(物理)物理万有引力与航天试题类型及其解题技巧及解析

（物理）物理万有引力与航天试题类型及其解题技巧及解析
一、高中物理精讲专题测试万有引力与航天
1．“嫦娥一号”的成功发射，为实现中华民族几千年的奔月梦想迈出了重要的一步．已知“嫦娥一号”绕月飞行轨道近似为圆形，距月球表面高度为H ，飞行周期为T ，月球的半径为R ，引力常量为G ．求：
(1) “嫦娥一号”绕月飞行时的线速度大小； (2)月球的质量；
(3)若发射一颗绕月球表面做匀速圆周运动的飞船，则其绕月运行的线速度应为多大． 【答案】（1）()2R H T
π+（2）
()3
22
4R H GT π+（3）
()2R H R H
T
R
π++ 【解析】
（1）“嫦娥一号”绕月飞行时的线速度大小12π()
R H v T
+=． （2）设月球质量为M ．“嫦娥一号”的质量为m ．
根据牛二定律得222
4π()()R H Mm
G m R H T +=+
解得23
2
4π()R H M GT +=
． （3）设绕月飞船运行的线速度为V ，飞船质量为0m ，则2
002Mm V G m R
R =又
23
2
4π()R H M GT +=
． 联立得()2πR H R H
V T
R
++=
2．用弹簧秤可以称量一个相对于地球静止的小物体m 所受的重力，称量结果随地理位置的变化可能会有所不同。

已知地球质量为M ，自转周期为T ，万有引力常量为G ．将地球视为半径为R 、质量均匀分布的球体。

（1）求在地球北极地面称量时弹簧秤的读数F 0，及在北极上空高出地面0.1R 处称量时弹簧秤的读数F 1；
（2）求在赤道地面称量时弹簧秤的读数F 2；
（3）事实上地球更接近一个椭球体，如图所示。

如果把小物体放在北纬40°的地球表面
上，请定性画出小物体的受力分析图，并画出合力。

【答案】（1）02Mm F G R = ()120.1GMm F R R =+ （2）222
24Mm R
F G m R T
π=- （3）
【解析】 【详解】
（1）在地球北极，不考虑地球自转，则弹簧秤称得的重力则为其万有引力，有：
02
GmM
F R =
在北极上空高处地面0.1R 处弹簧秤的读数为：12
(0.1)GmM
F R R =
+；
（2）在赤道地面上，重力向向心力之和等于万有引力，故称量时弹簧秤的读数为：
2222
4GmM Rm
F R T
π=- （3）如图所示
3．一名宇航员抵达一半径为R 的星球表面后，为了测定该星球的质量，做下实验：将一个小球从该星球表面某位置以初速度v 竖直向上抛出，小球在空中运动一间后又落回原抛出位置，测得小球在空中运动的时间为t ，已知万有引力恒量为G ，不计阻力，试根据题中所提供的条件和测量结果，求：
（1）该星球表面的“重力”加速度g 的大小； （2）该星球的质量M ；
（3）如果在该星球上发射一颗围绕该星球做匀速圆周运动的卫星，则该卫星运行周期T 为
多大？
【答案】（1）2v g t =（2）2
2vR M Gt
=（3）2T π=【解析】 【详解】
（1）由运动学公式得：2v
t g
＝
解得该星球表面的“重力”加速度的大小 2v g t
＝
（2）质量为m 的物体在该星球表面上受到的万有引力近似等于物体受到的重力，则对该星球表面上的物体，由牛顿第二定律和万有引力定律得：mg ＝2mM G
R
解得该星球的质量为 2
2vR M Gt
= （3）当某个质量为m′的卫星做匀速圆周运动的半径等于该星球的半径R 时，该卫星运行
的周期T 最小，则由牛顿第二定律和万有引力定律222
4m M m R
G R T
π''＝
解得该卫星运行的最小周期 2T π
＝ 【点睛】重力加速度g 是天体运动研究和天体表面宏观物体运动研究联系的物理量．本题要求学生掌握两种等式：一是物体所受重力等于其吸引力；二是物体做匀速圆周运动其向心力由万有引力提供．
4．2019年4月20日22时41分，我国在西昌卫星发射中心用“长征三号”乙运载火箭，成功发射第四十四颗北斗导航卫星，卫星入轨后绕地球做半径为r 的匀速圆周运动。

卫星的质量为m ，地球的半径为R ，地球表面的重力加速度大小为g ，不计地球自转的影响。

求：
（1）卫星进入轨道后的加速度大小g r ； （2）卫星的动能E k 。

【答案】（1）2
2gR r
（2）22mgR r
【解析】 【详解】
(1)设地球的质量为M ，对在地球表面质量为m '的物体，有：2
Mm G m g R
'
'= 对卫星，有：r 2
Mm
G
mg r =
解得：2
r 2g gR r
=
(2)万有引力提供卫星做匀速圆周运动所需的向心力，有：2
2Mm v G m r r
=
卫星的动能为：2
k 12
E mv =
解得：2
k 2mgR E r
=
5．设想若干年后宇航员登上了火星，他在火星表面将质量为m 的物体挂在竖直的轻质弹簧下端，静止时弹簧的伸长量为x ，已知弹簧的劲度系数为k ，火星的半径为R ，万有引力常量为G ，忽略火星自转的影响。

（1）求火星表面的重力加速度和火星的质量；
（2）如果在火星上发射一颗贴近它表面运行的卫星，求该卫星做匀速圆周运动的线速度和周期。

【答案】（1）g =kx m ，M =2
kxR Gm
； （2）v 2【解析】 【详解】
（1）物体静止时由平衡条件有: mg =kx ，所以火星表明的重力加速度g =
kx
m
；在火星表面重力由万有引力产生：mg =G 2mM R ，解得火星的质量M =2
kxR Gm。

（2）重力提供近地卫星做圆周运动的向心力：mg =m 2
v R
，解得卫星的线速度v
近地卫星的周期T =
2R v π=2
6．已知地球质量为M ，万有引力常量为G 。

将地球视为半径为R 、质量均匀分布的球体。

忽略地球自转影响。

（1）求地面附近的重力加速度g ； （2）求地球的第一宇宙速度v ；
（3）若要利用地球绕太阳的运动估算太阳的质量，需要知道哪些相关数据？请分析说明。

【答案】（1）2GM g R =
（2）v =3）若要利用地球绕太阳的运动估算太阳的质量，需要知道地球绕太阳运动的轨道半径、周期和万有引力常量。

【解析】 【详解】
（1）设地球表面的物体质量为m , 有
2Mm
G
mg R = 解得
2GM g R
=
（2）设地球的近地卫星质量为m '，有
2
2Mm G m R R
''=v 解得
v =
（3）若要利用地球绕太阳的运动估算太阳的质量，需要知道地球绕太阳运动的轨道半径、周期和万有引力常量。

设太阳质量为M '，地球绕太阳运动的轨道半径为r 、周期为T ，根
据2
224M M G M r r T
π'=可知若知道地球绕太阳运动的轨道半径、周期和万有引力常量可求
得太阳的质量。

7．高空遥感探测卫星在距离地球表面h 的轨道上绕地球转动，已知地球质量为M ，地球半径为R ，万有引力常量为G ，求： (1)人造卫星的角速度； (2)人造卫星绕地球转动的周期； (3)人造卫星的向心加速度．
【答案】（1）R h ω+（2）2T R h π=+（3）()2 GM a R h =+
【解析】 【分析】
根据万有引力提供向心力2
2222()Mm v G m r m m r ma r T r
πω====求解角速度、周期、向
心加速度等。

【详解】
（1）设卫星的角速度为ω，根据万有引力定律和牛顿第二定律有： G
()
2
mM
R h +＝m ω2(R +h )，
解得卫星角速度R h ω+
故人造卫星的角速度
R h ω+
（2）由()
2
2
24Mm
G
m R h T R h π=+
+（）
得周期2T R h π=+
（ 故人造卫星绕地球运行的周期为2T R h π=+（ （3）由于G
()
2 mM
R h +=m a 可解得，向心加速度a=
()
2
GM
R h +
故人造卫星的向心加速度为()
2
GM
R h +．
【点睛】
解决本题的关键知道人造卫星绕地球运行靠万有引力提供向心力，即
2
2222()Mm v G m r m m r ma r T r πω====.
8．航天专家叶建培透露，中国将在2020年发射火星探测器，次年登陆火星．中国火星探测系统由环绕器和着陆巡视器组成．环绕器环绕火星的运动可看作匀速圆周运动，它距火星表面的高度为h ，火星半径为R ，引力常量为G ．
（1）着陆巡视器的主要功能为实现在火星表面开展巡视和科学探索．着陆巡视器第一次落到火星时以v 0的速度竖直弹起后经过t 0时间再次落回火星表面．求火星的密度． （2）“环绕器”绕火星运动的周期T ． 【答案】（1）0032v RGt
π（2【解析】
（1）根据竖直上抛运动的基本规律可知，火星表面重力加速度
00
0022
v v g t t =
=； 根据火星表面万有引力等于重力得2
'
'Mm G
m g R
=②， 火星密度
3
43
M M V R ρπ=
=③，由①②③解得0032v RGt ρπ=； （2）根据万有引力提供向心力公式得：2
224G
()()Mm m R h R h T
π=++
解得：
3
0 2
() ()2(
)
2
2
R h t
R h R h
T
gR R v
π
π
+
++
==．
9．“嫦娥四号”卫星从地球经地一月转移轨道，在月球附近制动后进入环月轨道，然后以大小为v的速度绕月球表面做匀速圆周运动，测出其绕月球运动的周期为T，已知引力常量G，月球的半径R未知，求：
（1）月球表面的重力加速度大小；
（2）月球的平均密度。

【答案】(1)
2v
g
T
π
= (2)
2
3
GT
π
ρ=
【解析】
【详解】
（1）在月球表面，万有引力等于重力，重力加速度等于向心加速度n
g a
=
g v
ω
=⋅
2
T
π
ω=
以上各式联立得
2v
g
T
π
=
（2）“嫦娥四号”卫星绕月球表面做匀速圆周运动，万有引力提供向心力
2
22
4
Mm R
G m
R T
π
=
由密度公式：
M
V
ρ=
球
球体的体积公式为3
4
3
V R
π
=
球
联立以上各式得
2
3
GT
π
ρ=
10．一宇航员在某未知星球的表面上做平抛运动实验：在离地面h高处让小
球以v0的初速度水平抛出，他测出小球落地点与抛出点的水平距离为x，又已知该
星球的半径为R，己知万有引力常量为G，求：
(1)、该星球表面的重力加速度g
(2)、该星球的质量M (3)、该星球的第一宇宙速度v (最后结果必须用题中己知物理量表示)
【答案】（1）202222hv h g t x ==（2）22
20
2
2hv R Gx
gR M G ==(3)v == 【解析】
（1）小球做平抛运动时在水平方有0x t v = 得小球从抛出到落地时间为： 0
t x v =
小球做平抛运动时在竖直方向上有：21h-R 2
gt =
得该星球表面的重力加速度为：()2
22
222h R v h R g t x
--== （2）设地球的质量为M ，静止在地面上的物体质量为m 由万有引力等于物体的重力得： 2
GMm
mg R
=
所以该星球的质量为：()22
202
2v R
Gx
h R gR M G -== (3) 设有一颗质量为m 的近地卫星绕地球作匀速圆周运动，速率为v ，则有
2
2 GMm mv mg R R
==
故该星球的第一宇宙速度为：v =
=
点睛：运用平抛运动规律求出小球从抛出到落地的时间和星球表面重力加速度；根据万有引力等于物体的重力求解星球的质量；忽略星球自转的影响，根据万有引力等于重力列出等式求解天体质量．。