江西白鹭洲中学高三第一次月考数学文

白鹭洲中学
2010—2011学年上学期高三年级第一次月考
数学试题（文科）
注意事项： 1．本试题分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间为120分钟．
2．答第Ⅰ卷前务必将自己的姓名、考号、考试科目涂写在答题卡上．考试结束，试题和答题卡一并
收回．
3．第Ⅰ卷每题选出答案后，都必须用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号（ABCD ）涂黑，如需改
动，必须先用橡皮擦干净，再改涂其它答案．
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1．下列命题正确的是 （ ） A ．若→
a ·→
b =→a ·→
c ，则→b =→
c
B 。

若→a //→b ，→b //→c ，则→a //→
c ．
C ．若|||b -=+，则→
a ·→
b =0 D ．若→
a 与→
b 是单位向量，则→
a ·→
b =1
2．已知1,,,921--a a 成等差数列，1,,,9321--b b b 成等比数列，则212)(b a a -等于（ ）
A ．8
B ．－8．
C ．
8
9
D ．98
-
3．已知等差数列{}n a 中，39a a =，公差0d <；n S 是数列{}n a 的前n 项和，则（ ） A ．56S S > B ．56S S <
C ．60S =
D ．56S S =
4．若4cos 5α=-
，α是第三象限的角，则
1tan
21tan 2
α
α+=-
（ ）
A ．
2
1 B ．2
1- C ．2
D ．2-
5．若集合{
}
2
,M y y x x Z ==∈，3119x N x R
x ⎧-⎫
=∈≤⎨⎬-⎩⎭
，则M N I 的真子集的个数是
（ ）
A ．7
B ．8
C ．15
D ．16
6．如果函数1
1
log )(,)10(+=≠>=-x x f a a a y a
x 那么函数是增函数且的图象大致（ ）
7．将函数sin (0)y x ωω=>的图象按向量,06a π⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
r 平移，
平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的 解析式是 （ ） A ．sin()6
y x π
=+
B ．sin()6
y x π
=-
C ．sin(2)3
y x π
=+
D ．sin(2)3y x π
=-
8．给出下面的4个命题： （1）函数|)3x 2sin(|y π+
=的最小正周期是2π
； （2）函数)2
3x sin(y π-=在区间)23,[ππ上单调递增； （3）45x π=是函数)25x 2sin(y π+=的图象的一条对称轴; （4）
当θ=23
π
时．函数f （x ）=sin （2x+
θ）+)2cos(3θ+x 是奇函数， 其中正确结论的个数是
（ ）
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
9．定义一种运算⎩⎨
⎧>≤=⊗b
a b b a a b a ,,，令()()45sin cos 2
⊗+=x x x f ，且⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx ，则函数
⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-2πx f 的
最大值是
（ ）
A ．1
B 1- ．
C ．
4
5
D ．4
5-
10．数列{a n }中，a 1＝1，a n ，a n ＋1是方程x 2－（2n ＋1）x ＋1
b n
＝0的两个根，则数列{b n }的前n 项和S n 等
于 （ ）
A ．
n
2n ＋1
B ．n n ＋1
C ．12n ＋1
D ．1n ＋1
．
11．定义在R 上的偶函数|4|2)(,]5,3[),()2()(--=∈=+x x f x x f x f x f 时当满足, 则（ ）
A ．)2(sin )2(cos f f >
B ．)1(cos )1(sin f f >
C ．)3
2(sin )32(cos
π
πf f < D ．)6
(cos )6(sin
π
π
f f <
12．已知函数()y f x =的定义域为R ，当0x <时，()1f x >，且对任意的实数,x y ∈R ，等式
()()()f x f y f x y =+成立．若数列{}n a 满足1(0)a f =11
()(2)
n n f a f a +=--（*N n ∈），则2009a 的
值为
（ ） A ．4016 B ．4017
C ．4018
D ．4019
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在横线上．
13．的夹角为与则若c a ,2
5
)(,5),4,2(),2,1(ρρρρρρρρ=⋅+=--==c b a c b a ．_______
14．图（1），（2），（3），（4）分别包含1,5,13和25个互不重叠的单位正方形构造图形，则第50个图包含
个互不重叠的单位正方形．
15 ．数列,,141,1}{2
22212
1
1n n n
n n a a a S a a a a +++==+=+Λ记满足若3012m S S n n ≤-+对任意*N n ∈恒成立，则正整数m 的最小值为_______
16．设函数)1lg()(2--+=a ax x x f ，给出下列命题： ⑴)(x f 有最小值； ⑵当0=a 时，)(x f 的值域为R ；
⑶当0>a 时，)(x f 在区间[)∞+，2上有单调性；；
⑷若)(x f 在区间[)∞+，
2上单调递增，则实数a 的取值范围是4-≥a ． 则其中正确的命题是．．_______
三、解答题：（本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17．（本小题满分12分）
在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A ，B ，C 的对边，且
C B cos cos =-c
a b
+2．
（1）求角B 的大小；
（2）若b=13，a+c=4，求△ABC 的面积．
18．（本小题满分12分）
已知向量)sin 3cos ,1(x x m ωω+-=，)cos ),((x x f n ω=，其中0>ω，且n m ⊥，又函数)(x f 的图象任意两相邻对称轴间距为π2
3
． （Ⅰ）求ω的值;
（Ⅱ）设α是第一象限角,且26
23)223(=+παf ,求)24cos()
4sin(αππ
α++
的值．
19．（本小题满分12分）
已知)2cos 2,cos 1(),2sin 2,cos 1(x x b x x a +=-=→→
（Ⅰ）若,||4
1sin 2)(2
→→--+=b a x x f 求)(x f 的表达式；
（Ⅱ）若函数g （x ）=
sin 2x +2sin x ， 1)()()(+-=x f x g x h λ在]2
,2[π
π-
上是增函数，求实数的取值范围．
20．（本小题满分12分）已知数列
{}
n a 中，
11
a =，
n a n n
a n n +-=
-112 *
(2,)n n N ≥∈．设
λ+=n a b n n 且数列
{}n b 为等比数列，
（Ⅰ） 求实数λ及数列{}n b 、{}n a 的通项公式；
（Ⅱ） 若
n
S 为
{}
n a 的前n 项和，求
n
S ；
（Ⅲ） 令
,
)1(2-=
n n
n b b c 数列｛n c ｝前n 项和为n T ．求证：对任意*n N ∈，都有 n T ＜3．
21．（本小题满分12分）
已知函数)1()1ln()(+-+=x a x x x f ，其中a 为实常数。

（1）当[)+∞∈,1x 时，0)(>'x f 恒成立，求a 的取值范围； （2）求函数x
ax
x f x g +-'=1)()(的单调区间。

22．（本小题满分14分）
已知曲线:1,C xy =过C 上一点(,)n n n A x y 作一斜率为1
2
n n k x =-
+的直线交曲线C 于另一点
111(,)n n n A x y +++，点列{}n A 的横坐标构成数列{}n x ，其中1117
x =
． （I ）求n x 与1n x +的关系式； （II ）令n b =
11
23
n x +-，求证：数列{}n b 是等比数列； （III ）若3n
n n c b λ=-（λ为非零整数，*
n N ∈），试确定λ的值，使得对任意*
n N ∈．都有c n+1＞c n
成立。

参考答案
一、选择题：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C B
D B A D C D A B A B 二、填空题：
13．____ 1200 ___ 14、___ 4901 _ 15、___10________ 16、__（2） （3）
三、解答题
17．解 （1）由余弦定理知：cosB=ac
b c a 22
22-+，
cosC=ab
c b a 22
22-+．
将上式代入
C B cos cos =-c
a b +2得:
ac b c a 2222-+·2222c b a ab -+=-c
a b +2
整理得:a 2+c 2-b 2=-ac
∴cosB=ac
b c a 2222-+=ac ac 2- =-21
∵B 为三角形的内角，∴B=3
2
π ．6分 （2）将b=13,a+c=4,B=
3
2
π代入 b 2=a 2+c 2-2accosB,得b 2=（a+c ）2-2ac-2accosB
∴b 2=16-2ac ⎪⎭
⎫
⎝
⎛-211,∴ac=3．
∴S △ABC =21
acsinB=
4
3
3 12分
18．解: （Ⅰ）由题意得0=⋅,所以，
2
2sin 322cos 1)sin 3(cos cos )(x
x x x x x f ωωωωω++=
+⋅= 2
1
)62sin(++=πωx ………………………4分
根据题意知,函数)(x f 的最小正周期为π3,
又0>ω,所以3
1
=
ω………………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知2
1
)632sin()(++=πx x f
所以26
23
21cos 21)2sin()223(=+=++=+απαπαf
解得13
5
cos =α………………………8分
因为α是第一象限角,故13
12
sin =α………………………9分
所以,
214
13
)sin (cos 222cos )
4sin()
24cos()4sin(-=-=
+
=
++
ααα
π
ααππ
α………………12分
19．（1）])2
cos 2(sin 4cos 4[41sin 2)(22x
x x x x f -+-+=
=2+sin x
c os 2x
1+sin x =sin 2x +2sin x 4分
（2）,1sin )1(2sin )1()(2+λ-+λ+-=x x x h 设sin x =t ,（1≤t ≤1）
则有)11( 1)1(2)1()(2≤≤-+λ-+λ+-=t t t t h
1-=λ时，h （t ）=4t +1在[1,1]上是增函数，∴λ= 1
当1-≠λ时，对称轴方程为直线λ
+λ
-=11t ． ⅰ） 1-<λ时，
111-≤λ+λ
-，解得1-<λ ⅱ）当1->λ时，111≥λ
+λ
-,解得01≤λ<-
综上，0≤λ． 12分
20．（Ⅰ）当*
2,n n N ≥∈时，
n a n n
a n n +-=
-112，
1211n n a a
n n -∴
=+-， 即
112(1)1n n a a
n n -+=+-， 故1λ=时
有
1
2n n b b -=， 而
1
11201a b =
+=≠
1222n n
n b -∴=⋅=， 从而
2n n a n n
=⋅- ……………………4分
（Ⅱ） 212222(12)
n n S n n =⋅+⋅++⋅-+++L L
记
212222n
n R n =⋅+⋅++⋅L
则
231
212222n n R n +=⋅+⋅++⋅L
相减得：
231
22222n n n R n +-=++++-⋅L 1
2(12)
212n n n +-=-⋅-
1(1)22
n n R n +∴=--
21
4(1)2
2n n n n S n ++-∴=--
……………8分
（Ⅲ） 121122211
(2)(21)(21)(22)(21)(21)2121n n n n n n n n n n n
c n ---===-≥-------p
2n ≥时，
112121111
(2)
2121212121n n n T n -+-++-≥-----p L
1
21321n
=+-
-p
而
12
2321T =
=-p
*,3
n n N T ∴∀∈p ……………………12分
21．解：（1）由题意知：01)1ln()(>-+++='a x
x
x x f 则,1)1ln(x
x
x a ++
+< 2分
令2
)1(111)(,1)1ln()(x x x h x x x x h +++='++
+=
[)0)(,,1>'∴+∞∈x h x Θ
即)(x h 在[1，+∞）上单调递增
,2ln 2
1
)1(+=
<∴h a a ∴的取值范围是).2ln 2
1
,
(+-∞ 6分 （2）由（1）知),1(,1)1()1ln()(+∞-∈-+-++=x a x
x
a x x g
则2
2)1(2)1(111)(x a x x a x x g +-+=+-++=
' ①当1>a ，)2,1(--∈a x 时，)(,0)(x g x g <'在)2,1(--a 上单调递减，
),2()(,0)(,),2(+∞->'+∞-∈a x g x g a x 在时上单调递增
②当),1()(,0)(,1+∞->'≤在时x g x g a 上单调递增
综上所述，当)(,1x g a 时>的增区间为)2,1(),,2(--+∞-a a 减区间为 当),1()(,1+∞-≤的增区间为时x g a ． 12分
22．解: （1）过(,)n n n A x y 的直线方程为1
()2
n n n y y x x x -=-
-+
联立方程1()21n
n n y y x x x xy ⎧
-=--⎪+⎨⎪=⎩
消去y 得
21
()1022
n n n n x x y x x -++=++
∴12n n n x x
x +=+ 即12
n n n
x x x ++=
4分
（2） 1111
2321113
223233(2)
2111111322323233(2)
n n n n n n n n n n n
n n n n x x x x b x x x x x b x x x x +++
++-+-+
---=====-+-+++----
∴{}n b 是等比数列 1111
223
b x =
+=-- 2q =-
∴ (2)n
n b =-， 8分
（3） 要使1n n c c +>恒成立由 1113(2)n n n n c c λ+++⎡⎤-=--⎣⎦3(2)n n
λ⎡⎤---⎣⎦
=233(2)n n λ•+-＞0恒成立， 即（－1）n λ＞-（
2
3）n －1
恒成立． ⅰ。

当n 为奇数时，即λ<（2
3）n －
1恒成立．
又（2
3）n －
1的最小值为1．∴λ<1．
10分
ⅱ。

当n 为偶数时，即λ>－（2
3
）n-1恒成立，
又－（23）n －1的最大值为－23，∴λ>－2
3．
12分
即－23<λ<1，又λ≠0，λ为整数， ∴λ＝－1，使得对任意n ∈N*,都有1n n c c +>． 14分。