新课标2008高考第一轮复习-导数及导数应用(数学)
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（I）求 的最大值；
（II）当 时，设函数 在点 处的切线为 ，若 在点 处穿过函数 的图象（即动点在点 附近沿曲线 运动，经过点 时，从 的一侧进入另一侧），求函数 的表达式．
10．（江苏卷21）已知 是不全为零的实数，函数 ，
．方程 有实数根，且 的实数根都是 的根；反之， 的实数根都是 的根．
的根，因此，根据题意，方程④应无实数根
那么当 ，即 时， ，符合题意
当 ，即 或 时，由方程④得 ，
即 ，⑤
则方程⑤应无实数根，所以有 且
当 时，只需 ，解得 ，矛盾，舍去
当 时，只需 ，解得
因此， 综上所述，所求 的取值范围为
小结：
1、知识点
2、数学思想方法
知识回顾采取归纳总结，教师引导，学生记忆的方法。
5．解： 的定义域为
（Ⅰ）
当 时， ；当 时， ；当 时，
从而， 分别在区间 ， 单调增加，在区间 单调减少
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 在区间 的最小值为
又
所以 在区间 的最大值为
6．本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力
解：（Ⅰ）设 与 在公共点 处的切线相同
， ，由题意 ，
记 ，则 ，
当 时， ， 在 上为增函数，
当 时， ， 在 上为减函数，
所以 时， ，从而 ，所以 在 和 上都是增函数 由（II）知， 时，数列 单调递增，
取 ，因为 ，所以
取 ，因为 ，所以
所以 ，即弦 的斜率随 单调递增
解法二：设函数 ，同解法一得， 在 和 上都是增函数，所以 ， 故 ，即弦 的斜率随 单调递增
（ⅱ）当 ， 时，方程①、②的根都为 ，符合题意
（ⅲ）当 ， 时，方程①的根为 ， ，它们也都是方程②的根，但它们不是方程 的实数根 由题意，方程 无实数根，此方程根的判别式 ，得 综上所述，所求 的取值范围为
（3）由 ， 得 ， ，
③
由 可以推得 ，知方程 的根一定是方程 的根
当 时，符合题意
当 时， ，方程 的根不是方程 ④
（1）求 的值；（3分）
（2）若 ，求 的取值范围；（6分）
（3）若 ， ，求 的取值范围．（7分）
答案
1．本小题主要考查函数的单调性、极值、导数、不等式等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法，考查分类讨论、化归以及数形结合等数学思想方法，考查分析问题、解决问题的能力
解：（Ⅰ）由 得 ，所以
由 得 ，故 的单调递增区间是 ，
（II）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？
8．（湖南理21）已知 （ ）是曲线 上的点， ， 是数列 的前 项和，且满足 ， ， …．
（I）证明：数列 （ ）是常数数列；
（II）确定 的取值集合 ，使 时，数列 是单调递增数列；
（III）证明：当 时，弦 （ ）的斜率随 单调递增．
9.（湖南文21）已知函数 在区间 ， 内各有一个极值点．
（ ）若当 时， 取得极值，求 的值，并讨论 的单调性；
（ ）若 存在极值，求 的取值范围，并证明所有极值之和大于 ．
5．（海南、宁夏文19）设函数
（Ⅰ）讨论 的单调性；
（Ⅱ）求 在区间 的最大值和最小值．
6．（湖北理20）已知定义在正实数集上的函数 ， ，其中 ．设两曲线 ， 有公共点，且在该点处的切线相同．
（I）用 表示 ，并求 的最大值；
（II）求证： （ ）．
7．（湖北文18）某商品每件成本9元，售价为30元，每星期卖出432件，如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值 （单位：元， ）的平方成正比，已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件．
（I）将一个星期的商以 无极值．若 ， ， ， 也无极值．
（ⅲ）若 ，即 或 ，则 有两个不同的实根 ， ．当 时， ，从而 有 的定义域内没有零点，故 无极值．当 时， ， ， 在 的定义域内有两个不同的零点，由根值判别方法知 在 取得极值．综上， 存在极值时， 的取值范围为 ．
的极值之和为
由②－①得 ……③
于是 ……④
由④－③得 ，……⑤
所以 ，即数列 是常数数列
（II）由①有 ，所以 由③有 ， ，所以 ，
而⑤表明：数列 和 分别是以 ， 为首项，6为公差的等差数列，
所以 ， ， ，
数列 是单调递增数列 且 对任意的 成立
且
即所求 的取值集合是
（III）解法一：弦 的斜率为
任取 ，设函数 ，则
解：（Ⅰ） ，
当 时， 取最小值 ，即
（Ⅱ）令 ，
由 得 ， （不合题意，舍去）
当 变化时 ， 的变化情况如下表：
递增↗
极大值
递减↘
在 内有最大值
在 内恒成立等价于 在 内恒成立，即等价于 ，
所以 的取值范围为
3．解析：（1）∵ ， 是方程f(x)=0的两个根 ，
∴ ；
（2） ，
= ，∵ ，∴有基本不等式可知 （当且仅当 时取等号），∴ 同，样 ，……， （n=1,2,……），
10．本小题主要考查函数、方程、不等式的基本知识，考查综合运用分类讨论、等价转化等思想方法分析问题及推理论证的能力
解：（1）设 为方程的一个根，即 ，则由题设得 于是，
，即 所以，
（2）由题意及（1）知 ，
由 得 是不全为零的实数，且 ，
则
方程 就是 ①
方程 就是 ②
（ⅰ）当 时， ，方程①、②的根都为 ，符合题意
9． 解：（I）因为函数 在区间 ， 内分别有一个极值点，所以 在 ， 内分别有一个实根，
设两实根为 （ ），则 ，且 于是
， ，且当 ，即 ， 时等号成立 故 的最大值是16
（II）解法一：由 知 在点 处的切线 的方程是
，即 ，
因为切线 在点 处空过 的图象，
所以 在 两边附近的函数值异号，则 不是 的极值点 而 ，且
二、典例剖析
类型一.利用导数定义求导
例1：用导数定义求：
（1）y=x2在x=2处的导数值；
（2） 在x=1处的导数值.
类型二.利用求导公式求导数
举一反三：
求下列函数的导数
类型三.利用导数求切线方程
例3：已知曲线 ，求：
（1）曲线上与直线y=2x-4平行的切线的方程；
（2）求过点P（0,5）且与曲线相切的切线的方程.
（Ⅲ）设函数 ，求证： ．
2（福建文20）设函数 ．
（Ⅰ）求 的最小值 ；
（Ⅱ）若 对 恒成立，求实数 的取值范围．
3．（广东理21）已知函数 ， 是方程 的两个根（ ）， 是 的导数，设 ， ．
（1）求 的值；
（2）证明：对任意的正整数 ，都有 ；
（3）记 ，求数列 的前 项和 ．
4．（海南、宁夏理21）设函数
若 ，则 和 都是 的极值点
所以 ，即 ，又由 ，得 ，故
解法二：同解法一得
因为切线 在点 处穿过 的图象，所以 在 两边附近的函数值异号，于是存在 （ ）
当 时， ，当 时， ；
或当 时， ，当 时，
设 ，则
当 时， ，当 时， ；
或当 时， ，当 时，
由 知 是 的一个极值点，则 ，
所以 ，又由 ，得 ，故
由 得 ，故 的单调递减区间是
（Ⅱ）由 可知 是偶函数
于是 对任意 成立等价于 对任意 成立
由 得
①当 时， 此时 在 上单调递增
故 ，符合题意
②当 时，
当 变化时 的变化情况如下表：
单调递减
极小值
单调递增
由此可得，在 上，
依题意， ，又
综合①，②得，实数 的取值范围是
（Ⅲ） ，
，
，
由此得，
故
2．本题主要考查函数的单调性、极值以及函数导数的应用，考查运用数学知识分析问题解决问题的能力
即 由 得： ，或 （舍去）
即有
令 ，则 于是
当 ，即 时， ；
当 ，即 时，
故 在 为增函数，在 为减函数，
于是 在 的最大值为
（Ⅱ）设 ，
则
故 在 为减函数，在 为增函数，
于是函数 在 上的最小值是
故当 时，有 ，即当 时，
7．本小题主要考查根据实际问题建立数学模型，以及运用函数、导数的知识解决实际问题的能力
4.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数的导数.
5.会使用导数公式表.
重点难点
导数的概念，导数公式，导数的几何意义。
教法教具
学习材料，PPT，世纪金榜三结合，课前预习，课上引导，课下整理归纳巩固落实。
选好每一道题，讲好每一道题，用好每一道题。
教学内容及过程
可以采取让学生到默写的形式检查落实基础知识。
熟练掌握导数的定义。
和学生一块反思做题方法：先化简再求导。不要拿过来就用积商的法则。
让学生自己练习。
利用导数求切线是考试的重点，应该归纳为三题型：１已知点是切点；２已知点不是切点；３已知直线求切线。
教后感
本讲知识是导数部分的基础，是导数应用的基础，所以这部分显得更为重要，要求学生熟练掌握。有必要可多加课时进行巩固。
课 题
导数及导数运算
课 型
复习课
教案序号
9
授课时间
教学目标
考试说明
1.通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵.
2.通过函数图象直观地理解导数的几何意义.
3.能根据导数定义求函数y=c,y=x,y=x2,
的导数.
举一反三：
1.已知抛物线y=x2+bx+c在点（1,2）处的切线与直线
y=x-2平行，求b,c的值.
2. 已知曲线 ，问曲线上哪一点处切线与直线 y=-2x+3 垂直，并写出这一点处的切线方程.
高考试题回顾
1（福建理22）已知函数
（Ⅰ）若 ，试确定函数 的单调区间；
（Ⅱ）若 ，且对于任意 ， 恒成立，试确定实数 的取值范围；
教学内容及过程
教师、学生活动
一、知识回顾
1.导数
（1）由导数定义求函数在某点处的导数步骤
（1）求函数的增量；
（2）求平均变化率；
（3）取极限，得导数
（2）导函数
2.导数的几何意义
3.几种常见函数的导数
4.函数的和、差、积、商的导数
(u±v)′＝u′±v′ (uv)′＝uv′＋u′v
5.复合函数的导数
解：（Ⅰ）设商品降价 元，则多卖的商品数为 ，若记商品在一个星期的获利为 ，
则依题意有 ，
又由已知条件， ，于是有 ，所以
（Ⅱ）根据（Ⅰ），我们有
2
12
0
0
极小
极大
故 时， 达到极大值 因为 ， ，所以定价为 元能使一个星期的商品销售利润最大
8 解：（I）当 时，由已知得
因为 ，所以 ……①
于是 ……②
（3） ，而 ，即 ，
，同理 ， ，又
4．解：（Ⅰ） ，依题意有 ，故 ．
从而 ．
的定义域为 ，当 时， ；
当 时， ；当 时， ．
从而， 分别在区间 单调增加，在区间 单调减少．
（Ⅱ） 的定义域为 ， ．
方程 的判别式 ．
（ⅰ）若 ，即 ，在 的定义域内 ，故 的极值．
（ⅱ）若 ，则 或 ．
若 ， ， ．
（II）当 时，设函数 在点 处的切线为 ，若 在点 处穿过函数 的图象（即动点在点 附近沿曲线 运动，经过点 时，从 的一侧进入另一侧），求函数 的表达式．
10．（江苏卷21）已知 是不全为零的实数，函数 ，
．方程 有实数根，且 的实数根都是 的根；反之， 的实数根都是 的根．
的根，因此，根据题意，方程④应无实数根
那么当 ，即 时， ，符合题意
当 ，即 或 时，由方程④得 ，
即 ，⑤
则方程⑤应无实数根，所以有 且
当 时，只需 ，解得 ，矛盾，舍去
当 时，只需 ，解得
因此， 综上所述，所求 的取值范围为
小结：
1、知识点
2、数学思想方法
知识回顾采取归纳总结，教师引导，学生记忆的方法。
5．解： 的定义域为
（Ⅰ）
当 时， ；当 时， ；当 时，
从而， 分别在区间 ， 单调增加，在区间 单调减少
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 在区间 的最小值为
又
所以 在区间 的最大值为
6．本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力
解：（Ⅰ）设 与 在公共点 处的切线相同
， ，由题意 ，
记 ，则 ，
当 时， ， 在 上为增函数，
当 时， ， 在 上为减函数，
所以 时， ，从而 ，所以 在 和 上都是增函数 由（II）知， 时，数列 单调递增，
取 ，因为 ，所以
取 ，因为 ，所以
所以 ，即弦 的斜率随 单调递增
解法二：设函数 ，同解法一得， 在 和 上都是增函数，所以 ， 故 ，即弦 的斜率随 单调递增
（ⅱ）当 ， 时，方程①、②的根都为 ，符合题意
（ⅲ）当 ， 时，方程①的根为 ， ，它们也都是方程②的根，但它们不是方程 的实数根 由题意，方程 无实数根，此方程根的判别式 ，得 综上所述，所求 的取值范围为
（3）由 ， 得 ， ，
③
由 可以推得 ，知方程 的根一定是方程 的根
当 时，符合题意
当 时， ，方程 的根不是方程 ④
（1）求 的值；（3分）
（2）若 ，求 的取值范围；（6分）
（3）若 ， ，求 的取值范围．（7分）
答案
1．本小题主要考查函数的单调性、极值、导数、不等式等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法，考查分类讨论、化归以及数形结合等数学思想方法，考查分析问题、解决问题的能力
解：（Ⅰ）由 得 ，所以
由 得 ，故 的单调递增区间是 ，
（II）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？
8．（湖南理21）已知 （ ）是曲线 上的点， ， 是数列 的前 项和，且满足 ， ， …．
（I）证明：数列 （ ）是常数数列；
（II）确定 的取值集合 ，使 时，数列 是单调递增数列；
（III）证明：当 时，弦 （ ）的斜率随 单调递增．
9.（湖南文21）已知函数 在区间 ， 内各有一个极值点．
（ ）若当 时， 取得极值，求 的值，并讨论 的单调性；
（ ）若 存在极值，求 的取值范围，并证明所有极值之和大于 ．
5．（海南、宁夏文19）设函数
（Ⅰ）讨论 的单调性；
（Ⅱ）求 在区间 的最大值和最小值．
6．（湖北理20）已知定义在正实数集上的函数 ， ，其中 ．设两曲线 ， 有公共点，且在该点处的切线相同．
（I）用 表示 ，并求 的最大值；
（II）求证： （ ）．
7．（湖北文18）某商品每件成本9元，售价为30元，每星期卖出432件，如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值 （单位：元， ）的平方成正比，已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件．
（I）将一个星期的商以 无极值．若 ， ， ， 也无极值．
（ⅲ）若 ，即 或 ，则 有两个不同的实根 ， ．当 时， ，从而 有 的定义域内没有零点，故 无极值．当 时， ， ， 在 的定义域内有两个不同的零点，由根值判别方法知 在 取得极值．综上， 存在极值时， 的取值范围为 ．
的极值之和为
由②－①得 ……③
于是 ……④
由④－③得 ，……⑤
所以 ，即数列 是常数数列
（II）由①有 ，所以 由③有 ， ，所以 ，
而⑤表明：数列 和 分别是以 ， 为首项，6为公差的等差数列，
所以 ， ， ，
数列 是单调递增数列 且 对任意的 成立
且
即所求 的取值集合是
（III）解法一：弦 的斜率为
任取 ，设函数 ，则
解：（Ⅰ） ，
当 时， 取最小值 ，即
（Ⅱ）令 ，
由 得 ， （不合题意，舍去）
当 变化时 ， 的变化情况如下表：
递增↗
极大值
递减↘
在 内有最大值
在 内恒成立等价于 在 内恒成立，即等价于 ，
所以 的取值范围为
3．解析：（1）∵ ， 是方程f(x)=0的两个根 ，
∴ ；
（2） ，
= ，∵ ，∴有基本不等式可知 （当且仅当 时取等号），∴ 同，样 ，……， （n=1,2,……），
10．本小题主要考查函数、方程、不等式的基本知识，考查综合运用分类讨论、等价转化等思想方法分析问题及推理论证的能力
解：（1）设 为方程的一个根，即 ，则由题设得 于是，
，即 所以，
（2）由题意及（1）知 ，
由 得 是不全为零的实数，且 ，
则
方程 就是 ①
方程 就是 ②
（ⅰ）当 时， ，方程①、②的根都为 ，符合题意
9． 解：（I）因为函数 在区间 ， 内分别有一个极值点，所以 在 ， 内分别有一个实根，
设两实根为 （ ），则 ，且 于是
， ，且当 ，即 ， 时等号成立 故 的最大值是16
（II）解法一：由 知 在点 处的切线 的方程是
，即 ，
因为切线 在点 处空过 的图象，
所以 在 两边附近的函数值异号，则 不是 的极值点 而 ，且
二、典例剖析
类型一.利用导数定义求导
例1：用导数定义求：
（1）y=x2在x=2处的导数值；
（2） 在x=1处的导数值.
类型二.利用求导公式求导数
举一反三：
求下列函数的导数
类型三.利用导数求切线方程
例3：已知曲线 ，求：
（1）曲线上与直线y=2x-4平行的切线的方程；
（2）求过点P（0,5）且与曲线相切的切线的方程.
（Ⅲ）设函数 ，求证： ．
2（福建文20）设函数 ．
（Ⅰ）求 的最小值 ；
（Ⅱ）若 对 恒成立，求实数 的取值范围．
3．（广东理21）已知函数 ， 是方程 的两个根（ ）， 是 的导数，设 ， ．
（1）求 的值；
（2）证明：对任意的正整数 ，都有 ；
（3）记 ，求数列 的前 项和 ．
4．（海南、宁夏理21）设函数
若 ，则 和 都是 的极值点
所以 ，即 ，又由 ，得 ，故
解法二：同解法一得
因为切线 在点 处穿过 的图象，所以 在 两边附近的函数值异号，于是存在 （ ）
当 时， ，当 时， ；
或当 时， ，当 时，
设 ，则
当 时， ，当 时， ；
或当 时， ，当 时，
由 知 是 的一个极值点，则 ，
所以 ，又由 ，得 ，故
由 得 ，故 的单调递减区间是
（Ⅱ）由 可知 是偶函数
于是 对任意 成立等价于 对任意 成立
由 得
①当 时， 此时 在 上单调递增
故 ，符合题意
②当 时，
当 变化时 的变化情况如下表：
单调递减
极小值
单调递增
由此可得，在 上，
依题意， ，又
综合①，②得，实数 的取值范围是
（Ⅲ） ，
，
，
由此得，
故
2．本题主要考查函数的单调性、极值以及函数导数的应用，考查运用数学知识分析问题解决问题的能力
即 由 得： ，或 （舍去）
即有
令 ，则 于是
当 ，即 时， ；
当 ，即 时，
故 在 为增函数，在 为减函数，
于是 在 的最大值为
（Ⅱ）设 ，
则
故 在 为减函数，在 为增函数，
于是函数 在 上的最小值是
故当 时，有 ，即当 时，
7．本小题主要考查根据实际问题建立数学模型，以及运用函数、导数的知识解决实际问题的能力
4.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数的导数.
5.会使用导数公式表.
重点难点
导数的概念，导数公式，导数的几何意义。
教法教具
学习材料，PPT，世纪金榜三结合，课前预习，课上引导，课下整理归纳巩固落实。
选好每一道题，讲好每一道题，用好每一道题。
教学内容及过程
可以采取让学生到默写的形式检查落实基础知识。
熟练掌握导数的定义。
和学生一块反思做题方法：先化简再求导。不要拿过来就用积商的法则。
让学生自己练习。
利用导数求切线是考试的重点，应该归纳为三题型：１已知点是切点；２已知点不是切点；３已知直线求切线。
教后感
本讲知识是导数部分的基础，是导数应用的基础，所以这部分显得更为重要，要求学生熟练掌握。有必要可多加课时进行巩固。
课 题
导数及导数运算
课 型
复习课
教案序号
9
授课时间
教学目标
考试说明
1.通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵.
2.通过函数图象直观地理解导数的几何意义.
3.能根据导数定义求函数y=c,y=x,y=x2,
的导数.
举一反三：
1.已知抛物线y=x2+bx+c在点（1,2）处的切线与直线
y=x-2平行，求b,c的值.
2. 已知曲线 ，问曲线上哪一点处切线与直线 y=-2x+3 垂直，并写出这一点处的切线方程.
高考试题回顾
1（福建理22）已知函数
（Ⅰ）若 ，试确定函数 的单调区间；
（Ⅱ）若 ，且对于任意 ， 恒成立，试确定实数 的取值范围；
教学内容及过程
教师、学生活动
一、知识回顾
1.导数
（1）由导数定义求函数在某点处的导数步骤
（1）求函数的增量；
（2）求平均变化率；
（3）取极限，得导数
（2）导函数
2.导数的几何意义
3.几种常见函数的导数
4.函数的和、差、积、商的导数
(u±v)′＝u′±v′ (uv)′＝uv′＋u′v
5.复合函数的导数
解：（Ⅰ）设商品降价 元，则多卖的商品数为 ，若记商品在一个星期的获利为 ，
则依题意有 ，
又由已知条件， ，于是有 ，所以
（Ⅱ）根据（Ⅰ），我们有
2
12
0
0
极小
极大
故 时， 达到极大值 因为 ， ，所以定价为 元能使一个星期的商品销售利润最大
8 解：（I）当 时，由已知得
因为 ，所以 ……①
于是 ……②
（3） ，而 ，即 ，
，同理 ， ，又
4．解：（Ⅰ） ，依题意有 ，故 ．
从而 ．
的定义域为 ，当 时， ；
当 时， ；当 时， ．
从而， 分别在区间 单调增加，在区间 单调减少．
（Ⅱ） 的定义域为 ， ．
方程 的判别式 ．
（ⅰ）若 ，即 ，在 的定义域内 ，故 的极值．
（ⅱ）若 ，则 或 ．
若 ， ， ．