大学物理第2章_质点动力学_知识框架图和解题指导和习题

第2章 质点动力学
一、基本要求
1．理解冲量、动量，功和能等基本概念；
2．会用微积分方法计算变力做功，理解保守力作功的特点；
3．掌握运用动量守恒定律和机械能守恒定律分析简单系统在平面内运动的力学问题的思想和方法。

二、基本内容
（一）本章重点和难点：
重点：动量守恒定律和能量守恒定律的条件审核、综合性力学问题的分析求解。

难点：微积分方法求解变力做功。

（二）知识网络结构图：
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎪
⎪⎪⎨⎧⎪
⎪⎩⎪⎪⎨
⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨
⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧公式只有保守内力做功
条件能量守恒定律公式合外力为条件动量守恒定律守恒定律动能定理动量定理基本定理能功冲量动量基本物理量)()0(
（三）容易混淆的概念： 1.动量和冲量
动量是质点的质量与速度的乘积；冲量是合外力随时间的累积效应，合外力的冲量等于动量增量。

2.保守力和非保守力
保守力是做功只与始末位置有关而与具体路径无关的力，沿闭合路径运动一周保守力做功为0；非保守力是做功与具体路径有关的力。

(四)主要内容： 1．动量、冲量 动量：p mv = 冲量：⎰
⋅=
2
1
t t dt F I
2．动量定理：
质点动量定理：⎰∆=-=⋅=21
1
2t t v m P P dt F I
质点系动量定理：dt
P
d F
=
3．动量守恒定律：
当系统所受合外力为零时，即0=ex F
时，或in
ex F F
系统的总动量保持不变，即：∑===n i i i C v m P 1
4．变力做功：
dr F r d F W B
A
B A
⎰
⎰=⋅=θcos （θ为)之间夹角与r d F
直角坐标系中：
)d d d ( z F y F x F W z y B
A
x ++=⎰
5．动能定理：
（1）质点动能定理：
k1k221222121E E mv mv W -=-=
（质点所受合外力做功等于质点动能增量。

）
（2）质点系动能定理:
∑∑==-=+n
i n i E E W W
1
kio
1
ki in
ex
（质点系所受外力做功和内力做功之和等于质点系动能增量。

）
6．保守力、势能、功能原理：
（1）保守力：做功只与始末位置有关，与经历的路径无关的力
（2）重力势能：
mgh E =P ，地面为势能零点
（3）弹簧的弹性势能：
2P 21kx E =
，弹簧原长处为势能零点
（4）万有引力势能：r m
m G
E 'P -=，m '与m 相距无限远处∞=r 为势能零点
（5）功能原理：0ex
in nc W
W E E +=-
7．机械能守恒定律：
当作用于质点系的外力和非保守内力不作功（或只有保守内力做功）时，即：当
in
nc ex =+W W 时，质点系的总机械能是守恒的：
0E E =
（五）思考问答：
问题1假使你处在摩擦可略去不计的覆盖着冰的湖面上，周围又无其他可资利用的工具，你怎样依靠自身的努力返回湖面呢？
答：此题应了解动量守恒定律。

当系统所受外力可以忽略时，系统的动量保持不变。

当人处于摩擦可以略去不计的冰面上，周围又无其他可以利用的工具时，初始动量为零，可向背离湖岸的方向扔一自身携带的物体，从而使人获得朝向湖岸的动量。

问题 2 质点的动量和动能是否与惯性系的选取有关？功是否与惯性系有关？质点的动量定理和动能定理是否与惯性系有关？请举例说明。

答：设一小车在水平面上，以速度u
匀速运动，小车内有一
小球，相对于小车沿u
的方向运动，如图所示。

在小车和地面上分别建立惯性坐标系S '和S ，则小球在S '系和S 系中的速度分别为v 和v ，u v v
+'=。

小球在S '系和S 系中的加速度分别为a '和a ，a a ='。

它在两坐标系的位移分别为x '和x ，ut x x +'=。

①由于小球的速度与S '系和S 系有关，故动量v m P
=与惯性系有关。

②显然，动能E k =
2
21mv 与惯性系有关。

③由于⎰⋅=r d F W
，故S '系中⎰='''dx F W ，S 系中;⎰=Fdx W 因为a a =',所以
F a m ma F '='==,于是⎰⎰⎰⎰+=+=+=''''''')''('dt F u W dt F u dx F ut x d F W ，所以功
也与惯性系有关。

④设在惯性系S '中动能定理成立，即k E W ''∆=，则在惯性系S 中，⎰+'=''dt F u W W ，()()()()仍与惯性系有关。

与惯性系无关。

但数值即质点的动能定理形式所以因为⎰∆=-=-=-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-+=-=∆,,'''','2
1'21','21'21'21''21212102
020*********K k E W mv mv u dt F u mv mv W mv mv u mv mv u v m v m mv mv E μ
问题3 把物体抛向空气中有哪些力对它做功？这些力是否都是保守力？
答：把物体抛向空气中，通常物体受到重力、空气阻力和浮力的作用。

但是浮力作用很小而被忽略；重力对物体做功，是保守力。

空气阻力方向与运动方向相反，对物体做负功，且做功与路径有关，所以空气阻力为非保守力。

问题4 在弹性碰撞中，有哪些量保持不变？在非弹性碰撞中，又有哪些量保持不变？ 答：在弹性碰撞中，动能不变，动量守恒；在非弹性碰撞中，动量守恒，动能不守恒。

问题5 动量的大小和方向与参考系有关吗？冲量的大小和方向与参考系有关吗？ 答：物体的质量与速度的乘积为某时刻物体的动量，因速度与参考系的选取有关，所以动量的大小和方向与参考系的选取有关。

冲量是描述力对时间积累的物理量，物体间相互作用力和作用时间与参考系的选取无关,因此冲量的大小和方向与参考系的选取无关。

问题6 动量定理的数学表达式是
()⎰
∑∑∑-=2
1
12
t t i i i i i v m v m dt F
，如果 ()⎰
∑=2
10t t i dt F ，则∑∑=12i i i i v m v m
，为什么守恒条件是∑=0i F ，而不是
()⎰∑=2
1
0t t i
dt F
答：动量守恒是指系统在运动过程中的每一时刻，系统内各质点动量的矢量和不变。

如果
()⎰
∑=2
1
0t t i dt F
,系统在整个运动过程的冲量为零,只能说明系统初末两个状态的动量相等,
但不能保证系统在这段时间内的任一时刻的总动量都恒定不变。

因此,这不是动量守恒的条件。

我们知道，如果∑=0i F ，则
()
0=∑dt
v m d i i。

此式表示系统总动量不随时间的变化而变化,保持一恒矢量(守恒),因此系统动量守恒的条件是合外力为零,即∑=0i
F。

三、解题方法
1．已知质点运动所受外力与时间函数式，求末速度或速度增量，应用动量定理求解。

2．已知质点运动所受外力与位置函数式，求末速度或速度增量，应用动能定理求解。

3．综合问题：碰撞
物体发生碰撞时：动量或角动量守恒。

完全弹性碰撞：动量守恒，机械能守恒； 非弹性碰撞：动量守恒，机械能有损失不守恒；
完全非弹性碰撞：动量守恒，机械能有损失不守恒，但碰撞后物体以同一速度运动。

四、解题指导
1．动量定理的应用
一质量为kg m 2=的质点在力()()N t F x 32+=作用下由静止开始运动，若此力作用在质点上的时间为s 2，则该力在这s 2内冲量的大小多少？质点在第s 2末的速度大小为多少。

【分析】：此题是物体受变力作用求冲量大小，用冲量定义式来计算；求速度大小用动量定理来计算。

根据冲量定义：()()Ns dt t dt F I t t 10322
2
1
⎰⎰
=⋅+=⋅=
根据动量定理：⎰∆=-=⋅=21
1
2t t v m P P dt F I
()s m v v v m I /5)(212=→-=
2．变力做功的应用
一长方形地下蓄水池，面积为100m 2
，池水深1m ，池中水面在地面下2m 处，今需将池水全部抽到地面，抽水机应作功多少？
2 3 x
dy y s
【分析】：用微积分法计算直线运动情况下的变力做功。

解：以地面为坐标原点，取图示oy 轴，水池中离地面为y 处，厚度为dy 的这一层水，抽到地面上需作功：
mgy W d d =，其中y s m d d ρ=，式中ρ
为水的密度，所以抽完水需
作功。

（用积分法计算直线运动情况下的变力做功）
以地面为坐标原点，取图示oy 轴，水池中离地面为y 处，厚度为dy 的这一层水，抽到地面需做功；dW dmgy =其中dm sdy ρ=，所以：
2
1
222161
()2
2.4510h h W dW sgydy
sg h h J ρρ===
-=⨯⎰⎰
3．功能原理的应用：
一倔强系数为k 的轻质弹簧，一端固定，另一端系一质量为m 的小球，放在桌面上，如图，此时弹簧处于自然状态，设小球具有水平向右的速度0v ，球与桌面的摩擦系数为u 。

求小球向右运动的最大位移为多少？
（系统受四个力作用，重力、桌面支持力、弹力和摩擦力，重力和支持力不做功，弹力为保守内力，只有摩擦力做功） 根据功能原理： 0ex
W
E E =-
初状态只有动能：20012E mv =
末状态只有势能：21
2E kl = （l 为最大位移） 因此有： 22011
22
umgl kl mv -=
- 则： 2022(11)kv umg
l k u mg =+-
4．综合练习：动量守恒，机械能守恒
劲度系数为k 的轻弹簧竖直固定在地面上，在弹簧上放一质量为m 的平板，处于静平衡状态。

有一质量也为m 的油泥从平板上高h 处自由下落，与平板作完全非弹性碰撞，求碰撞后弹簧又被压缩的最大距离为多少？
【分析】：将整个过程分为三阶段：油泥下落过程自由落体、油泥与平板完全非弹性碰撞过程动量守恒和油泥平板压缩弹簧过程机械能守恒。

解：油泥自由下落过程：
油泥和地球组成的系统，只有保守内力作功系统机械能守恒，则下落到平板时油泥速率为0v ，有：
22102
0gh v mgh mv == (1)
油泥与平板相碰撞过程中，油泥和平板组成的系统动量守，则有：
0)(mv v m m =+
所以，油泥和平板相碰后共同具有速率：
20gh
v m
m m
v =+=
(2)
油泥和平板压缩弹簧过程中，油泥、平板、弹簧和地球组成的系统，只有保守内力作功，系统的机械能守恒，即：
21E E =
若以弹簧自然长度处为弹性势能零点，以平板与弹簧处于静平衡位置为重力势能零点，则有：
gx
m m x x k E v m m kx E )()(21
)(21
212022201+-+=++=
所以：gx
m m x x k v m m kx )()(21
)(212120220+-+=++ (3)
式中x 为弹簧再次压缩的最大距离，式中
k mg
x =
0，将0x 值，式（2）代入式（3）得：
h k mg
k mg k mg x )()(2++=
五、能力训练
1．质量分别为m 和4m 的两个质点分别以k E 和k E 4的动能沿一直线相向运动，它们的总动量的大小为（ B ）
（A ）
k
22mE （B ）
k
23mE （C ）
k
25mE （D ）
k
2)122(mE -
2．一质量为kg 10的物体在力)()40120(SI i t f
+=的作用下，沿x 轴运动，初速度
),/(60s m i v
=则s 3时速度为（ C ）s m /。

（A ）i
10 （B ）i 66 （C ）i 72 （D ）i 4-
3．一质量为g 20的子弹沿X 轴正方向以s m /500的速度射入一木块后，与木块一起仍沿X 正方向以s m /50的速率前进，在此过程中木块所受冲量为（ A ）s N ⋅。

（A ）9 （B ）-9 （C ）10 （D ）-10
4．一质点质量为kg 10，受方向不变的力：34()F x N =+作用，从原点由静止出发沿X 轴运动了2米，则此过程中该力做功为（ ）。

（A ）10J （B ）12J （C ）16J (D)14J
5．长度为
R 的细绳一端固定（绳子的质量和伸长均忽略不计），另一端系一质量为m 的物体，若在最低点给物体一个初速度，使其恰好能在竖直平面内完成一次圆周运动，则初速度最小值为（ ）。

（A 1- （
B 1- （
C ）1- （
D 1-
6.有两个倾角不同、高度相同，质量相同的斜面置于光滑的水平面上，斜面也是光滑的，有两个一样的小球，从这两斜面顶点，
由静止开始下滑，则（ ） 题6图
m 0v
（A ）两小球到达斜面底端时的动量相等 （B ）两小球到达斜面底端时的动能相等 （C ）小球和斜面组成的系统的动量守恒
（D ）小球和斜面组成的系统在水平方向上的动量守恒
7.一圆锥摆的摆球在水平面上作匀速圆周运动。

如图所示，已知摆球质量为m ，圆半径为R ，摆球速率为v ，当摆球在轨道上运动一周时，作用在摆球上重力冲量的大小为⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽。

8.一个原来静止在光滑水平面上的物体，突然分裂为
21 ,m m 和3m 三块，且以相同的速率沿三个方向在水平面 题8图
上运动。

各运动方向之间的夹角如图所示，则三块物体的质量之比321: :m m m =⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽。

9.一倔强系数为k 的弹簧，甲将弹簧从平衡位置拉长l ,乙又继甲后，再将弹簧拉长2
3
l ，则甲作功为（ ），乙作功为（ ）。

10.质量为m 千克的炮弹，沿水平飞行，其动能为E ，突然在空中爆炸成质量相等的两块，其中一块向后，动能为
2
E
，另一块向前，其动能为（ ）。

11.一个人从10m 深的井中，把10kg 的水匀速地提上来。

由于桶漏水，桶每升高1m 漏0.2kg 的水，问把水从井中提到井口，人所作的功。

()gdx x w ⎰-=
100
2.010
12.体重为50千克的演员，在进行走钢丝绳练习时，不慎跌下，由于弹性安全带的保护使他不致受伤。

已知安全带长5米，一端系在钢丝上，一端系在演员身上，弹性缓冲时间为1秒，试求安全带给演员的平均作用力为多大？（2
/10s m g =）
13.有一物体与斜面间的摩擦系数为2.0，斜面的倾角为0
45，设物体以s m /10的速率沿斜面上滑，求物体
能达到的高度。

当物体返回最低点时，其速率又为多少？ 题14图
v 1
14.质量为1m 和2m 的物体以倔强系数为k 的轻弹 簧相连，置于光滑水平桌面上，最初，弹簧自由伸长，一质量为0m 的子弹以速度0v 沿水平方向射入1m 内，问弹簧压缩的最大量为多少？
15．质量均为m 的两个小球的固定在弯程1200角的绝缘轻杆两端，OA 和OB 的长度均为l ，可绕过O 点且与纸面垂直的水平轴无摩擦转动，空气阻力不计。

设A 球带正电，B 球带负
电，电量均为q ，处在竖直向下的匀强电场中。

开始时，杆OB 与竖直方向的夹角O 600=θ，
由静止释放，摆动到O
90=θ得位置时，系统处于平衡状态。

求： (1)匀强电场的场强大小E ；
(2)系统由初位置运动到平衡位置，重力做的功g W 和静电力作的功e W ；
(3)B 球在摆动到平衡位置时的速度的大小v 。

16．一质量为10kg 的质点在力F 的作用下沿x 轴作直线运动，已知F=120t +40，式中F 的单位为N ，t 的单位为s 。

在t =0时，质点位于x=5.0m 处，其速度v 0=6.0m ⋅s 1
-。

求质点
在任意时刻的速度和位置。

17．轻型飞机连同驾驶员总质量为kg 3
100.1⨯。

飞机以s m /0.55的速率在水平跑道上着陆后，驾驶员开始制动，若阻力与时间成正比，比例系数α=5.0⨯102N ⋅s ，空气对飞机的升力不计。

求：（1）10s 后飞机的速率；（2）飞机着陆后10s 内滑行的距离。

18．t F x 430+=的合外力作用在质量kg m 120=的物体上，（SI 制）试求：（1）在开始2s 内该力的冲量I ；（2）若冲量Ns I 300=，此力作用的时间；（3）若物体的初速度s m v /101=且方向与x F 相同，在s t 86.6=时，此物体的速度2v 。

19．质量为m 的小球，在力kx F -=作用下运动，已知t A x ωcos =，其中：k ，ω，A 均为正常量。

求：在0=t 到ω
π
2=
t 时间内小球运动量的增量。

20．A 、B 两船在平静的湖面上平行逆向航行当两船擦肩相遇时，两船各自向对方稳地传递50kg 的重物，结果是A 船停了下来，而B 船则以3.4m ⋅s
1
-的速度继续向前驶去。

A 、B 两
船包括重物时的质量分别为0.5⨯103
kg 和1.0⨯103
kg ，求在传递重物前两船的速度。

（忽略水对船的阻力）
21．一物体在介质中按规律x=ct 3
作直线运动，c 为一常量，设介质对物体的阻力正比于速度的平方。

试求物体由x 0=0运动到x=l 时，阻力所作的功。

（已知阻力系数为k ）
22．以质量为m 的弹丸，穿过如图所示的摆锤后，速率由v 减少到2
v 。

已知摆锤的质量为m '，摆线长度为l ，如图摆锤能在垂直平面内完成一个完全的圆周运动，弹丸的速度的最小值应为多少？
五、参考答案
1．B ；
2.C ；
3.A ；
4.D ；
5.D ；
6.D ；
7.2R mg v
π； 8.131:
2； 9.212kl ， 289
kl ； 10.92
E ； 11. 882J ；
12. 500F N =；
13.s m v m h /16.8,25.4==； 14.10120
111()l mv k m m m m m =-+++ 15. (1)力矩平衡时 ()()()o o O l qE mg l qE mg 90120sin 90
sin -+=- ()qE mg qE mg +=-2
1 q mg E 3=； （2）重力做功 ()mgl mgl mgl W o o o g ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--=12360
cos 60cos 30cos 静电力做功 ()mgl qEl qEL W o o o e 6360cos 60cos 30cos =
+-=； 题22图
（3）小球动能的改变量： mgl Wc Wg E K ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=+=∆1332； 16．2646t t v ++=，322265t t t x +++=； 17．202t m v v α
-=，m t m t v x x s 4676300=-=-=α
；
18．（1）Ns I 68=；（2）s t 86.6=；（3）s m v /402=； 19．ωkA
I P -==∆；
20．s m v s m v B A /6.3,/40.0=-=；
21．37
32727
l kc W -=；
22．gl m m v 52min '
=。