05_关系代数

R÷S = {tr [X] | tr R∧πY (S) Yx }
Yx：x在R中的象集，x = tr[X]
Ssm
关系代数
• 象集Zx 给定一个关系R（X，Z），X和Z为属性组。 当t[X]=x时，x在R中的象集（Images Set）为： Zx={t[Z]|t R，t[X]=x} 它表示R中属性组X上值为x的诸元组在Z上分 量的集合。
Ssm
学号 姓名 Sno Sname 95001 李勇 95002 刘晨 95003 王敏 95004 张立
性别 年龄 Ssex Sage 男 20 女 19 女 18 男 19
所在系 Sdept CS IS MA IS
课程号 Cno 1 2 3 4 5 6 7
Ssm
课程名 Cname 数据库 数学 信息系统 操作系统 数据结构 数据处理 PASCAL语言
ABC
S a1 b2 c2
a1 b3 c2
Ssm
a2 b2 c1
ABC a1 b1 c1 R∪S a1 b2 c2 a1 b3 c2 a2 b2 c1
关系代数
• 传统集合运算-差 关系R和关系S的差R - S仍为n目关系，由属于 R而不属于S的所有元组组成
R -S = { t|t R∧t S }
笛卡尔积
运算符
>
≧
<
比较运算符
≦
=
≠
选择
┐
投影
∧
逻辑运算符
连接
∨
除
含义 大于 大于等于 小于 小于等于 等于 不等于 非 与 或
关系代数
• 表示记号
R，tR，t[Ai]
设关系模式为R(A1，A2，…，An)，它的一个 关系设为R。
tR表示 t 是 R 的一个元组，
t[Ai]则表示元组 t 中相应于属性 Ai 的一个分量
Zx={t[Z]|t R，t[X]=x}
它表示R中属性组X上值为x的诸元组在Z上分 量的集合。
Ssm
关系代数
• 传统集合运算-一般概念与规则
¤ 一元运算：只对一个关系进行运算
¤ 二元运算：对两个关系进行运算
¤ 并交差运算的前提条件： 关系R和关系S具有相同的数目n（都有n个属性），且相应 的属性来自同一域。
Ssm
关系代数
• 传统集合运算-差 例：
A BC R a1 b1 c1
a1 b2 c2 a2 b2 c1
ABC S a1 b2 c2
a1 b3 c2 a2 b2 c1
Ssm
ABC
R-S
a1 b1 c1
关系代数
• 传统集合运算-交 关系R和关系S的交R∩S仍为n目关系，由既属 于R又属于S的元组组成
先行课 Cpno 5
1 6 7
6
学分 Ccredit 4 2 4 3 4 3 4
学 号 课程号 成 绩
Sno Cno
Grade
95001 1
92
95001 2
85
95001 3
88
95002 2
90
95002 3
60
关系代数
• 查询信息系（IS系）全体学生
• Sdept = 'IS' (Student)或 5 ='IS' (Student)
• 传统集合运算-笛卡尔积
例：
ABC R a1 b1 c1
a1 b2 c2 a2 b2 c1
A BCA BC
a1 b1 c1 a1 b2 c2 a1 b1 c1 a1 b3 c2 a1 b1 c1 a2 b2 c1 R × S a1 b2 c2 a1 b2 c2
ABC S a1 b2 c2
a1 b2 c2 a1 b3 c2 a1 b2 c2 a2 b2 c1 a2 b2 c1 a1 b2 c2
Ssm
• 表示记号
关系代数
tr ts R为n目关系，S为m目关系。tr R，tsS， tr ts称为元组的连接。它是一个n + m列的元组， 前n个分量为R中的一个n元组，后m个分量为 S中的一个m元组。
Ssm
关系代数
• 表示记号 象集Zx 给定一个关系R（X，Z），X和Z为属性组。 当t[X]=x时，x在R中的象集（Images Set）为：
SC ⋈ Course)
(仍有其他表达式)
Ssm
关系代数
• 专门的关系运算-除
给定关系R (X，Y) 和S (Y，Z)，其中X，Y，Z为属性 组。R中的Y与S中的Y可以有不同的属性名，但必须 出自相同的域集。R与S的除运算得到一个新的关系 P(X)，P是R中满足下列条件的元组在X属性列上的投 影：元组在X上分量值x的象集Yx包含S在Y上投影的 集合。
Ssm
关系代数
• 专门的关系运算-选择
Grade>=90（SC） Grade>=60 ∧ Grade<75（SC）
• 一般形式
F(R) = {t|tR∧F(t)= '真'}
¤ F：选择条件，是一个逻辑表达式，基本形式为：
[( ] X1θY1 [ )] [φ [( ] X2θY2 [ )]]…
• θ：比较运算符（＞，≥，＜，≤，＝或<>） • X代1替，；Y1等：属性名、常量、简单函数；属性名也可以用它的序号来 • φ：逻辑运算符（∧或∨） • [ ]：表示任选项 • …：表示上述格式可以重复下去
• 传统集合运算-笛卡尔积 设R为n目关系，k1个元组 S为m目关系，k2个元组 则关系R和关系S的笛卡尔积R×S 有：
¤列：（n+m）列的元组的集合
• 元组的前n列是关系R的一个元组 • 后m列是关系S的一个元组
¤行：k1×k2个元组
R×S = {trts |tr R ∧ ts S }
Ssm
关系代数
关系代数
单世民
关系代数
• 关系代数是一种抽象的查询语言，它用对关系 的运算来表达查询。
• 运算对象、运算符、运算结果是运算的三大要 素。
• 关系代数的运算对象是关系，运算结果也是关 系，而运算符包括四类。
Ssm
运算符
∪
−
∩
集合运算符
×
σ
专门的
π
关系运算符
⋈
÷
Ssm
关系代数
关系代数运算符
含义 并 差 交
Ssm
关系代数
• 专门的关系运算-投影 例：对于成绩记录sc，假设我们只想列出所有 学生的学号和所选课的课程编号，而不关心成 绩的具体值，投影运算便可以产生这样的结果。 上述表示为： π Sno,Cno（sc）
Ssm
关系代数
• 查询学生的姓名和所在系 • πSname，Sdept (Student) 或π2，5 (Student)
¤自然连接运算首先形成它的两个参数的笛卡儿积；
¤然后在笛卡儿积的结果上，基于两个参数的关系模 式中都出现的属性进行属性相等的选择运算；
¤最后还要去除重复属性，即结果的关系模式中相同 的属性在连接结果中只保留一个。
Ssm
关系代数
• 专门的关系运算-连接 自然连接运算的形式化定义如下： 设r(R)和s(S)是两个关系，r和s的自然连接表
Ssm
关系代数
A
B
C
a1
b1
c2
a2
b3
c7
a3
b4
c6
R a1
b2
c3
a4
b6
c6
a2
b2
c3
a1
b2
c1
Ssm
BCD b1 c2 d1
S b2
c1
d1
b2 c3 d2
R÷S A a1
关系代数
Ssm
关系代数
• 分析 在关系R中，A可以取四个值{a1，a2，a3，a4}
a1的象集为 {(b1，c2)，(b2，c3)，(b2，c1)} a2的象集为 {(b3，c7)，(b2，c3)} a3的象集为 {(b4，c6)} a4的象集为 {(b6，c6)}
Ssm
关系代数
• 表示记号 A，t[A]，A 若A={Ai1，Ai2，…，Aik}，其中Ai1，Ai2，…， Aik是A1，A2，…，An中的一部分，则A称为属 性列或域列。 t[A] =(t[Ai1]，t[Ai2]，…，t[Aik])表示元组t在属 性列A上诸分量的集合。 A则表示{A1，A2，…，An}中去掉{Ai1，Ai2，…， Aik}后剩余的属性组。
AθB
¤ 等值连接 当θ条件为‘=’时的θ连接为等值连接。
¤ 自然连接 在等值连接中，如果相比较的分量是相同的属性组，并且 在结果中去掉了重复的属性列，则称为自然连接。
Ssm
关系代数
• 专门的关系运算-连接 二元运算自然连接可以将某些选择运算和笛卡
儿积运算合并为一个运算，用“连接”符号⋈ 来表示：即r ⋈ s
S在(B，C)上的投影为
{(b1，c2)，(b2，c1)，(b2，c3) }
只有a1的象集包含了S在(B，C)属性组上的投影
所以 R÷S ={a1}
Ssm
¤ 关系运算的结果仍然是一个关系
¤ 运算的结果不含有重复的元组
Ssm
关系代数
• 传统集合运算-并 关系R和关系S的并R∪S 仍为n目关系，由属 于R或属于S的元组组成
R∪S = { t|t R∨t S }
Ssm
关系代数
• 传统集合运算-并 例：
ABC
R a1 b1 c1 a1 b2 c2
a2 b2 c1
• 查询年龄小于20岁的学生
• Sage < 20 (Student) 或 4 < 20 (Student)
Ssm
关系代数
• 专门的关系运算-投影 投影运算是一元运算，它返回作为参数的那个 关系的部分属性构成的新关系。由于关系是一 个集合，所以在结果关系中所有重复的行均被 去除。 投影运算用希腊字母π表示，所有希望在结果 关系中出现的属性作为π的下标，而作为参数 的关系跟随在π后的括号中。
πSno,Cno（ Grade>=60∧Grade<75（sc））
Ssm
关系代数
• 专门的关系运算-连接 从两个关系的笛卡儿积中选取属性间满足一定条件的 元组的操作。
¤ 常用的连接
θ 连接:r ⋈θs= θ(r ×s)
θ为一个条件
R
S = { tr ts | tr R∧ts S∧tr[A]θts[B] }
• 查询学生关系Student中都有哪些系
•
பைடு நூலகம்
πSdept(Student)
Ssm
关系代数
• 选择运算是从行的角度进行的运算
• 投影操作主要是从列的角度进行运算
π
Ssm
关系代数
• 关系运算的组合 关系运算的结果仍然是一个关系。可以把多个 关系代数运算组合成一个关系代数表达式。 问：以下的关系运算是什么含义？
示为r ⋈ s，它是R∪S上的一个关系，具体定
义如下：
r⋈s=
πR∪S( r.A1=s.A1∧r.A2=s.A2∧...∧r.An=s.An (r×s))
其中R∩S = {A1,A2,…,An}。
Ssm
关系代数
• 自然连接特性
¤关系代数表达式r ⋈ s ⋈ p与r ⋈ (s ⋈ p)和(r ⋈ s) ⋈ p是等价的，也就是说自然连接运算满足结
Ssm
关系代数
• 查询选修了“数据库”的学生的姓名
• πStudent.Sname( Cname=“数据库”(Student ⋈ SC ⋈
Course) (仍有其他表达式)
• 查询信息系选修了“数据库”的学生姓名
⋈ • πStudent.Sname( Cname=“数据库” ∧Sdept=“IS” (Student
R∩S = { t|t R∧t S }
R∩S = R –（R – S）
Ssm
关系代数
• 传统集合运算-交 例：
ABC
R a1 b1 c1 a1 b2 c2
a2 b2 c1
ABC
S a1 b2 c2
a1 b3 c2
Ssm
a2 b2 c1
ABC a1 b2 c2
R ∩ S a2 b2 c1
关系代数
BE
b1
3
b2
7
b3 10
b3
2
b5
2
RS
R.B=S.B
A R.B C S.B E A R.B C S.B E
a1
b1
5 b2
7
a1 b1
5
b1
3
a1
b1
5
b3 10
a1 b2
6
b2
7
a1 a1
b2 b2
6 6
b2
7
b3 10
a2 b3 8 b3 10
a2
b3
8
b3 10
a2 b3
8
b3
2
Ssm
关系代数
a1 b3 c2
a2 b2 c1 a1 b3 c2
a2 b2 c1
Ssm
a2 b2 c1 a2 b2 c1
关系代数
• 专门的关系运算-选择 给出满足给定谓词(条件)的元组。
用小写希腊字母 来表示选择运算，而将谓词 写作的下标，并在后的括号中给出作为参
数的关系。 例： 找出成绩大于等于90分的成绩记录
Grade>=90（SC）
Ssm
关系代数
• 专门的关系运算-选择 通常允许在选择谓词中进行比较，使用的比较 运算符是＝、≠、<、≤、>和≥等。另外，还 可以用连词and(∧)和or(∨)将多个谓词合并 成一个较大的谓词。
例如： 查询成绩大于等于60但小于75分的成绩记录
Grade>=60 ∧ Grade<75（SC）
合律；
¤设r(R)和s(S)是没有任何公共属性的关系，即
R∩S= ，那么r ⋈ s = r×s；
Ssm
关系代数
• 一般的连接操作是从行的角度进行运算。
R
AθB
S
自然连接还需要取消重复列，所以是同时从行 和列的角度进行运算。
Ssm
AB C
a1 b1
5
a1 b2
6
a2 b3
8
a2 b4 12
RS
C＜E