湖北省黄石市2019-2020学年初二下期末达标测试数学试题含解析

湖北省黄石市2019-2020学年初二下期末达标测试数学试题
一、选择题（每题只有一个答案正确）
1．若正比例函数的图象经过点（1-，2），则这个图象必经过点（ ）．
A ．（1，2）
B ．（1-，2-）
C ．（2，1-）
D ．（1，2-）
2．下列各点中，位于第四象限的点是（ ）
A ．(3,-4)
B ．(3,4)
C ．(-3,4)
D ．(-3,-4)
3．在△ABC 中，AB=15，AC=13，BC 上的高AD 长为12，则△ABC 的面积为（ ）
A ．84
B ．24
C ．24或84
D ．42或84
4．下列图案中，中心对称图形的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
5．y kx b =+(0)k ≠，图象上有两点()11,A x y ，()22,B x y 且，12x x ≠，1212()()t x x y y =--，当k 0<时，t 的取值范围是（ ）
A ．0t >
B ．0t ≥
C ．0t =
D ．0t <
6．如图，点O （0，0），A （0，1）是正方形OAA 1B 的两个顶点，以正方形的对角线OA 1为边作正方形OA 1A 2B 1，再以正方形的对角线OA 2为边作正方形OA 1A 2B 1，…，依此规律，则点A 2017的坐标是（ ）
A ．（21008，0）
B ．（21008，﹣21008）
C ．（0，21010）
D ．（22019，﹣22019）
7．点()4,3M -关于原点对称的点的坐标为( )
A ．()4,3-
B ．()4,3--
C ．()4,3-
D ．()3,4-
8．在平行四边形ABCD 中，∠A=55°，则∠D 的度数是（ ）
A ．105°
B ．115°
C ．125°
D ．55° 92x +x 的取值范围是（ ） A ．x ≥0 B ．x ≠2 C ．x ≥2 D ．x ≥-2
10．正方形具有而菱形不具有的性质是（ ）
A ．四边相等
B ．对角线相等
C ．两组对边分别平行
D ．一条对角线平分一组对角
二、填空题 11．如图，在菱形ABCD 中，点E 是AD 的中点，对角线AC ，BD 交于点F ，若菱形ABCD 的周长是24，则EF=______.
12．分式2354x y 和22
76x y 的最简公分母是__________． 13．如图，在菱形ABCD 中，∠BAD ＝70°，AB 的垂直平分线交对角线AC 于点F ，E 为垂足，连接DF ．则∠CDF 等于_____．
14．如图，等腰直角三角形ABC 的直角边AB 的长为3，将△ABC 绕点A 逆时针旋转15°后得到△AB′C′，AC 与B′C′相交于点D ，则图中阴影△ADC′的面积等于______．
15．将直线y ＝2x ＋1向下平移3个单位长度后所得直线的表达式是 ______．
16．如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，70BAC ∠=︒，将ABC ∆绕点A 顺时针旋转70︒，点B 、C 旋转后的对应点分别是点D 和E ，连接BD ，则BDE ∠的度数是______．
17．使根式
有意义的x 的取值范围是___．
三、解答题
18．如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AB 的两个端点在小正方形的顶点上.
(1)在图1中画一个以AB 为边的平行四边形ABCD ，点C 、D 在小正方形的顶点上，且平行四边形ABCD 的面积为15.
(2)在图2中画一个以AB 为边的菱形ABEF(不是正方形),点E 、F 在小正方形的顶点上，请直接写出菱形ABEF 的面积；
19．（6分）如图，已知直线l 和l 外一点P ，用尺规作l 的垂线，使它经过点P ．（保留作图痕迹，不写作法）
20．（6分）如图，△ABC 与△A′B′C′是位似图形，且位似比是1：1．
（1）在图中画出位似中心点O ；
（1）若AB=1cm ，则A′B′的长为多少?
21．（6分）在ABCD 中，BD 是它的一条对角线，过A 、C 两点分别作AE BD ⊥，CF BD ⊥，E 、F 为垂足．
（1）如图，求证：ED BF =；
（2）如图，连接AC ，设AC 、BD 交于点O ，若120DOC ︒∠=．在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中的所有长度是OE 长度2倍的线段．
22．（8分）已知在等腰三角形ABC 中，,AB AC D =是BC 的中点，O 是ABC ∆内任意一点，连接,,,OA OB OC OD ,过点B 作//BE OC , 交OD 的延长线于点E ,延长OA 到点F ,使得AF OA =,连接,FE CE .
（1）如图1,求证:四边形OBEC 是平行四边形；
（2）如图2，若90BAC ∠=，求证:EF BC ⊥且EF BC =;
23．（8分）如图，正方形ABCD ，点P 为射线DC 上的一个动点，点Q 为AB 的中点，连接,PQ DQ ，过点P 作PE DQ ⊥于点E .
（1）请找出图中一对相似三角形，并证明；
（2）若4AB =，以点,,P E Q 为顶点的三角形与ADQ △相似，试求出DP 的长.
24．（10分）电商时代使得网购更加便捷和普及．小张响应国家号召，自主创业，开了家淘宝店．他购进一种成本为100元/件的新商品，在试销中发现：销售单价x （元）与每天销售量y （件）之间满足如图所示的关系．
（1）求y 与x 之间的函数关系式；
（2）若某天小张销售该产品获得的利润为1200元，求销售单价x 的值．
25．（10分）在平面直角坐标中，边长为2 的正方形OABC 的两顶点A、C 分别在y 轴、x 轴的正半轴上，点O 在原点.现将正方形OABC 绕O 点顺时针旋转，当 A 点第一次落在直线y=x 上时停止旋转，旋转过程中，AB 边交直线y=x于点M，BC 边交x 轴于点N（如图）.
（1）求边OA 在旋转过程中所扫过的面积；
（2）旋转过程中，当MN 和AC 平行时，求正方形OABC 旋转的度数；
（3）试证明在旋转过程中, △MNO 的边MN 上的高为定值；
（4）设△MBN 的周长为p，在旋转过程中，p 值是否发生变化？若发生变化，说明理由；若不发生变化，请给予证明，并求出p 的值.
参考答案
一、选择题（每题只有一个答案正确）
1．D
【解析】
设正比例函数的解析式为y=kx（k≠0），
因为正比例函数y=kx的图象经过点（-1，2），
所以2=-k，
解得：k=-2，
所以y=-2x，
把这四个选项中的点的坐标分别代入y=-2x 中，等号成立的点就在正比例函数y=-2x 的图象上，
所以这个图象必经过点（1，-2）．
故选D ．
2．A 【解析】
【分析】
根据平面直角坐标系中点的坐标特征解答即可，第四象限内点的横坐标大于0，纵坐标小于0.
【详解】
∵第四象限内点的横坐标大于0，纵坐标小于0，
∴(3,-4) 位于第四象限.
故选A.
【点睛】
本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征.第一象限内点的坐标特征为（+，+），第二象限内点的坐标特征为（-，+），第三象限内点的坐标特征为（-，-），第四象限内点的坐标特征为（+，-），x 轴上的点纵坐标为0，y 轴上的点横坐标为0.
3．C
【解析】
【分析】
由于高的位置不确定，所以应分情况讨论.
【详解】
（1）△ABC 为锐角三角形，高AD 在三角形ABC 的内部，
∴BD=22AB AD -=9，CD=22AC AD -=5，
∴△ABC 的面积为195122
⨯+⨯（）=84，
（2）△ABC 为钝角三角形，高AD 在三角形ABC 的外部，
∴22AB AD -，22AC AD -，
∴△ABC 的面积为
195122
⨯-⨯（）=24， 故选C.
【点睛】
此题主要考察勾股定理的应用，解题的关键是根据三角形的形状进行分类讨论.
4．A
【解析】
【分析】
根据中心对称图形的概念求解．
【详解】
A 、是中心对称图形，故本选项正确；
B 、不是中心对称图形，故本选项错误；
C 、不是中心对称图形，故本选项错误；
D 、不是中心对称图形，故本选项错误；
故选：A ．
【点睛】
本题考查了中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 5．D
【解析】
【分析】
根据一次函数的性质,k ＜0时，y 随x 的增大而减小来判断即可.
【详解】
解:当k ＜0时，y 随x 的增大而减小，
若x 1＜x 2，得y 1＞y 2,∴1212()()t x x y y =--＜0；
若x 1＞x 2，得y 1＜y 2,∴1212()()t x x y y =--＜0；
又12x x ≠，∴y 1≠y 2，∴1212()()t x x y y =--≠0.
∴t ＜0.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查一次函数的性质，当k ＞0时，y 随x 的增大而增大，当k ＜0时，y 随x 的增大而减小. 6．B
【分析】
根据正方形的性质可找出部分点An 的坐标，根据坐标的变化即可找出A 81n + （24n ，24n ）（n 为自然数），
再根据2017=252×8+1，即可找出点A 2019的坐标．
【详解】
观察发现：
A(0,1)、A 1(1,1),A 2(2,0),A 3(2,−2),A 4 (0,−4),A 5 (−4,−4),A 6 (−8,0),A 7 (−8,8),A 8 (0,16),A 9 (16,16)…， ∴A 81n + （24n ，24n ）(n 为自然数).
∵2017=252×8+1，
∴A 2017的坐标是（21008，﹣21008）.
故选B.
【点睛】
此题考查规律型：点的坐标，解题关键在于找到规律
7．A
【解析】
【分析】
根据平面直角坐标系中，关于原点对称的点的坐标特征，即可得到答案．
【详解】
点()4,3M -关于原点对称的点的坐标为(-4，3)，
故选A ．
【点睛】
本题主要考查平面直角坐标系中，关于原点对称的点的坐标特征，熟练掌握“关于原点对称的两点的横纵坐标分别互为相反数”，是解题的关键．
8．C
【解析】
【分析】
根据平行四边形的性质解答即可.
【详解】
∵平行四边形的两组对边平行，∴∠A+∠D=180°, ∵∠A=55°，∴∠D=180°-55°=125°,故选C.
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质．此题比较简单，注意熟记定理是解题的关键．
9．D
【解析】
根据二次根式有意义的条件即可求出x的取值范围．
【详解】
由题意可知：x+2≥0，
∴x≥-2
故选D．
【点睛】
本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练运用二次根式有意义的条件．
10．B
【解析】
【分析】
根据正方形的性质以及菱形的性质，即可判断．
【详解】
正方形的边：四边都相等，两组对边分别平行；
菱形的边：四边都相等，两组对边分别平行；
正方形的对角线：互相垂直平分且相等，每一条对角线平分一组对角；
菱形的对角线：互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角；∴正方形具有而菱形不具有的性质是：对角线相等．
故选B．
【点睛】
本题考查了正方形的性质、菱形的性质，熟练掌握正方形和菱形的性质是解题的关键．
二、填空题
11．3
【解析】
【分析】
由菱形的周长为24，可求菱形的边长为6，则可以求EF.
【详解】
解：∵菱形ABCD的周长是24，∴AB=AB=BC=DC=24÷4=6，∵F为对角线AC、BD交点，∴F为DB的中点，又∵E为AD的中点，∴EF=AB=3，故答案为3.
【点睛】
本题考查了菱形的性质，熟练掌握并灵活运用是解题的关键.
12x y
12．23
【分析】
根据最简公分母的确定方法取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母进行解答．
【详解】
解：分式2354x y 和2276x y
的最简公分母是2312x y 故答案为：2312x y ．
【点睛】
本题考查的是最简公分母的概念，取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．
13．75°
【解析】
【分析】
根据菱形的性质求出∠ADC=110°，再根据垂直平分线的性质得出AF=DF ，从而计算出∠CDF 的值．
【详解】
解：连接BD ，BF ，
∵∠BAD=70°，
∴∠ADC=110°，
又∵EF 垂直平分AB ，AC 垂直平分BD ，
∴AF=BF ，BF=DF ，
∴AF=DF ，
∴∠FAD=∠FDA=35°，
∴∠CDF=110°-35°=75°．
故答案为75°．
【点睛】
此题主要考查线段的垂直平分线的性质和菱形的性质，有一定的难度，解答本题时注意先先连接BD ，BF ，这是解答本题的突破口．
14．332
【解析】
【分析】
由旋转的性质可得AB=AB'=，∠BAB'=15°，可得∠B'AD=∠BAC-∠B'AB=30°，由直角三角形的性质可得B'D=1，由三角形面积公式可求解．
【详解】
解：∵AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠BAC=45°，
∵△ABC绕点A逆时针旋转15°后得到△AB′C′，
∴3BAB'=15°，
∴∠B'AD=∠BAC-∠B'AB=30°，且∠B'=90°，
∵tan∠B'AD=
'B D AB
,
∴3，∴B'D=1，
∴阴影△ADC'的面积=1133 3331
22
-
=，
33
-
.
【点睛】
本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，及锐角三角函数的知识，熟练运用旋转的性质是本题的关键．
15．y＝1x－1
【解析】
【分析】
【详解】
直线y=1x+1向下平移3个单位长度，根据函数的平移规则“上加下减”，可得平移后所得直线的解析式为y=1x+1﹣3=1x﹣1．
考点：一次函数图象与几何变换．
16．35°
【解析】
【分析】
由旋转的性质可得AB=AD，∠BAD=70°，由等腰三角形的性质和直角三角形的性质可求解．
【详解】
∵将△ABC绕点A顺时针旋转70°，
∴AB=AD，∠BAD=70°,∠AED=90°
∴∠ABD=55°
∵∠BED=∠AED =90°
∴∠BDE=35°
故答案为35°
【点睛】
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质和直角三角形的性质，熟练运用旋转的性质是本题的关键．17．
【解析】
【分析】
【详解】
解：根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使在实数范围内有意义，
必须
解得：
故答案为：．
三、解答题
18．(1)见解析；(2)见解析；菱形ABEF的面积为8.
【解析】
【分析】
(1)由图可知A、B间的垂直方向长为3，要使平行四边形的面积为15，结合网格特点则可以在B的水平方向上取一条长为5的线段，可得点C，据此可得平行四边形；
(2)根据网格特点，菱形性质画图，然后利用菱形所在正方形的面积减去三角形的面积以及小正方形的面积即可求得面积.
【详解】
(1)如图1所示，平行四边形ABCD即为所求；
(2)如图2所示，菱形ABCD为所求，
菱形ABCD的面积=4×4-4×1
2
×3×1-2×1×1=16-6-2=8.
本题考查了作图——应用与设计，涉及了平行四边形的性质，菱形的性质等，正确把握相关图形的性质以及网格的结构特点是解题的关键.
19．详见解析
【解析】
【分析】
以P为圆心，以任意长为半径画弧，交直线l与于点M、N，再分别以点M、N为圆心，以大于1
2
MN长
为半径画弧，两弧相交于点G、H，连接GH，直线GH即为所求.
【详解】
如图，直线GH即为所求.
【点睛】
本题考查的是作图-基本作图，熟知线段垂直平分线的作法是解答本题的关键．20．（1）见解析；（1）A B''的长为4cm
【解析】
【分析】
（1）根据位似图形的性质直接得出位似中心即可；
（1）利用位似比得出对应边的比进而得出答案．
【详解】
解：（1）如图所示：连接BB′、CC′，它们的交点即为位似中心O；
（1）∵△ABC与△A′B′C′是位似图形，且位似比是1：1，
∴A′B′的长为4 cm ．
【点睛】
此题主要考查了位似图形的性质，利用位似比等于对应边的比得出是解题关键．
21．（1）见解析；（2）OA 、OC 、EF.
【解析】
【分析】
（1）根据平行四边形的AD ∥BC ，AB ∥CD ，AD=BC ，AB=CD ，根据平行线的性质得到∠ADE=∠CBF ，由垂直的定义得到∠AEB=∠CFD=90°，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）根据平行四边形的性质得到AO=CO ，根据直角三角形的性质即可得到结论．
【详解】
（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形
∴AD BC ∥ AD BC =
∴ADE CBF ∠=∠
∵AE BD ⊥，CF BD ⊥，
∴90AED BFC ︒∠=∠=
在AED 和CFB 中AED BFC ADE CBF AD BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴AED CFB AAS ≅（）
∴ED BF =
（2）∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AO=CO ，
∵∠DOC=120°，
∴∠AOE=60°，
∴∠OAE=30°，
∴AO=2OE ，
∴OC=2OE ，
∵OD=OB ，DE=BF ，
∴OE=OF ，
∴EF=2OE ．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的
22．（1）见解析；（2）见解析；
【解析】
【分析】
（1）利用平行线的性质证明OCD EBD ∆≅∆，即可解答
（2）连接AD ，根据题意得出12AD BC =
，再由（1）得出OD DE =，得到AD 是OEF ∆的中位线，即可解答
【详解】
（1）证明：//,BE OC OCB EBC ∴∠=∠.
D 是BC 的中点，CD BD ∴=. 又ODC EDB ∠=∠，
OCD EBD ∴∆≅∆（ASA ）.
OD ED ∴=.
又CD BD =，
∴四边形OBEC 是平行四边形.
（2）证明：如图1，连接AD ，
图1
,90,AB AC BAC D =∠=是BC 的中点，
,AD BC BAD CAD ∴⊥∠=∠45ABD ACD =∠=∠=.
BD AD DC ∴==.
12
AD BC ∴=. 由（1）知，,OCD EBD OD DE ∆≅∆=
OA AF =，又由（1）知，
OD DE ∴=.
BD DC =，
AD ∴是OEF ∆的中位线.
1,//2
AD EF AD EF ∴=. 1,2
AD BC AD BC ⊥=， ,EF BC EF BC ∴=⊥.
【点睛】
此题考查等腰三角形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，解题关键在于作辅助线 23．（1）DPE QDA ∽，见解析；（2）2DP =或5DP ＝.
【解析】
【分析】
（1）通过等角转换，可得出三角相等，即可判定DPE QDA ∽；
（2）首先根据已知条件求出DQ ，由三角形相似的性质，列出方程，即可得解，注意分两种情况讨论.
【详解】
（1）DPE QDA ∽
根据已知条件，得∠DAQ=∠PED=90°
又∵∠ADQ+∠PDE=∠DPE+∠PDE=90°
∴∠ADQ =∠DPE ，∠AQD=∠PDE
∴DPE QDA ∽
（2）由已知条件，得
DQ ===设DE 为x
∵DPE QDA ∽ ∴DA PE AQ DE
= ∴PE 为2x
∵PEQ ADQ △△
∴分两种情况： ①AQ DA PE EQ
= 即2
2x =
解得
5
x=
∴2 DP==
②AQ DA EQ PE
=
4
2x
=
解得x=
5
DP==
【点睛】
此题主要考查三角形相似的性质，熟练掌握，即可解题.
24．（1）y=−x+180；（2）120元或160元；
【解析】
【分析】
（1）设y与x之间的函数关系式为y=kx+b（k≠0），根据所给函数图象列出关于k、b的关系式，求出k、b的值即可；
（2）根据题意列出方程，解方程即可．
【详解】
(1)设y与x之间的函数关系式为y=kx+b(k≠0)，
由所给函数图象可知：
13050 15030
k b
k b
+=
+=
⎧
⎨
⎩
，
解得：
1
180 k
b
=-
=
⎧
⎨
⎩
故y与x的函数关系式为y=−x+180；
(2)由题意得：(−x+180)(x−100)=1200，
解得：x=120，或x=160.
答：若某天该网店店主销售该产品获得的利润为1200元，则销售单价为120元或160元.
【点睛】
此题考查一元二次方程的应用，一次函数的应用，解题关键在于列出方程
25．（1）OA 在旋转过程中所扫过的面积为0.5π ；（1）旋转过程中，当MN 和AC 平行时，正方形OABC 旋转的度数为25°-11.5°=11.5 度;（3）MN 边上的高为1（2）在旋转正方形OABC 的过程中，p 值无变化．见解析.
【解析】
【分析】
（1）过点M作MH⊥y轴，垂足为H，如图1，易证∠MOH=25°，然后运用扇形的面积公式就可求出边OA在旋转过程中所扫过的面积．
（1）根据正方形和平行线的性质可以得到AM=CN，从而可以证到△OAM≌△OCN．进而可以得到
∠AOM=∠CON，就可算出旋转角∠HOA的度数．
（3）过点O作OF⊥MN，垂足为F，延长BA交y轴于E点，如图1，易证△OAE≌△OCN，从而得到OE=ON，AE=CN，进而可以证到△OME≌△OMN，从而得到∠OME=∠OMN，然后根据角平分线的性质就可得到结论．
（2）由△OME≌△OMN（已证）可得ME=MN，从而可以证到MN=AM+CN，进而可以推出p=AB+BC=2，是定值．
【详解】
解：（1）过点M作MH⊥y轴，垂足为H，如图1，
∵点M在直线y=x上，
∴OH=MH．
在Rt△OHM中，
∵tan∠MOH=MH
OH
=1，
∴∠MOH=25°．
∵A点第一次落在直线y=x上时停止旋转，∴OA旋转了25°．
∵正方形OABC的边长为1，
∴OA=1．
∴OA在旋转过程中所扫过的面积为
2
452
360
π⨯
=0.5π．∵A 点第一次落在直线y=x 上时停止旋转，∴OA
旋转了25 度．
∴OA 在旋转过程中所扫过的面积为0.5π ．
（1）∵MN∥AC，∴∠BMN=∠BAC=25°，∠BNM=∠BCA=25 度．∴∠BMN=∠BNM．BM=BN．
又∵BA=BC，AM=CN．
又∵OA=OC，∠OAM=∠OCN，
∴△OAM ≌△OCN．∴∠AOM=∠CON．
∴∠AOM= 1/1（90°-25°）=11.5 度．
∴旋转过程中，当MN 和AC 平行时，正方形OABC 旋转的度数为25°-11.5°=11.5 度．（3）证明：过点O作OF⊥MN，垂足为F，延长BA交y轴于E点，如图1，
则∠AOE=25°-∠AOM，∠CON=90°-25°-∠AOM=25°-∠AOM．
∴∠AOE=∠CON．
在△OAE和△OCN中，
90
AOE CON
OA OC
EAO NCO
∠∠
⎨
⎪
⎩∠
⎪
∠︒
⎧＝
＝
＝＝
．
∴△OAE≌△OCN（ASA）．
∴OE=ON，AE=CN．
在△OME和△OMN中
45
OE ON
EOM NOM
OM OM
⎧
⎪
⎨
⎪
∠∠
⎩
︒
＝
＝＝
＝
∴△OME≌△OMN（SAS）．
∴∠OME=∠OMN．
∵MA⊥OA，MF⊥OF，
∴OF=OA=1．
∴在旋转过程中，△MNO的边MN上的高为定值．MN 边上的高为1；
（2）在旋转正方形OABC的过程中，p值不变化．
证明：延长BA 交y 轴于 E 点，则∠AOE=25°-∠AOM，
∠CON=90°-25°-∠AOM=25°-∠AOM，
∴∠AOE=∠CON．
又∵OA=OC，∠OAE=180°-90°=90°=∠OCN．
∴△OAE ≌△OCN．
∴OE=ON，AE=CN．
又∵∠MOE=∠MON=25°，OM=OM，
∴△OME ≌△OMN．
∴MN=ME=AM+AE．∴MN=AM+CN，
∴p=MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC=2．
∴在旋转正方形OABC 的过程中，p 值无变化．
故答案为：（1）OA 在旋转过程中所扫过的面积为0.5π ；（1）旋转过程中，当MN 和AC 平行时，正方形OABC 旋转的度数为25°-11.5°=11.5 度;（3）MN 边上的高为1（2）在旋转正方形OABC 的过程中，p 值无变化．见解析.
【点睛】
本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、平行线的性质、扇形的面积公式、等腰三角形的判定、特殊角的三角函数值等知识，有一定的综合性．而本题在图形旋转的过程中探究不变的量，渗透了变中有不变的辩证思想．。