四川省广安市武胜中心中学2022年高二数学文模拟试题含解析

四川省广安市武胜中心中学2022年高二数学文模拟试
题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. ，则方程组
（）
A．有且仅有一组实数解 B．有且仅有两组不同的实数解
C．有两组解，但不一定都是实数解 D．由于为参数，以上情况均有可能出现
参考答案：
B
提示：原方程组可变为
(1)表示过点的直线,(2)表示椭圆,中心为,短半轴长为.由
知,点在椭圆内部,因此,过点的直线与椭圆必有两个不同的交点. 故选.
2. 在空间中，给出下列说法：①平行于同一个平面的两条直线是平行直线；②垂直于同一条直线的两个平面是平行平面；③若平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则；④过平面的一条斜线，有且只有一个平面与平面垂直.其中正确的是
（）
A. ①③
B. ②④
C. ①④
D. ②③
参考答案：
B
【分析】
说法①：可以根据线面平行的判定理判断出本说法是否正确；说法②：根据线面垂直的性质和面面平行的判定定理可以判断出本说法是否正确；说法③：当与相交时，是否在平面内有不共线的三点到平面的距离相等，进行判断；说法④：可以通过反证法进行判断.
【详解】①平行于同一个平面的两条直线可能平行、相交或异面，不正确；易知②正确；
③若平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则与可能平行，也可能相交，不正确；易知④正确.故选B.
【点睛】本题考查了线线位置关系、面面位置关系的判断，分类讨论是解题的关键，反证法是经常用到的方程.
3. 如图是函数的部分图象，f(x)的两零点之差的绝对值的最小值为，则f(x)的一个极值点为（）
A．B．C．D．
参考答案：
C
由题意，，则，，，，
∴，即，经检验只有是极小值点.
故选C.
4. 已知A={y|y=log2x，x＞1}，B={y|y=（）x，x＞1}，则A∩B=（）
A．B．（0，1）C．D．?
参考答案：
A
【考点】交集及其运算．
【分析】由题设条件知A={y|y＞0}，B={y|0＜y＜}，由此能够得到A∩B的值．
【解答】解：∵，
∴=．
故选A．
【点评】本题考查集合的运算，解题时要注意公式的灵活运用．
5. 双曲线C的方程为，F1，F2分别为双曲线的左右焦点，过点F2作直线与双曲线C的右半支交于点P，Q，使，则的内切圆半径为（）A．B．2 C．3
D．
参考答案：
B
6. 已知直角三角形ABC的直角顶点A在平面外，，AB、AC与平面所成的角分别为45、60，，则点A到平面的距离为（）
A． B．2 C． D．3
参考答案：
C
7. 二次函数y=ax2+bx与指数函数y=()x的图象只可能是( )
参考答案：
A
8. 已知点是椭圆上一点，分别为椭圆的左、右焦点，为的内心，若成立，则的值为（）
A. B. C. D.
参考答案：
A
9. 已知F是双曲线C：y2﹣mx2=3m（m＞0）的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为（）
A．B．C．D．
A
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】化双曲线方程为标准方程，求得焦点F的坐标和一条渐近线方程，由点到直线的距离公式，计算即可得到所求值．
【解答】解：双曲线C：y2﹣mx2=3m（m＞0）
即为﹣=1，
可得a2=3m，b2=3，c2=a2+b2=3m+3，
设F（0，），一条渐近线方程为y=x，
则点F到C的一条渐近线的距离为=．
故选：A．
10. 复数（1+i）2的虚部是
A．0 B．2 C．一2
D．2i
参考答案：
B
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 四位同学在研究函数时，分别给出下面四个结论：①函数
的图象关于轴对称；②函数的值域为(－1,1)；③若则一定有
；④若规定, ，则对任意
恒成立．你认为上述四个结论中正确的有
参考答案：
②③④
略
12. 已知1，，，9成等差数列，1，，，，9成等比数列，且，，，，都是实数，则= ___________
8
13. 在下列命题中，
①若直线a平面M，直线b平面M，且a b＝φ，则a//平面M；
②若直线a平面M，a平行于平面M内的一条直线，则a//平面M；
③直线a//平面M，则a平行于平面M内任何一条直线；
④若a、b是异面直线，则一定存在平面M经过a且与b平行。

其中正确命题的序号是。

参考答案：
②④
略
14. （4分）设公比为q（q＞0）的等比数列{a n}的前n项和为S n．若S2=3a2+2，S4=3a4+2，则q= _________ ．
参考答案：
15. 已知是的内角，并且有，则
______。

参考答案：
16. 已知函数，若存在，使得，则实数a的值为______．
参考答案：
【分析】
函数f（x）可以看作是动点M（x，e x）与动点N（-a，-）之间距离的平方，问题转化为求直线上的动点到曲线的最小距离，由y=e x得，y′=e x=，曲线上点M（-1，）到直线y=x的距离最小，要使f（x0）≤，则f（x0）=，然后求解a即可．
【详解】函数f（x）=（x+a）2+（e x+）2，
函数f（x）可以看作是动点M（x，e x）与动点N（-a，-）之间距离的平方，
动点M在函数y=e x的图象上，N在直线y=x的图象上，
问题转化为求直线上的动点到曲线的最小距离，
由y=e x得，y′=e x=，解得x=-1，
所以曲线上点M（-1，）到直线y=x的距离最小，最小距离d=，
则f（x）≥，
根据题意，要使f（x0）≤，则f（x0）=，
此时N恰好为垂足，由K MN=-e，解得a=．
故答案为：．
【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
17. 函数的值域是
参考答案：
略
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （1）若（+2x）n的展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；
（2）（a+x）（a+x）4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，求a的值．
参考答案：
【考点】DC：二项式定理的应用；DB：二项式系数的性质．
【分析】（1）由题意利用二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，求得展开式中二项式系数最大的项的系数．
（2）（2）设f（x）=（a+x）（a+x）4=a0+a1x+a2x2+…+a5x5，分别令x=1、x=﹣1，可得展开式中x的奇数次幂项的系数之和，再根据展开式中x的奇数次幂项的系数之和等于32，求得a的值．
【解答】解：（1）由题意可得+=2，解得n=7 或n=14．
当n=7时，展开式中二项式系数最大的项是T4和T5．
∴T4的系数为??23=，T5的系数为??24=70，
当n=14时，展开式中二项式系数最大的项是T8．
∴T8的系数为??27=3432．
（2）设f（x）=（a+x）（a+x）4=a0+a1x+a2x2+…+a5x5，
令x=1，则=a0+a1+a2+…+a5=f（1）=16（a+1）…①，
令x=﹣1，则f（﹣1）=a0﹣a1+a2+…+﹣a5=0，②，
①﹣②得，2（a1+a3+a5）=16（a+1），
根据题意可得2×32=16（a+1），
∴a=3．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，
注意通过给二项式的x赋值，求展开式的系数和，属于中档题．
19. 已知直线y=kx﹣1与双曲线x2﹣y2=4．
（1）当它们没有公共点时，求k取值范围；
（2）如果直线与双曲线相交弦长为4，求k的值．
参考答案：
【考点】直线与双曲线的位置关系．
【分析】（1）由题意令，得x2﹣（kx﹣1）2=4，整理得（1﹣k2）x2+2kx﹣5=0，当1﹣k2=0，k=±1时，显然符合条件；当1﹣k2≠0时，有△≥0．
（2）设直线与双曲线相交于两点A（x1，y1），B（x2，y2）．利用
|AB|==4，基础即可得出．
【解答】解：（1）由题意令，得x2﹣（kx﹣1）2=4，整理得（1﹣k2）x2+2kx ﹣5=0
当1﹣k2=0，k=±1时，显然符合条件；
当1﹣k2≠0时，有△=20﹣16k2≥0，解得﹣≤k≤．
综上，k取值范围是k=±1，﹣≤k≤．
（2）设直线与双曲线相交于两点A（x1，y1），B（x2，y2）．
则x1+x2=，x1?x2=，
则|AB|===4，
化为：8k2﹣9k﹣1=0，
解得k=±．
20. 已知函数
（1）若在处取得极值，求m的值；
（2）讨论的单调性；
（3），且数列前项和为，求证：
参考答案：
（1）是的一个极值点，则
，验证知m=2符合条件
（2）
1）若m=2时，
单调递增，在单调递减；
2）若时，当
∴f(x)在R上单调递减
3）若
上单调减
上单调增
…… 9分
综上所述，若∴f(x)在R上单调递减，
若m=2时，单调递增，在单调递减；
若
上单调减
上单调增
(3)由（2）知，∴f(x)在R上单调递减，
当
∴
∴
=
略
21. （本小题共14分）
已知四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP=AD=1，
AB=2，E、F分别是AB、PD的中点.
（1）求证：AF//平面PEC；
（2）求PC与平面ABCD所成角的正切值；
参考答案：
解法一：（1）取PC的中点O，连结OF、OE.
，且
又∵E是AB的中点，且AB=DC，∴FO=AE.
∴四边形AEOF是平行四边形. ∴AF//OE.……4分
又平面PEC，平面PEC，
∴AF//平面PEC.…………………………………7分
（2）连结AC. ∵PA⊥平面ABCD，
∴∠PCA是直线PC与平面ABCD所成的角.………10分
在中
即直线PC与平面ABCD所成角的正切值为………………14分
22. （本题满分12分）观察（1）
（2）
（3）
由以上三式成立，推广到一般结论，写出一般结论，并证明。

参考答案：
解：由以上三式中的三个角分别为（1）5°,15°,70°它们的和为90°（2）10°，25°，55°它们的和为90°（3）20°，30°，40°它们的和为90°，
可归纳出：若都不为，且
则： 6分
证明如下：
若，则结论显然成立。

7分
若，由得：
则：
又
则：
则： 12分。