全称量词与存在量词+高一上学期数学北师大版(2019)必修第一册

(2)若本例中的“∀x∈R”改为“∀x>0”,求实数a的取值范围.
【解析】(1)由题意知Δ≤0,则a2－4≤0,得－2≤a≤2.所以实数a的取值范围为[－2,2].
(1)有的三角形不是等腰三角形；
(2)每个二次函数的图象都与轴相交；
(3)∀ ∈{3，5，7}， + 是偶数；
(4)∃ ∈ ， = .
【解析】(3)命题中含有全称量词的符号“∀”，因此是全称量词命题.
把3，5，7分别代入 + ，得10，16，22都是偶数，因此是真命题.
(4)命题中含有存在量词的符号“∃”，因此是存在量词命题.
02
探索新知
知识剖析
(1)一个全称量词命题可以包含多个变量，如“∀x,y∈R,x2+y2≥0”.
(2)在某些全称量词命题中，全称量词可以省略，理解时需把它补充出来.如“等边
三角形是等腰三角形”应理解为“所有的等边三角形都是等腰三角形”.
02
探索新知
知识剖析
(3)判断命题是否为全称量词命题的方法：一是看命题是否含有全称量词，含有全称量词的
一个命题与它的否定在内容上是完全对立的.
当命题是真命题时，命题的否定是假命题；
当命题是假命题时，命题的否定是真命题.
02
探索新知
常见词语的否定词语：
原词
等于
(=)
大于
（>）
小于
(<)
是
都是
至多有
一个
至多有n个
至少有
一个
否定
不等式
(≠)
不大于
(≤)
不小于
（≥）
不是
不都是
至少有
两个
至少有
（n+1）个
一个也
（1）有些三角形是直角三角形；
（2）在素数中，有一个是偶数；
（3）存在实数x，使得x2+x－1=0.
以上命题中，“有些”“有一个”“存在”都有表示个别或一部分的含义.
02
探索新知
例如，“存在实数x，使得x2+x－1＝0”可表示为“∃x∈R,使x2+x－1＝0”.
02
探索新知
知识剖析
(1)含有存在量词的命题，就是存在量词命题.
(2)一个存在量词命题可以包含多个变量，如“∃a，b∈R，使(a+b)2=(a－b)2”
02
探索新知
例5 判断下列命题是不是存在量词命题，如果是，指出其中的存在量词：
（1）存在一个无理数x，使x2也是无理数；（2）∃x∈R，使x2+x+1＝0.
（1）“存在一个无理数x，使x 2 也是无理数”是存在量词命题，“存在”是存在量词.
就不该给自己刮脸.
这就是著名的“罗素理发师悖论”问题,
如果我们学习了全称量词命题与存在量词命题的知识,
就可以通过逻辑进行分析了
02
探索新知
观察下列命题：
（1）所有正方形都是矩形；
（2）每一个有理数都能写成分数的形式；
（3）对于任意的正实数k, y = kx + b的值随x值的增大而增大；
（4）空集是任何集合的子集；
（1）所有的正方形都是平行四边形；（2）能被5整除的整数末位数字为0.
（1）“所有的正方形都是平行四边形”是全称量词命题，
“所有”是全称量词.
（2）“能被5整除的整数末位数字为0”可以表述为“所有能被5整除的整数，末位数字都为
0”，它是全称量词命题，其中省略了全称量词“所有”.
02
探索新知
观察下列命题：
PART 03
题 型 突 破
03
题型突破
例1. 判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假.
(1)有的三角形不是等腰三角形；
(2)每个二次函数的图象都与轴相交；
(3)∀ ∈{3，5，7}， + 是偶数；
(4)∃ ∈ ， = .
【方法指导】先判断命题的类型，再判断命题的真假，全称量词命题通过推理判断，存
它的图象与x轴不相交”.
（2）“∀ ∈ ，有 = ”的否定是“∃ ∈ ，使 ≠ ”
02
探索新知
实例分析
如何写出下列存在量词命题的否定
(1)存在凸n边形(n∈ ，且n≥3)，它的内角和等于720°；
(2)∃x ∈ ，x2的个位数字等于3.
分析：要否定这个存在量词命题，需要判定任意一个凸n边形的内角和均不等于720°，
即“任意凸n边形(n∈ ，且n≥3)，它的内角和都不等于720°”，它是一个全称量词命题.
分析：要否定这个存在量词命题，需要判定任何一个整数x，使x2的个位数字均不等于
3，即“∀x ∈ ，使x2的个位数字均不等于3”，它也是一个全称量词命题.
以上的全称量词命题是对原存在量词命题加以否定得到的.
02
一个实数x，使x + 1 ⩽ 0，也就是“∃x ∈ ，使x + 1 ⩽ 0 ”，它是一个存在量词命题.
分析：要否定这个全称量词命题，只需要找到一个实数x，使x2 − 2x + 2 > 0不成立，
即“∃x ∈ ，使x2 − 2x + 2 ⩽ 0 ”，它也是一个存在量词命题.
以上的存在量词命题是对原全称量词命题加以否定得到的.
1.2.2 全称量词与存在量词
北师大版（2019）必修第一册
学习目录
PARENT CONFERENCE DIRECTORY
壹
学习目标
叁
题型突破
Learning Objectives
Breakthrough in question types
贰
探索新知
肆
当堂检测
Explore new knowledge
02
探索新知
归纳总结：全称量词命题与存在量词命题的否定
命题类型
全称量词命题
形式
∀ ∈ ，具有性质()
∃ ∈ ，具有性质()
否定形式
∃
∈ ，不具有性质()
∀ ∈ ，不具有性质()
结论
全称量词命题的否定是存在量词命题；
存在量词命题的否定是全称量词命题
存在量词命题
03
题型突破
解题通法
全称量词命题的否定
(1)一般地，改写全称量词命题的否定时，先找到全称量词及相应结论，然后把命
题中的全称量词改成存在量词，同时否定结论.
(2)省略了量词的命题是全称量词命题，可加上“所有的”或“对任意”，它的否定是
存在量词命题.
存在量词命题的否定
一般地，改写存在量词命题的否定时，先找到存在量词及相应结论，然后把命题
将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸,我也只给这些人刮脸.我对各位表示热诚欢迎!”来找他刮脸
的人络绎不绝,自然都是那些不给自己刮脸的人.可是,有一天,这位理发师从镜子里看见自己的胡子
长了,他本能地抓起了剃刀,你们看他能不能给他自己刮脸呢?如果他不给自己刮脸,他就属于“不
给自己刮脸的人”,他就要给自己刮脸,而如果他给自己刮脸呢?他又属于“给自己刮脸的人”,他
（2）“∃x∈R，使x2+x+1＝0”是存在量词命题，“∃”是存在量词.
02
探索新知
在初中我们学过反证法，不是直接从命题的已知得出结论，而是假设命题的结论不
成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所设假设不正确，从而得到原命题成立.
这种方法叫做反证法.
在数学的讨论中，命题的否定类似反证法.
对于一个命题，什么是它的否定？一个命题和它的否定的真假有什么关系？
命题就是全称量词命题；二是看该命题是否为省去全称量词的命题，如果是，把全称量词
补充出来看是否讲得通.
02
探索新知
全称量词举例
M p ( x)
(1)对任意的x∈R，x2＋1＞0；
MБайду номын сангаас
p ( x)
(2)对任意一个无理数x，x2也是无理数；
M
p ( x)
(3)所有的一元二次方程都有实根；
02
探索新知
例4 判断下列命题是不是全称量词命题，如果是，指出其中的全称量词：
（5）一切三角形的内角和都等于180°；
以上命题中，“所有”“每一个”“任意”“任何”“一切”都是在指定范围内表示整体或
全部的含义
02
探索新知
例如，“对于任意的实数x，都有x2≥0”可表示为“∀x∈R,x2≥0”.
在某些全称量词命题中，有时全称量词可以省略.例如，“所有的正方形都是矩形”，可以简
写为“正方形是矩形”.
在量词命题通过举特例判断.
【解析】(1)命题中含有存在量词“有的”，因此是存在量词命题.
三条边互不相等的三角形不是等腰三角形，因此是真命题.
(2)命题中含有全称量词“每个”，因此是全称量词命题.
由于二次函数 = + 的图象与轴不相交，因此是假命题.
03
题型突破
例1. 判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假.
Classroom test
PART 01
学 习 目 标
01
学习目标
01
理解全称量词与存在量词的意义
02
掌握判断全称量词命题与存在量词命题
03
能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定，能正确使
用全称量词对存在量词进行否定
PART 02
探 索 新 知
02
探索新知
情境导学
在某个城市中有一位理发师,他的广告词是这样写的:“本人的理发技艺十分高超,誉满全城.我
称量词命题就是假命题.
要判定存在量词命题“∃x ∈ M，p(x)”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x，
使p(x)成立即可；如果在集合M中，使p(x)成立的元素x不存在，那么这个存在量
词命题就是假命题.
03
题型突破
例2. 写出下列各命题的否定.
(1)p:对任意的正数x, >x－1;
(2)q:三角形有且仅有一个外接圆;
中的存在量词改成全称量词，同时否定结论.
03
题型突破
例3. 已知命题“∀x∈R,x2+ax+1≥0”是假命题,求实数a的取值范围.
【解析】因为全称量词命题“∀x∈R，x2+ax+1≥0”的否定是“∃x∈R，x2+ax+1<0”.
由“命题真,其否定假;命题假,其否定真”可知,这个否定形式的命题是真命题.
（1）“某箱产品中至少有一件次品”的否定是“某箱产品都是正品”.
（2）“方程 − + = 有一个根是偶数”的否定是“方程 − + = 的每一个根都
不是偶数”.
（3）“∃ ∈ ，使 + + ≤ ”的否定是“∀ ∈ ，有 + + > ”.
探索新知
存在量词命题的否定是全称量词命题．
对于存在量词命题p“∃x∈M，x具有性质p(x)”通常把它的否定表示为
“∀x∈M，x不具有性质p(x)”
02
探索新知
例7 写出下列存在量词命题的否定：
（1）某箱产品中至少有一件次品；
（2）方程 − + = 有一个根是偶数；
（3）∃ ∈ ，使 ++1≤0.
命题②为真命题，命题②的否定为假命题．
02
探索新知
实例分析
“∀x ∈ ，有x + 1 > 0”是一个全称量词命题，如何否定它呢？
“∀x ∈ ，有x2 − 2x + 2 > 0”是一个全称量词命题，如何否定它呢？
分析：要否定这个全称量词命题，只需要找到一个实数x，使x + 1 > 0不成立，即找到
由于使 = 成立的实数只有± ，且它们都不是有理数，
因此，没有一个有理数的平方等于3，
所以“∃ ∈ ， = ”是假命题.
03
题型突破
解题通法
判断全称量词命题、存在量词命题真假的思路
要判定全称量词命题“∀x ∈ M，p(x)”是真命题，需要对集合M中每个元素x，证
明p(x)都成立；如果在集合M中找到一个元素x0 ，使得p(x0 )不成立，那么这个全
由于y=x2+ax+1是开口向上的抛物线,借助二次函数的图象易知Δ=a2－4>0，解得a<－2或
a>2.
所以实数a的取值范围是(－∞,－2)∪(2,+∞).
故一元二次方程 + + = 有一个正实数根和一个负实数根的充要条件是 < .
03
题型突破
延伸探究
(1)若本例中的“假命题”改为“真命题”，求实数a的取值范围.
(3)r:存在一个三角形,它的内角和大于180°;
(4)s:有些质数是奇数.
【解析】(1)命题p的否定“存在正数x,使 ≤ − ”.
(2)命题q的否定“存在一个三角形有两个或两个以上的外接圆或没有外接圆”.
(3)命题r的否定“所有三角形的内角和都小于或等于180°”.
(4)命题s的否定“所有的质数都不是奇数”.
02
探索新知
全称量词命题的否定是一个存在量词命题．
对于全称量词命题p“∀x∈M，x具有性质p(x)”通常把它的否定表示为
“∃x∈M，x不具有性质p(x)”
02
探索新知
例6 写出下列全称量词命题的否定：
（1）任意一个一元二次函数的图象都与x轴相交；
（2）∀x∈R，有 2 = .
（1）“任意一个一元二次函数的图象都与x轴相交”的否定是“存在一个一元二次函数，
没有
02
探索新知
请分别写出下列命题的否定，并判断它们的真假．
①集合A＝{x|x＞2}是集合B＝{x|x＞3}的真子集；
②方程x2－x－2＝0有实根．
命题①的否定：集合A＝{x|x＞2}不是集合B＝{x|x＞3}的真子集；
命题①为假命题，命题①的否定为真命题．
命题②的否定：方程x2－x－2＝0没有实根．