第四章拉普拉斯变换1

41引言42拉普拉斯变换的定义收敛域43拉普拉斯变换的基本性质44拉普拉斯逆变换45用拉普拉斯变换法分析电路s域的元件模型46系统函数hs47系统函数的零极点分布决定时域特性48系统函数的零极点分布决定频域特性410全通网络和最小相移函数的零极点分布411线性系统的稳定性41傅里叶级数和傅里叶变换
第4章 拉普拉斯变换、连续系统的
(a)令 0, L[u(t)] 1 ,即u(t) 1
s
s
15
et 1
s
(b) 单边正弦信号 sin 0t u(t)
L[sin t] L[ 1 (e jt ejt )]
2j
1[ 1 1 ]
2 j s j s j
s2 2
即sin
t
s2
2
16
et 1
s
(c)单边余弦信号
costu(t)
(3) f (t)u(t t0 ) tu(t t0 )
(4) f (t t0 )u(t t0 ) (t t0 )u(t t0 ) 的拉氏变换。
解：信号(1)和(2)t 0 时的波形相同， f (t t0)
所以它们的拉氏变换也相同，即
L[t t0 ] L[(t t0 )u(t)] L[tu(t)] L[t0u(t)]
(0 )
f
(0 )
dt 2
若f(t)为有始函数，则
f (t) f (t)u(t)
L[ df (t)u(t)] sF (s)
dt
25
例
设
f1(t) etu(t),
1 f2 (t) et
t0 t 0
试求 f1'(t) 和 f2 '(t) 的拉氏变换。 1 f1(t)
解：f1(t), f2(t)的波形如图所示。
区域
0
单边拉氏变换的函数一般均满足指数阶的条
件，且总存在收敛域，一般非特别说明，不再
标注收敛域。
14
三、常用信号的拉氏变换
1、指数信号 etu(t) (这里 无任何限制)
1
L[et ] etestdt e( s)tdt
0
0
s
即et 1
( a)
s
由此，可导出一些常用的函数的拉氏变换
设L[ f (t)] F(s)
则 t f ()d F (s) f (1) (0 )
s
s
如已知u(t) 1，而tu(t)
t
u()d
s
0
所以tu(t)
1 s
(1) s
1 s2
28
例4-4 图示电路，在t=0时开关S闭合，求输出电压vc(t)
S
R
解：（1）列写微分方程
E
C
vc (t)
RC
s
1
j
s
1
j
(s
)2
2
即
et sin t
(s )2 2
18
2、 t的正幂信号 t n (n为正整数)
由定义：
L[t
n
]
0
t
en
st dt
对上式进行分部积分，令 u t n , dv estdt
tnestdt 1
0
s
t ndest t n est
0
s
0
n s
t e n1 stdt
如衰减的指数信号：et
F() 1
F(s) 1
j
s
21
第三类： 0 0
拉氏变换,付氏变换都存在，但不满足第二类。
如 u(t) 的傅氏变换 F() 1 ()
j
拉氏变换
F(s) 1 s
22
4.3 拉普拉斯变换的性质
在实际应用中，通常不是利用定义式计算拉 氏变换，而是巧妙地利用拉氏变换的一些基本 性质来求取。
1、 求 f (t)e t 的傅氏变换：
FT[
f
(t)et ]
f
(t)ete jt dt
f (t)e( j)t dt
它是 j的函数，记 j s为复频率
显然，可表示成 F j f (t)e( j) t d t
记为
F(s)
f
(t )e st dt
FT[
f
(t)et ]
F(s)
反之，已知 F(s)求拉氏反变换式，也无法求
得到 t 0时的 f (t)表达式。
单边拉氏变换的优点：
不仅可以求解零状态响应，还可以求解零 输入响应或全响应。单边拉氏变换自动将初始 条件包含在其中了；而且，只需要了解t=0- 时 的情况就可以了。
11
二、拉氏变换的收敛域(单边拉氏变换)
信号 f (t)乘以收敛因子后，有可能满足绝对 可积的条件。是否一定满足，还要看 f (t)的性
复频域函数F (s)
变量 t
变量s (复频率）
即：
t (实数)
s j (复数）
傅里叶变换建立了时域与频域之间的联系；
拉普拉斯变换建立了时域与复频域之间的联系。 9
2、 单边拉氏变换
由于1.实际信号都是有始信号，即 t 0时，f (t) 0
或者只需考虑 t 0 的部分；2.我们观察问题总 有一个起点。此时
F(s)
0
f
Hale Waihona Puke (t )e st dt积分下限用0-，的是把 t 0 时出现的冲激包含 进去，这样，利用拉氏变换求解微分方程时，
可以直接引用已知的初始状态 f (0 ) ，但反变换 的积分限并不改变。
以后重点讨论单边拉氏变换。 10
由于重点讨论单边拉氏变换，所以f (t)和 f (t)u(t) 的拉氏正变换 F(s)是一样的。
4
下面将介绍拉普拉斯变换（简称拉氏变换） 它的定义方法有很多，这里为了强化它的物理
意义，可以看作一种广义的傅氏变换。将频域扩 展为复频域。
拉氏变换的优点： 1）求解简化； 2）把微分、积分方程转化为代数方程； 3）将复杂函数转化为简单的初等函数； 4）将卷积转化为乘法运算。
5
4.2 拉普拉斯变换的定义、收敛域
拉氏变换的有些性质与傅氏变换性质极为相 似 ，只要把傅氏变换中的jω用s替代即可。
但是傅氏变换是双边的，而我们这里讨论的 拉氏变换是单边的，所以某些性质又有差别。
23
1. 线性（linearity）
设f1(t) F1(s), f2 (t) F2 (s)
则a1 f1(t) a2 f2 (t) a1F1(s) a2F2 (s), a1,a2为常数
质与 的相对关系。
通常把使 f (t)et 满足绝对可积条件的 值
的范围称为拉氏变换的收敛域 。
12
lim f (t)et 0
t
( 0 )
则收敛条件为 0
满足上述条件的最低限度的
值，称为
。
0
(绝对收敛横坐标)。
如：有始有终的能量信号 0
周期信号是功率信号 0 0
e 按指数规律增长的信号，如 t 0
dvc (t) dt
vc
(t)
Eu(t)
（2）将微分方程两边取拉氏变换，得
RC[sVc (s)
vc (0 )] Vc (s)
E s
vc (0 ) 0
E
11
Vc
(s)
s(RCs
1)
E( s
s
1
)
（3）求 Vc (s) 的拉氏逆变换
RC
vc (t)
L1[Vc
(s)]
E(1
t
e RC
)u(t)
29
4 延时特性(time delay)
若 L[ f (t)] F(s)
则 L[ f (t t0 )u(t t0 )] est0 F(s)
(t0 0)
30
例：设
f
(t)
t，则
F (s)
L[
f
(t)]
1 s2
，若 t0
0，试求
(1) f (t t0 ) t t0
(2) f (t t0 )u(t) (t t0 )u(t)
例：求 f (t) sin tu(t) 的拉氏变换 F (s)
解： sin t 1 (e j t e j t ) 2j
e jtu(t) 1 , e jtu(t) 1
s j
s j
[sintu(t)] 1 [ 1 1 ] 2 j s j s j s2 2
24
2. 原函数（时域）微分
L[ f1(t)] L[ f2 (t)],
F1(s)
F2
(s)
s
1
df1 (t) (t) etu(t)
dt
L[ df1(t)] 1 dt
s
s
s
sF1(s)
0t
f2(t)
1
0t
1
26
L[ f1(t)] L[ f2 (t)],
F1(s)
F2
(s)
s
1
df1 (t) (t) etu(t)
1
4.1 引言
拉普拉斯变换是分析连续信号与系统的一种好方 法。线性时不变系统方法的回顾：
时域分析法：卷积积分——只能求解零状态响应
变换域分析法：傅氏变换分析法——把时间变量 函数变换到变换域中的某一变量的函数。
分析的实质：(1)是将激励信号分解成某种基本 的单元信号；(2)求基本单元信号通过系统的响 应；(3)最后叠加起来求得总的响应。
4.1 引言
S域分析
4.2 拉普拉斯变换的定义、收敛域
4.3拉普拉斯变换的基本性质
4.4拉普拉斯逆变换
4.5用拉普拉斯变换法分析电路、s域的元件模型
4.6系统函数H(s)
4.7系统函数的零、极点分布决定时域特性 4.8系统函数的零、极点分布决定频域特性
4.10全通网络和最小相移函数的零极点分布
4.11线性系统的稳定性
0
可见：
n t n1est dt
s 0
L[t n ] n L[t n1] s
19
L[t n ] n L[t n1] s
依次类推：L[tn ] n n 1 n 2 2 1 1 n! s s s s s s sn1
特别是n=1时，有
1 L[t] s2
3、冲激函数 (t)
根据冲激函数作为广义函数的定义
L[ (t)]
0
(t
)e
st
dt
est
t0
1
L[
(t
t0 )]
0
(t
t0
)e st dt
e st0
(t0 0)
20
小结：(拉氏变换有三类情况)
第一类：增长的指数信号(如双曲函数等)
只有拉氏变换而无傅氏变换 0 0
et
( 0)
第二类： 0 0 拉氏变换、付氏变换都存在，且 F(s) F() S j
L[cos t] L[ 1 (e jt e jt )]
2
11
1
s
[
]
2 s j s j s2 2
即 cos t
s2
s
2
17
et 1
s
(d)单边衰减或增长的正弦信号 et sin t u(t)
L[et sin t]
L[
1
(e e )u(t)] ( j)t
( j ) t
2j
1 2j
2
卷积分析法的单元信号是冲激函数； 傅氏变换分析法的单元信号是虚指函数。借 助于傅里叶变换的时域卷积定理，可将卷积 分析法转换为傅里叶变换分析法
傅氏变换分析法的优点：物理意义明确， 也是信号分析的有效工具。
3
傅氏变换的不足： (1)要求信号满足狄里赫利条件（绝对可积条 件），使一般周期信号、阶跃函数等只能虽 借助于广义函数求得傅氏变换，由于频域中 出现冲激函数，使计算带来困难； (2)求傅氏反变换有时比较麻烦； (3)只能求解零状态响应。
dt
f1 (t)
1
0
t
L[ df1(t)] 1 dt
s
s
s
sF1(s)
f2 (t )
1
df2 (t) 2 (t) etu(t)
dt
0
t
1
L[ df2 (t)] dt
2
s
1
s
s
sF1(s)
f2 (0 )
由于f (0-)不同，所求导数的拉氏变换不同。
27
3. 原函数(时域)积分(integration in the time domain)
上两式称一对拉普拉斯变换式，正变换、反变换。
记F(s) L[ f (t)], f (t) L-1[F(s)]
f (t) F(s)
拉氏变换扩大了信号的变换范围。 8
拉普拉斯变换与傅里叶变换的区别：
FT: 时域函数f(t)
频域函数F( j)
变量 t
变量
（变量 t、 都是实数）
LT: 时域函数f(t)
设f (t) F (s), 则L[ df (t) ] sF (s) f (0 )
dt
和L[
d
nf dt
(t
n
)
]
s
n
F
(s)
s n1
f
(0
)
f
(n1) (0 )
主要用于研究具有初始条件的微分方程。
L[ df (t) ] sF (s) f (0 )
dt
L[ df
2 (t) ]
s2 F(s) sf
比指数信号增长的更快的信号，如 et2
找不到 0 ，则此信号不存在拉氏变换。
13
凡增长速度不超过指数函数的函数，都有拉
氏变换。我们称这类函数为指数阶函数。即指
数阶函数均可以用乘以一个e t 的方法将其分
散性压下去。 凡指数阶函数都有拉氏变换。
单边拉氏变换的收敛域是：
复平面(s)内，Re(s)=
一、 从傅氏变换到拉氏变换 信号不满足绝对可积条件的原因是
当t 或t 时，f (t)不趋于零 。 若 f (t)不满足狄里赫利条件，为了能获得变换域中
的函数，人为地用一个实指函数 e t去乘 f (t)。
只要 取得合适，很多函数(几乎所有常用的函 数)都可以满足绝对可积的条件。
称 为衰减因子；称 e t 为收敛因子。 6
f
(t )e st dt
7
FT[
f
(t)et ]
F(s)
f
(t )e st dt
其反变换，为 f (t)et 1 F (s)e jt d
2
et不是的函数，故f (t) 1 F (s)e( j)t d
2
F(s)
f
(t)estdt
f (t)
1
j
Fses t d s
2 j j
0 t0 t
f (t t0 )u(t)
1 t0 1 st0
s2 s
s2
0 t0 t
31
例：设
f
(t)
t，则
F (s)
L[
f
(t)]
1 s2
，若 t0
0，试求
(1) f (t t0 ) t t0 (2) f (t t0 )u(t) (t t0 )u(t) (3) f (t)u(t t0 ) tu(t t0 ) (4) f (t t0 )u(t t0 ) (t t0 )u(t t0 ) 的拉氏变换。