知，卫星或飞船的运行轨迹和所有的测控站在同一个平面上，即不考虑地球的自转，卫星或飞船将绕着地球做一个圆周运动，且卫星或飞船离地面的距离是H ，做两同心圆O ，O 表示地球球心，小圆表示地球，大圆表示卫星或飞船的运行轨道，连接OB 与OC ，如图1：
设E 是地球上的一个测控点，这个测控点能测控到的区域为E-CDB ，CDB 为轨道上的一段孤，则o o o CEB 17432180=⨯-=∠。

在三角形OBE 中：o OEB 93=∠
D
图 1
设 ∠OBE=α,∠EOB=θ,轨道到地面到的高度为H,地球半径为r ，监控站的个数为n. 由正弦定理得：
h r +093sin =r α
sin (1) H
r r +=093sin sin α (2)
∏=++∏
θα180
93
(3)
由(1) (2) (3)得
：r
h +-∏=193sin arcsin 180
870
θ （4）
n=θ
π
22 (5)
由以上的式子得：n=)193sin arcsin 180
87(
r
h +-∏π （6） 又r 是固定的，所以由上式得h 越大n 越小，。

故有最少的监控站数(n)能对卫星进行全程跟踪测控。

2、问题2 的剖析。

问题分析：因为卫星或飞船的运行轨道与地球赤道平面有固定的夹角，据此我们可以把卫星的运行轨道认为是在一个半径为（r+H ）的球的大圆上运动而不是整个球面。

具体解答过程：
图1为两个监测点的监控范围立体图。

将图1中MN 部分压扁了就近似成一个圆，得到图2，将立体图转变为平面图。

在以下的计算中，我们都是在平面上进行近似计算。

现在我们就需要把OP,CD和EF计算出来。

2，在地球自转的时候，卫星或飞船的运行轨道也在同方向上以一定的速度转动，但和地球的自转速度大小有可能不一样，因此设随着地球自转，测控站的微偏移量为S
（1）,求OP和CD(为了便于操作，我们把CD记为d，OP记为
a)
由第一题我们可以知道θ和n 的大小,所以在以下运算中我们把它们当做已知量。

a=2θ(r+H)2
1
⨯
=)(H r +θ (1) x=22S a - (2) d=a-x (3)
最后得：
N=
])([2)
(2)
(222S a H r n
H r H r --+-++θππ (4)。

3、《问题3全程解析》
㈠神州七号飞天全程记录：
（神舟七号载人飞船于2008年9月25日21点10分04秒988毫秒从酒泉卫星发射中心载人航天发射场用长征二号F 火箭发射升空。

最终于2008年9月28日17点37分成功着陆中国内蒙古四字王旗主着陆场。

神舟七号飞船一共飞行了335分钟。

神舟七号载人飞船是中国神舟号飞船系列之一，用长征二号F 火箭发射升空，它是我国第三个载人航天飞船。

神舟七号载人飞船科研单位是中国航天科技集团公司所属的中国空间技术研球院，神州七号飞船全长9.19米，有轨道舱、返回舱和推进舱构成，重达12吨，长征2F 运载火箭和逃逸塔组合体整体高达58.3米。

）
● 9月25日20时10分航天员翟志刚、刘伯明、景海鹏进入神舟七号飞船返回
舱。

● 发射前40分钟塔架控制开关开启。

● 21时10分长二F 型运载火箭点火。

● 4秒后神舟七号飞船升空。

● 点火第12秒火箭向着东南方向微微拐了一个弯，此时，火箭距地面高度为
211米。

●点火第120秒“逃逸塔分离”——这意味着火箭和飞船越过了上升段前两分
钟最为危险的。

●点火第136秒“助推器分离”——火箭进入52公里高空，捆绑在箭体上用
以增加推力的4支小火箭完成了使命。

●点火第159秒“一、二级分离”——此时，火箭已经飞过了平流层和中间层，
正在接近大气层边缘。

●点火第200秒“整流罩分离”——火箭已经飞出稠密的大气层，神舟七号在
太空中露出自己的真面目。

（“神舟七号报告：舷窗打开！”110公里的高空中传来翟志刚清晰的报告声）
●第500秒二级火箭关机，船箭组合体继续向前滑行。

●第578秒火箭以7.5公里／秒的速度，将飞船送到近地点200公里、远地点
350公里的椭圆轨道入口，船箭分离。

●21时19分43秒飞船进入预定轨道。

●21时23分航天员向北京飞控中心报告：“太阳能帆板展开，身体感觉良
好。

”
●21时26分许停泊在太平洋的远望五号测量船捕获飞船信息。

翟志刚报告：
“神舟七号感觉良好！”
●21时33分载人航天工程总指挥常万全宣布：“神舟七号飞船已经进入预定
轨道，发射取得成功。

”
●22时07分，在神舟七号飞船飞行第二圈过程中，航天员翟志刚首次从飞船
返回舱进入轨道藏开展工作。

●9月26日4时04分，杭州七号飞船成功变轨，由椭圆轨道变成近圆轨道。

●10时20分，航天员开始组装测试舱外航天服。

●12时0分36秒至8分46秒，远望六号船首次精确测控神七飞船。

●12时47分至12时59分，神州七号飞船成功穿越南大洋异常区域。

●21时47分，“飞天”和“海鹰”两套舱外航天服装组装完成。

●21时59 分，航天员翟志刚与飞控中心试验天地对话。

●22时25分，航天员开始穿个人装备。

●23时36分，翟志刚着中国自主研发的“飞天”舱外航天服在太空首次亮
相。

●9月27日13时57分，返回舱舱门关闭，航天员开始进行出舱准备。

●15时30分，舱外服气密性检查正常，气阀检查也正常
●15时48分，指控中心批准轨道舱开始减压。

●16时，神舟七号飞行任务总指挥室决定：翟志刚为出舱航天员，刘伯明
在轨道舱支持配合翟志刚出舱，景海鹏值守返回舱。

●16时17分，神舟七号与北京飞行任务控制中心对话，飞船一切正常，
航天员表示感觉良好，航天员吸氧排氮结束。

●16时22分，航天员穿好舱外航天服。

●16时24分，出舱活动重要步骤均已结束。

航天员吸氧排氮.减压工作准
备完成。

●16时26分，轨道舱进行第二次减压，当舱内降到2千帕时可满足航天
员出舱条件。

●16时39分，在刘伯明，景海鹏的协助下，中国神舟七号载人飞船航天
员翟志刚顺利出舱，实施中国首次空间出舱活动。

●16时48分，翟志刚在太空迈出第一步，中国人的第一次太空走开始。

●16时58分，北京航天飞控中心发出指令：神舟七号，返回到轨道舱。

●16时59分，翟志刚进入轨道舱，并完全关闭轨道舱舱门，完成太空行
走。

●17时01分，轨道舱关闭正常。

●18时32分，中共中央总书记、国家主席、中央军委主席胡锦涛与神七
航天员进行天地通话。

●19时24分，神舟七号飞船飞行到第31圈时，成功释放伴飞小卫星。

这
是中国首次在航天器上开展微小卫星伴随飞行试验。

●20时16分，伴飞卫星完成对神舟七号的20分钟拍照，图像十分清晰。

●21时45分，神舟七号上的三位航天员与家人进行天地通话。

●9月28日11时06分，航天员换好舱内航天服。

●11时16分，三名航天员穿舱内压力服，做返回准备。

返回控制数据将
注入飞船。

●11时46分，返回控制数据已注入飞船。

●12时51分，神舟七号返回舱舱门关闭，神七返回阶段开始。

这一步步过程的顺利进展，标志着神舟七号载人飞船一切顺利，这次载人飞行圆满成功，为中国的航天事业奠定了新的基础，相信中国航天业的未来定是蒸蒸日上，再创辉煌。

㈡测控点的详细信息。

对于神舟七号载人飞船的成功运行，离不开一个合理的测控网，这个测控网由多个陆地国内测控站、国外测控站和国外的4艘“远望”号远洋航天测量船组成，在对飞船实施测控的过程中，它们同时分布在太平洋、印度洋和大西洋的指定海域。

（除了远望一号，其他三艘测量船的任务海域都在纬度相对较高的南半球。

）那里的海况在南半球的春夏季节要好一些，秋冬季节则极为恶劣，不要说在海上执行测控任务，就是正常航行都难保安全。

为此，“神舟”号飞船的发射时机就只能选择在与南半球相反的秋冬季节。

1、主场站(酒泉站) （北纬40°58′00、34〃；东经：100°17′1
2、50〃）
2、喀什站（地理坐标东经73°20′-79°57′,北纬35°20′-40°18′东临塔克拉玛干大沙漠，南依喀喇昆仑山与西藏阿里地区为邻，西靠帕米尔高原，东北与阿克苏地区柯坪县、阿瓦提县相连，西北与克孜勒苏柯尔克孜自治州的阿图什市、乌恰县、阿克陶县相连，东南与和田地区皮山县相连。

）
3、和田站
4、东风站佳木斯地面测控站
5、青岛站（也称渤海站）
（青岛位于东经119°30′～121°00′，北纬35°35′～37°09′，东、青岛市地处山东半岛南部，南濒临黄海，东北与烟台市毗邻，西与潍坊市相连，西南与日照市接壤。

）
6、渭南站
（即秦岭站，28号计算站渭南位于东经108°50′-110°38′和北纬
34°13′-35°52′之间，地处陕西关中渭河平原东部，东濒黄河与山西、河南毗邻，西与西安、咸阳相接，南倚秦岭与商洛为界，北靠桥山与延安、铜川接壤。

）
7、厦门站
（也叫前哨战，位于东经118°04′04〃、北纬24º26′46〃属亚热带气候，温和多雨，年平均气温在21℃左右，夏无酷暑，冬无严寒。

每年5至8月份雨量最多，风力一般3至4级，常向主导风力为东北风。

由于太平洋温差气流的关系，每年平均受4至5次台风的影响，且多集中在7至9月份。

）
8、马林迪站（东经44°北纬2°肯尼亚）
9、圣地亚哥站（北纬32°43′西经117°09′）
10、纳米比亚站（南纬22°57 ′0东经14°30′西南非洲）
11、卡拉奇站(北纬24°59′0东经66°59′巴基斯坦)
12、远望-1号测量船（长江1号）
13、远望-2号测量船（长江2号）
14、远望-3号测量船（长江3号）
15、远望-5号测量船（长江5号）
16、远望-6号测量船（长江6号）
（三）具体问题解析
A A’
图片来源:/ycy8617/blog/item/95fca5c385bc031d0ff47776.html
图形说明
图： A ’ 接住的时候，用空间思维可以想到这几个测控站正好在一个圆周上，同时这个圆周的中心为地心，与赤道平面有一个固定的夹角。

图3说明：设A.Q 两测控站的纬度分别为k1.k2,j 经度分别为H1.H2.两点的精度差为H, 纬度差为K.近似计算即是把弧长有效地转化为直线。

计算如下：
又因为由图形1得：2站和7站在中国境内为地球大圆（测控站所在的圆上）上最大的弧长。

又有资料得:2站和7站的经度分别为东经 73°20′。

东经118°04′。

纬度分别为北纬35°20′-40°18°. 北纬24º26′46。

即是K1=367π.K2=152π.H1=18073πH2=9059π.H=4π.K=180
11π
近似计算如下：
X=rH (1)
Y=r(sink1-sink2) (2) L1=AQ=22X Y + (3)
L2=r π2 (4)
21
0L L n = (5)
由(1) (2) (3) (4)(5)得： 0n =π2)()]2sin 1(sin [2
2rH K K r +-
五、模型的优缺点分析
六、参考文献
①吴文海 《飞行综合控制系统》 航空工业出版社 2007-5
②卢惠民 《飞行仿真数学建模与实践》 航空工业出版社2007-3-1
③花禄森 《系统工程与航天系统工程管理》 中国宇航出版社2007-3-1
④
七、附录文件
1、电脑求解
将问题3用电脑软件计算，将数据输入到电脑当中，计算结果如下： function [n,l]=jianm1(H)
format long
c=93*pi/180;
r=6.37*1e+6;
%H=0.341*1e+6;
R=r+H;
sinB=r*sin(c)/R;
jiaoB=asin(sinB);%»¡¶È
jiaob=jiaoB*180/pi;%»¯Îª¶Èbanrf=180-jiaob-93;
rf=(pi-c-jiaoB)*2;
n=2*pi/rf;
n=ceil(n);
H=0.341*1e+6;
[n,l]=jianm1(H)
n =
12
l =
3.513871383040184e+006。