洛朗级数展开习题精讲PPT课件

注意
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1 2
n0
z n 2
(1)n
n1
2 z2n
作业题的错误集中在后半边的展开，特别是
原因应该是没有熟练掌握已有的展开
用到已有的展开：
1
zn (在0 z 1泰勒展开)
1 z n0
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例2 将函数在指定去心领域内展成洛朗级数 并指出收敛范围 1
e1z , z 1及z
e2
等的展开，继续计算展开相乘得结果
1 2 3
26
1
1 z
1 2z2
1 6z3
(1 z 是以z 0为中心z 的去心领域)
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1
例 把 f z z3ez在 0 z 内展成洛朗级数。
解
f
z
z3
1
1 z
1 2! z2
1 3! z3
z3 z2 z 1 1
2! 3! 4! z
谢谢您的观看！
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| | R 1
R2
| z z0 | R2，R2 0
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由此，我们可以用它的正幂项级数和负幂项级数的敛散性来定义原级数的敛 散性。 规定：当且仅当正幂项级数和负幂项级数都收敛时，原级数收敛，并且把原 级数看成是正幂项级数与负幂项级数的和。 讨论： (1)若R1<R2，则双边幂级数处处发散， (2)若R1>R2，则双边幂级数就在R2<|z-z0|<R1环状区域内收敛，环状收敛域 称为收敛环。 双边幂级数在收敛环内绝对且一致收敛，在环外发散，在环上敛散性不定。
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ln(1 z) z 1 dz z (1)n zndz
0 1 z
0 n0
(1)n zn1 , z 1
n0
n 1
(1 z)m 1m m 1m z m(m 1) 1m z2
1!
2!
m(m 1)(m 2) 1m z3 3!
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初等函数在指定圆环内的洛朗级数,直接利用公式只是个别情况!
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附录：常见函数泰勒展开
ez 1 zk 1 1 z 1 z2 1 z3 ...
k0 k !
1! 2! 3!
sin z z z3 z5 z7 1! 3! 5! 7!
cos z 1 z2 z4 z6 2! 4! 6!
定理2：设双边幂级数
f (z) ak (z z0 )k
的收敛环B为R2<|z-z0|<R1，则f(z)
k
(1) 在B内连续；
(2) 在B内解析，且逐项可导；
(3) 在B内可逐项积分。
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定理3：设函数f(z)在环状区域R2<|z-z0|<R1的内 部单值解析，则对于环内任一点z，f(z)
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正则部分
ak (z 主z0要)k部分
k 0
1
z z0
ak (z z0 )k
k 1
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收敛环 R2<|z-z0|<R1
双边幂级数的性质
定理1：双边幂级数
ak (z z0 )k
在收敛环上的和函数是一解析函k 数，并且在任意较
小的闭圆环上
一致收敛。
R2 R2 | z z0 | R1 R1
|
)
用1-z去换上式中的z得到：
1
e1 z
k 0
1
1
k
k ! 1 z
1 1 1 1!1 z
11 2! (1 z)2
1 3!
1 (1 z)3
...(|
1 1
z
|
)
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即
1
e1 z
k 0
11 k ! (1 z)k
(0 |1
z |
)
(0 | z | 既是z 1的去心领域， 又是以z 1为中心点的去心领域)
§3.5 洛朗(Laurent)级数展开
已知：当f(z)在圆|z-z0|<R内解析时，Taylor定理告诉我们， f(z)可展开 成幂级数。 问题的提出 为了研究函数在奇点附近的性质，需要函数在孤立奇点z0邻域上的展开式。 考虑：当f(z)在圆|z-z0|<R内有奇点时，能否展开成幂级数或展开成类似 于幂级数的形式。
应当指出,根据定理公式直接求一个函数的洛朗级数是很困难的 必须计算无穷多个积分才能得到,而不能像泰勒级数通过求导得 到,但是根据洛朗级数的唯一性,可以利用已知函数如
ez ,sin z, cos z, ln1 z, 1 zm (m 1) 等的泰勒展开式和幂级数
的运算,特别是代数运算,变量代换,求导和积分等方法求一些
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教学目的与要求: 了解双边幂级数,了解洛朗级数与泰勒级数的关系,掌握解析函数 在孤立奇点邻域内的洛朗展式的求法. 重点: 解析函数的洛朗展式;解析函数在孤立奇点邻域内的洛朗展式的求法. 难点：解析函数的洛朗展式的证明.
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一、双边幂级数(含有正、负幂项)
ak (z z0 )k
ak (z z0 )k
k 1
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收敛区域(环)的确定：
正则部分 区域为： 负幂部分
令 则
收敛(圆)
ak (z z0 )k
k 0
| z z0 | R1 (0 R1 ) ak (z z0 )k k 1
设 →1
即负幂部分在|zz-z0z|0=R2的圆外收敛。
a1 a2 2 a3 3 ...
必可展开成
，其中
f (z) ak (z z0 )k k
ak
1
2i
C
(
f
( )
z0 )k 1
d
称为洛朗系数，C为环域内按逆时针方 向绕内圆一周的任一闭合曲线(也可取 圆周)
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几点说明：
(1) z=z0(即展开中心)可能不是f(z)的奇点，但 在|z-z0|≤R2上，存在奇点(即内圆以内存在 奇点)；
k
... ak (z z0 )k ... a2 (z z0 )2 a1(z z0 )1
a0 a1(z z0 ) a2 (z z0 )2 ... ak (z z0 )k ...
其中
正幂部分称为 负幂部分称为
解析(正则)部分，
主ak要(z(无限z)0部)k分。
k 0
我们知道
e在原点z 邻域上的展开式为
ez 1 zk 1 1 z 1 z2 1 z3 ...(| z | )
k0 k!
1! 2! 3!
把z全换成1/z,可得到以下结果:
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1
ez
k 0
1
1
k
k ! z
1 1 1 1! z
1 2!
1 z2
1 3!
1 z3
...(|
1 z
以上每项分别是等的展开继续计算展开相乘得结果20应当指出根据定理公式直接求一个函数的洛朗级数是很困难的必须计算无穷多个积分才能得到而不能像泰勒级数通过求导得到但是根据洛朗级数的唯一性可以利用已知函数如等的泰勒展开式和幂级数的运算特别是代数运算变量代换求导和积分等方法求一些初等函数在指定圆环内的洛朗级数直接利用公式只是个别情况
(2) 洛朗系数
，因为
成立的条件是f(z)a在kC内解f析(k；k) (!z0 )
(3)
洛朗展开的唯f 一(k性) (；z0 )
k!
2i
C
(
f ( )
z0 )k 1
d
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(4) 如果只有环心z0是f(z)的奇点，则内圆半径可以任意小，同时z可以无限地 接近z0点，这时就称
(奇k不点可。a微k若或(在z无为z0意无fz(义0z论)))在多k，它么而的小在孤的去立邻心奇域邻点内域z，00<的总|z邻有-z域除0|内z<0ε的外内洛的解朗奇析展点，开，则式则称。称z=若zz00为f是(zff()(z在z))的z的0不非孤解孤立析立
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例1 求函数
f
z
Байду номын сангаас
z2 2z 5 (在z 圆2环)(z2 1)
1 | z | 2
的洛朗级数。
解 在圆环1 | z | 2内| z | 1, 1 1于是有洛朗级数
2
z2
f
z
z
1
2
2 z2 1
1 2
1 1 z
/
2
2 z2
1 1 z2
1 2
n0
z
n
2
(1)n
n0
2 z2n2
奇点。 泰勒级数在其收敛圆内具有的许多性质在收敛圆环域R2<|z-z0|<R1内的洛朗级数 也具有。 在收敛圆环域内的洛朗级数可以逐项求导、逐项积分、和函数是解析函数。
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求洛朗展开式的系数Cn C 洛朗展开式的系数 n用公式计算是很麻烦的， 由洛朗级数的唯一性，我们
可用别的方法，特别是代数运算、代换、求导和积分等方法展开，这样往往 更便利(即间接展开法) 。 同一个函数在不同的收敛圆环域内的洛朗级数一般不同；由洛朗级数的唯一 性可知，同一个函数在相同的收敛圆环域内的洛朗级数一定相同。
k0 k !
1! 2! 3!
所以
e e * e * e (1 2 ...) 2
2
3 2
（1- 2 - 3 4 5 ）*
2 3! 4! 5!
（1- 2 4 ）*（1- 3 ）
2
2
*（1- 3 ）*（1- 5 ）
3!
5!
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注：以上每项分别是
e
,
e
2
,
3
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当（1 z ）时
令 1 可得0 1
z
则
e e e 1 1 z
1
(1 2 ...)
2
用到的已知的展开：
注意
1
zn (在0 z 1泰勒展开)
1 z n0
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我们知道
e在原z点邻域上的展开式为
ez 1 zk 1 1 z 1 z2 1 z3 ...