2021-2022年高考数学 不等式 专题复习教案 苏教版

2021年高考数学 不等式 专题复习教案 苏教版
一、知识回顾
不等式是刻画现实世界中不等关系的数学模型，是解决许多实际问题的重要工具，在高考中属主体内容.以考查不等式的解法和最值方面的应用为重点，多数情况是在函数、数列、几何、实际应用题等综合型试题中考查，在考试说明中考查要求也比较高
1．解某些不等式要与函数的定义域、值域、单调性联系起来，含参数的不等式可分类讨论．
2．利用基本不等式时要注意不等式运用的条件．
3．要强化不等式的应用意识，同时要注意到不等式与函数和方程的对比与联系，充分利用函数方程思想、数形结合的思想处理问题．
4．利用线性规划解决问题时应力求画图准确． 二、例题精讲
例1．设若是与的等比中项，则的最小值为__________. 解析: 因为，所以，
1111()()222
4b a b a b a b a b a b
a +=++=+++=，当且仅当即时“=”成立,故最小值为.
练习 1.若直线10(0,0)ax by a b ++=>>经过圆的圆心,则的最小值为__________________.
例2．已知关于的不等式的解集为,则的解集为________________. 解析：由的解集为知,为方程的两个根,由韦达定理得,解得, ∴即,其解集为.
练习2.已知不等式的解集为,试用表示不等式的解集. 例3．已知且，则的取值范围为_________________.
解析：设23()()()()a b x a b y a b x y a x y b +=++-=++-，
∴,
解得52
12
x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
∴55151
(),2()12222a b a b -<+<-<--<-
∴95113
()()2222
a b a b -<+--<， 即.
错解：解此题常见错误是：－1＜a +b ＜3， ① 2＜a －b ＜4. ② ①+②得1＜2a ＜7. ③ 由②得－4＜b －a ＜－2. ④ ①+④得－5＜2b ＜1，∴－＜3b ＜. ⑤
③+⑤得－＜2a +3b ＜.
另:本题也可用线性规划来解.
练习3. 函数满足：1
(1)
2,2
(1)
4f f -，求的取值范围为
____________________．
例4．某种饮料分两次提价，提价方案有三种，方案甲是：第一次提价，第二次提价 ；方案乙是：第一次提价，第二次提价；方案丙是：每次提价 .如果,那么提价最多的是方案
解析：设原价为1，两次提价后的价格为 则：
易证：，方案丙提价最多.
练习4.（1）甲、乙两人两次在同一个粮店购买粮食（设两次单价不同），甲每次购买粮食100kg, 乙每次用100元购买粮食.若规定,谁两次购粮的平均单价低,谁的购粮方式就合算,则两人购粮方式更合算的是__________________. （2）克盐水中，有克盐（），若再添加克盐（）则盐水就变咸了，试根据这一事实提炼一个不等式 ___________.
例5．（1）设为正实数，满足，则的最小值是__________. （2）如果正数满足，那么的取值范围是____________.
解析：（1）
22(3)(23)34y x z xz xz xz
+∴=
=,即的最小值为. （2）由题设，.
又
2
3(1)5(1)44
(1)5
111
b b b
ab b b
b b b
+-+-+
=⋅==-++ ---
，
4
(1)2(1)4
1
b b
b
∴-+-=
-
.
或解::230
⇒-
练习5.（1）已知（为常数），，，若的最小值为，求的值．（2）若, 且, , 则的最大值是_______.
例6．解关于的不等式：
解析：
当
当
当
当
当
当
练习6. 解关于的一元二次不等式.
例7．已知函数
2
(),[1,)
x ax a
f x x
x
-+
=∈+∞，
（1）当时，求函数的最小值；
（2）若对任意，恒成立，求实数的取值范围.
解析：（1）当时，
2444
()4440 x x
f x x
x x
-+
==+--=.
（2）由题意，时，恒成立，即恒成立，，即恒成立，
若，若，则恒成立，故，
而
21
124
11
x
x
x x
=-++
--
，当且仅当时取等号，故，
所以，
练习7. 三个同学对问题“关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围”提出各自的解题思路．
甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”．
乙说：“把不等式变形为左边含变量的函数，右边仅含常数，求函数的最值”． 丙说：“把不等式两边看成关于的函数，作出函数图像”．
参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即的取值范围 是 ．
例8．数列由下列条件确定：*1110,(),()2n n n
a
x a x x n N x +=>=+∈,当时，求证：（1）；
（2）
解析：（1）由1110,()2n n n
a
x a x x x +=>=+，知，当时，
1111()
2n n n n n a
a
x x x x x ---=+⋅
= （2）112,,()2n
n n n
a
n
x a x x x +=
+当时， 211()022n n n n n n n
a x a
x x x x x x +-∴-=+-=
，所以，当时，
练习8.已知数列为等比数列，，设是数列的前项和，证明：.
例9．已知函数321
()(2)13
f x ax bx b x =-+-+在处取得极大值，在处取得极小值，
且，若设，求实数的取值范围
解析：,又处取得极大值，在处取得极小值 故在有，在上有
方程即的两根分布在内
///(0)20(1)320(2)4520f b f a b f a b ⎧=->⎪⇒=-+<⎨⎪=-+>⎩
23204520
b a b a b <⎧⎪
⇒-+<⎨⎪-+>⎩ 又，由线性规划知识易知，当过两点时取得最大和最小值，的范围为.
练习9. 已知关于的不等式222(37)(32)0x a x a a +-++-<的解集中的一个元素是，求实数的取值范围，并用表示该不等式的解集.
例10．已知二次函数满足，
（1） 求二次函数的表达式；
（2） 若不等式在上恒成立，求实数的取值范围。

解析 (1)设2()(0)f x ax bx c a =++≠.由得,故. ∵ ∴22(1)(1)1(1)2a x b x ax bx x ++++-++= 即,所以,解得 ∴
(2)由(1)知在恒成立,即在恒成立.
令2235
()31()24
g x x x x =-+=--,则在上单调递减.所以在上的最大值为.所
以的取值范围是.
练习10. 对于总有成立，求的值.
练习题及答案
练习 1.若直线10(0,0)ax by a b ++=>>经过圆的圆心,则的最小值为__________________. 解析: 由,得,圆心为 又直线过圆心,得
11114(4)()552
9b a b a b a b a b a b
a +=++=+++=,当且仅当,即， 时“=”成立，故最小值为.
练习2.已知不等式的解集为,试用表示不等式的解集. 解析:由题设,原不等式与同解,即与不等式 同解,比较系数得,且,所以,
,代入,得2()0a x a x a αβαβ+++>,20,()10a x x αβαβ<∴+++<,即 又,所以不等式解集为
练习3. 函数满足：1
(1)
2,2
(1)
4f f -，求的取值范围为
____________________． 解析：由得
(1),(1),(2)42f a b f a b f a b -=-=+-=-
11[(1)(1)],[(1)(1)]22
a f f
b f f =-+=--
则(2)2[(1)(1)][(1)(1)]3(1)(1)f f f f f f f -=-+---=-+ 由条件1
(1)
2,2
(1)
4f f -
可得,所以的取值范围是
练习4.（1）甲、乙两人两次在同一个粮店购买粮食（设两次单价不同），甲每次购买粮食100kg, 乙每次用100元购买粮食.若规定,谁两次购粮的平均单价低,
谁的购粮方式就合算,则两人购粮方式更合算的是__________________.
（2）克盐水中，有克盐（），若再添加克盐（）则盐水就变咸了，试根据这一事实提炼一个不等式 ___________.
解析：（1）设两次单价分别为元/kg,
则甲两次购粮200kg，共花费元，两次购粮平均单价为，
乙两次花费200元，共购粮kg，两次购粮平均单价为
2
11
a b
+
，、
，
，而
2
11
a b
<= +
所以，
2
11
2
a b
a b
+
>
+
，即甲的购粮方式更合算.
（2）由盐的浓度变大,得.
练习5. （1）已知（为常数），，，若的最小值为，求的值．（2）若, 且, , 则的最大值是______.
解析：(1)
为正数，()()
a b ay bx
x y x y a b a b
x y x y
∴+=++=+++++
2
2
18
10
a b
⎧=
⎪
=⇒⇒
⎨
+=
⎪⎩
或．
（2）2222222222222 ()2
ax by a x b y axby a x b y a y b x +=+++++，，即的最大值为.
或解：设,,,
a b x y
ααββ
====
则4cos cos4sin sin4cos()
ax byαβββαβ
+=+=-，最大值为。

本题也可用柯西不等式来求.
易见错误:
2222
,
22
a x
b y
ax by
++
,相加,得,原因是等号取不到.
练习6. 解关于的一元二次不等式
解析：∵，∴
（1）当，不等式解集为；
（2）当时，不等式为，解集为；
（3）当，不等式解集为
练习7. 三个同学对问题“关于的不等式在 上恒成立，求实数的取值范围”提出各自的解题思路． 甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”． 乙说：“把不等式变形为左边含变量的函数，右边仅含常数，求函数的最值”． 丙说：“把不等式两边看成关于的函数，作出函数图像”．
参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即的取值范围 是 ．
解析: 由，225
1125x a x x x x
⇒++-而
，等号当且仅当时成立；且，等号当且仅当时成立；所以，
2min
25510a x x x x ⎡⎤
++-=⎢⎥⎣⎦，等号当且仅当时成立；故.
练习8.已知数列为等比数列，，设是数列的前项和，证明：.
解析：:设等比数列的公比为,则2114
51621623a a q a a a q q ===⎧⎧⇒
⎨⎨===⎩⎩ 数列的通项公式为,得
2222222
221221
13(33)1
31
132313231
n n n n n n n n n n n S S S +++++++++-++-==-⋅+-⋅+, 即.
本题用分析法证明也很方便
练习9..已知关于的不等式222(37)(32)0x a x a a +-++-<的解集中的一个元素是，求实数的取值范围，并用表示该不等式的解集.
解析：原不等式即(21)(23)0x a x a --+-<，由适合不等式， 得，所以，或.
当时，15
23(1)5022a a a +-+-
=-+>>，不等式解集为 当时，155
23(1)0224
a a a +-+-=-+<-<，不等式解集为
练习10. 对于总有成立，求的值. 解析:要使恒成立，只要在上恒成立.
22()333(1)f x ax ax '=-=-
当时，，所以，不符合题意，舍去。

当
时
22()333(1)0
f x ax ax '=-=-<，即单调递减，
min ()(1)202f x f a a ==-≥⇒≥，舍去.
当时
① 若时在和 上单调递增， 在上单调递减。

所以min
()min (1),f x f f ⎧⎫⎪
⎪=-⎨⎬⎪⎪⎩
⎭(1)40
0410f a a f -=-+≥⎧⎪≥⇒⇒=⎨=-≥⎪⎩
② 当时在上单调递减，
min ()(1)202f x f a a ==-≥⇒≥，不符合题意，舍去.综上可知.。