数学教学如何培养学生的发散思维能力
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・ ． 。
点ｘ０ 圆 （ ）（鲁）２ （ｙ 上 ． ‘ ５ ｏ） ，在 ＋ ＝
切 线 方 程 为 ４ 一３ ｘ ｙ一２ ５＝０ ３ ＋４ ｘ ｙ一２ ５＝０
即１ ２７一２ ０ 得ｋ ２÷ ２ —ｋ １： ｋ ｌ４ｋ ＝ 一
‘ ． ．
维能力就要提倡 质疑问难 ， 而一 题多 问是培 养学 生思维能力 的有
效做法 。
例 如 ，设正方体 Ａ ｃ —Ａ。－－－ “ ＢＤ ＢｃＤ 的棱长 为 ａ ， ” 可据此提出
如 下 问题 ：１ 图 中 有 哪 些 棱 所 在 的直 线 成 异 面 直 线 ？２ Ａ 与 面 （） （）Ｂ 的对 角 线 ＡＣ 成 多 少 度 的角 ？ ３ 面 的对 角线 Ａ －－ （） Ｃ与 面 的 对 角 线
２＝ｘ ｘ ＋ （ ｘ一１ ＋（ ） ｘ ＋ｘ一１ ＋１ ） ＋２＝３
交角为 ｎ 为什么ｓｃ＝ 音 ？９ 过正方体同一顶点上三条棱 ， ｉｔ ｎ （）
３
的中点截下正 方体的一角 ， 则这一角 的体积 为什么是－ ？（０ 为 １）
． ．Ｏ
这 里巧用 了整体代换 的思想 ， 题过程简洁 、 解 明快。 下面一组题是形 异质 同的练习 ：
．
号 一 号
．
。
维 的 流 畅 性 是 以 占有 知 识 的 程 度 为 基 础 的 。 因 此 应 重 视 双 基 教
切 线 方 程 为 ４ 一３ ｘ ｙ一２ ５＝０ ３ ＋４ ｘ ｙ一２ ５＝０
学， 加强学生对基础知识 的理解 。学生牢 固地掌握 了数学 中的基 本概念 、 定理 、 式 、 公 法则 和基本 的思想方法 ， 就容易产 生知识迁 移， 为发展发散思维奠定 良好 的基础 。
依据 ， 朝着各种不同 的方 向去寻求答案 的思 维方法 。美 国著名心
理 学 家 吉 尔 福 特 认 为 ， 散 性 思 维 具 有 三点 品 质 特 征 ： 流 畅 性 、 发 即 变 通 性 和 独 特 性 。 畅 性 指 思 维 的 畅 通 少 阻 ， 能 反 映 思 维 的敏 流 它
１ 已知ｘ Ｔ 求 ２４ ３ ｘ 、 ＝ ｘ ＋ｘ一ｘ ＋３ 一３的值 。
２已知ｘ 上 、 ＝
Ｘ
—
ｌ４ — 一 而 的 。 求 １ １ １ 值
＇ 厂
Ｊ
论再进行 扩展 ， 引深 、 变形 ， 多方位地进 行练习。一题多变 可深化 学生所学 的知识 ， 提高应变能力 。 例如 ， 已知 Ｘ ＋Ｘ ： 一１ ０求 Ｘ ＋２ ’ ｘ ＋２的值 。
解 ： 由 Ｘ ＋Ｘ ＝ 一１ ０得 Ｘ ＋２ ’ ｘ ＋２＝（３ ） ２ ｘ＋ ｘ＋ｘ 一ｘ ＋ｘ ＋
各种 解法做完后 ， 应引导学生分 析每一种解法 ， 中选 出最 从 简洁、 最优美 的方法 ， 培养学生 的创优 意识 。以上三种解法 第二 种方法 过程较简 ， 是本题最佳 的解题 途径。 第四， 一题 多变可以培养思维 的变通性 。
一
Ｂ－ Ｃ 成多少度 的角？（ ）ＡＢ 与 Ｃ － ４ －－ Ｃ 所成 的异 面直线 的距离是多
第 二 ， 题 多 问可 以 培 养 思 维 的流 畅 性 。 一 思 维 产 生 于 疑 问 ， 问 又 可 以 激 发 思 维 。 培 养 学 生 的发 散 思 疑
解法 三 ： 设切线方程 为 ｌ 一 【 ｙ一７ 】 【 ｋ＋１＝ ， ０ 切点 （０ｙ） 则切 ７，ｏ， ．
线 程 可 廖 ｏ ｙ一 ＝ 从 ＝ ＝ 方 又 写 ｘ＋ｙ２ ０ 而 音 ｘｏ ５
少 ？ ５ 面 的对 角线 Ａ （） Ｃ与 面 的 对 角 线 Ｂ Ｄ 的 距 离 是 多 少 ？ ６ 为 。。 （）
题 多变是指学生在原题 解答清楚后 ， 根据题设 的条件 和结
什 么过任意四条平行棱 中点 的四边形 是平行 四边形 ？（ ） ７ 为什么 正方体的四条对角线共点且 互相平分？（） 正方体两对角线 的 ８设
令 Ａ＝Ｏ得 ：２ ｋ一１ ０ 得 ｋ ＝一 ３ ｋ ＝了 １ ｋ 一７ ２＝ － ｚ ４
・ ． ．
切线方程 为 ４ ｘ一３ ２ ０ ３ ｙ一 ５＝ ｘ＋４ ２ ０ ｙ一 ５＝
ｋｘ— ｙ一 ７ｋ ＋ １＝ ０
捷 程度 ； 变通性指思 维的灵活多变 ， 它能反 映思维 的灵活程度 ； 独 创性是指从 新的 角度 和不 同方 向打破 常规 ，提出新颖 独特 的见 解。 三者之 间互 相联 系 、 互相 制约。 么 ， 数学教学中如何培养 那 在
什 么平 面 Ａ ｌ ｌ ／ 面 Ｂ ｌ ？ ＢＤ ／ 平 ＣＤ
通过 以上正 向思维或逆 向思 维的练习 ，可提高学生 的技 能 ， 沟通 知识 的纵 横 向联系 ， 培养思维 的灵活性 。 第三 ， 一题多解 可以培养思维 的创造性 。 为了培养学生的发散思维 能力 和创造能力 ， 在教学 中要 引导 学生对 同一 问题从 不同的角度 ， 用不 同的方法 去思考分析 ， 不能 只满足 于现成 的或固定的答案 ， 应鼓励学生 一题 多解 。
学生的发散思维能力呢？ 首先 ， 重视 双基教学 要 加 强 对 基 础 知 识 的理 解 。
解 法 二 ： 切 线 方 程 为 ｖ ＝ｋ ｘ ） 设 一１ （ 一７ 即
・ ．
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已知 圆 的 圆 心 为 （ ， ）半 径 为 ５ ． ｏｏ ， ・ ．
＝ ５
・ ． ．
培养学生 的发散思维 能力 ， 先要提高思维 的流畅性 ， 首 而思
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教师论坛
２０ １ 月号 ０ ２・ １
数学教学如何＝荠学生ｌ发散思维雒力 Ｉ ＝ 言 Ｉ 臼 创 造 性 的思 维 ， 是 以 扎 实 的 基 础 知 识 为 它
消 去 ｖ （ ＋ｋ） １ ｋ 一２ ） 得 １ ｘ 一（４ ｋ ｘ＋４ ｋ 一１ｋ一２ ９ ４ ４＝０
点ｘ０ 圆 （ ）（鲁）２ （ｙ 上 ． ‘ ５ ｏ） ，在 ＋ ＝
切 线 方 程 为 ４ 一３ ｘ ｙ一２ ５＝０ ３ ＋４ ｘ ｙ一２ ５＝０
即１ ２７一２ ０ 得ｋ ２÷ ２ —ｋ １： ｋ ｌ４ｋ ＝ 一
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维能力就要提倡 质疑问难 ， 而一 题多 问是培 养学 生思维能力 的有
效做法 。
例 如 ，设正方体 Ａ ｃ —Ａ。－－－ “ ＢＤ ＢｃＤ 的棱长 为 ａ ， ” 可据此提出
如 下 问题 ：１ 图 中 有 哪 些 棱 所 在 的直 线 成 异 面 直 线 ？２ Ａ 与 面 （） （）Ｂ 的对 角 线 ＡＣ 成 多 少 度 的角 ？ ３ 面 的对 角线 Ａ －－ （） Ｃ与 面 的 对 角 线
２＝ｘ ｘ ＋ （ ｘ一１ ＋（ ） ｘ ＋ｘ一１ ＋１ ） ＋２＝３
交角为 ｎ 为什么ｓｃ＝ 音 ？９ 过正方体同一顶点上三条棱 ， ｉｔ ｎ （）
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的中点截下正 方体的一角 ， 则这一角 的体积 为什么是－ ？（０ 为 １）
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这 里巧用 了整体代换 的思想 ， 题过程简洁 、 解 明快。 下面一组题是形 异质 同的练习 ：
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维 的 流 畅 性 是 以 占有 知 识 的 程 度 为 基 础 的 。 因 此 应 重 视 双 基 教
切 线 方 程 为 ４ 一３ ｘ ｙ一２ ５＝０ ３ ＋４ ｘ ｙ一２ ５＝０
学， 加强学生对基础知识 的理解 。学生牢 固地掌握 了数学 中的基 本概念 、 定理 、 式 、 公 法则 和基本 的思想方法 ， 就容易产 生知识迁 移， 为发展发散思维奠定 良好 的基础 。
依据 ， 朝着各种不同 的方 向去寻求答案 的思 维方法 。美 国著名心
理 学 家 吉 尔 福 特 认 为 ， 散 性 思 维 具 有 三点 品 质 特 征 ： 流 畅 性 、 发 即 变 通 性 和 独 特 性 。 畅 性 指 思 维 的 畅 通 少 阻 ， 能 反 映 思 维 的敏 流 它
１ 已知ｘ Ｔ 求 ２４ ３ ｘ 、 ＝ ｘ ＋ｘ一ｘ ＋３ 一３的值 。
２已知ｘ 上 、 ＝
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论再进行 扩展 ， 引深 、 变形 ， 多方位地进 行练习。一题多变 可深化 学生所学 的知识 ， 提高应变能力 。 例如 ， 已知 Ｘ ＋Ｘ ： 一１ ０求 Ｘ ＋２ ’ ｘ ＋２的值 。
解 ： 由 Ｘ ＋Ｘ ＝ 一１ ０得 Ｘ ＋２ ’ ｘ ＋２＝（３ ） ２ ｘ＋ ｘ＋ｘ 一ｘ ＋ｘ ＋
各种 解法做完后 ， 应引导学生分 析每一种解法 ， 中选 出最 从 简洁、 最优美 的方法 ， 培养学生 的创优 意识 。以上三种解法 第二 种方法 过程较简 ， 是本题最佳 的解题 途径。 第四， 一题 多变可以培养思维 的变通性 。
一
Ｂ－ Ｃ 成多少度 的角？（ ）ＡＢ 与 Ｃ － ４ －－ Ｃ 所成 的异 面直线 的距离是多
第 二 ， 题 多 问可 以 培 养 思 维 的流 畅 性 。 一 思 维 产 生 于 疑 问 ， 问 又 可 以 激 发 思 维 。 培 养 学 生 的发 散 思 疑
解法 三 ： 设切线方程 为 ｌ 一 【 ｙ一７ 】 【 ｋ＋１＝ ， ０ 切点 （０ｙ） 则切 ７，ｏ， ．
线 程 可 廖 ｏ ｙ一 ＝ 从 ＝ ＝ 方 又 写 ｘ＋ｙ２ ０ 而 音 ｘｏ ５
少 ？ ５ 面 的对 角线 Ａ （） Ｃ与 面 的 对 角 线 Ｂ Ｄ 的 距 离 是 多 少 ？ ６ 为 。。 （）
题 多变是指学生在原题 解答清楚后 ， 根据题设 的条件 和结
什 么过任意四条平行棱 中点 的四边形 是平行 四边形 ？（ ） ７ 为什么 正方体的四条对角线共点且 互相平分？（） 正方体两对角线 的 ８设
令 Ａ＝Ｏ得 ：２ ｋ一１ ０ 得 ｋ ＝一 ３ ｋ ＝了 １ ｋ 一７ ２＝ － ｚ ４
・ ． ．
切线方程 为 ４ ｘ一３ ２ ０ ３ ｙ一 ５＝ ｘ＋４ ２ ０ ｙ一 ５＝
ｋｘ— ｙ一 ７ｋ ＋ １＝ ０
捷 程度 ； 变通性指思 维的灵活多变 ， 它能反 映思维 的灵活程度 ； 独 创性是指从 新的 角度 和不 同方 向打破 常规 ，提出新颖 独特 的见 解。 三者之 间互 相联 系 、 互相 制约。 么 ， 数学教学中如何培养 那 在
什 么平 面 Ａ ｌ ｌ ／ 面 Ｂ ｌ ？ ＢＤ ／ 平 ＣＤ
通过 以上正 向思维或逆 向思 维的练习 ，可提高学生 的技 能 ， 沟通 知识 的纵 横 向联系 ， 培养思维 的灵活性 。 第三 ， 一题多解 可以培养思维 的创造性 。 为了培养学生的发散思维 能力 和创造能力 ， 在教学 中要 引导 学生对 同一 问题从 不同的角度 ， 用不 同的方法 去思考分析 ， 不能 只满足 于现成 的或固定的答案 ， 应鼓励学生 一题 多解 。
学生的发散思维能力呢？ 首先 ， 重视 双基教学 要 加 强 对 基 础 知 识 的理 解 。
解 法 二 ： 切 线 方 程 为 ｖ ＝ｋ ｘ ） 设 一１ （ 一７ 即
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已知 圆 的 圆 心 为 （ ， ）半 径 为 ５ ． ｏｏ ， ・ ．
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培养学生 的发散思维 能力 ， 先要提高思维 的流畅性 ， 首 而思
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２０ １ 月号 ０ ２・ １
数学教学如何＝荠学生ｌ发散思维雒力 Ｉ ＝ 言 Ｉ 臼 创 造 性 的思 维 ， 是 以 扎 实 的 基 础 知 识 为 它
消 去 ｖ （ ＋ｋ） １ ｋ 一２ ） 得 １ ｘ 一（４ ｋ ｘ＋４ ｋ 一１ｋ一２ ９ ４ ４＝０